演算子のスペクトル展開の例(空洞光子の量子場)

　2006年８/19 に「スペクトル展開と超関数(量子力学)」という量子力学の演算子のスペクトル展開に関する記事を書きました。

　これを再掲し,その応用として空洞輻射の光子(photon)を量子化した調和振動子の場としたときの密度演算子ρのスペクトル展開の例をあげてみます。

(※再掲記事開始)

　まず,ある自己共役な線形演算子Ａの固有値は離散的として,それをλ_n(ｎ＝1,2,..)とし,その固有状態のケットベクトルを|λ_n＞とします。

　簡単のため,縮退がないとすると,ｍ≠ｎのとき＜λ_m|Ａ|λ_n＞＝λ_m＜λ_m|λ_n＞＝λ_n＜λ_m|λ_n＞でλ_m≠λ_nより,|λ_m＞と|λ_n＞は直交していて＜λ_m|λ_n＞＝ 0 です。

　一般に離散的固有値のみのときは＜λ_m|λ_n＞＝δ_mnとHilbert空間のベクトルとして直交規格化することができます。

　そして固有状態のベクトル系が完全系であれば,任意の状態のベクトル|ψ＞は|ψ＞＝∑_n|λ_n＞＜λ_n|ψ＞と展開できます。

　特にＡ|ψ＞＝∑_nＡ|λ_n＞＜λ_n|ψ＞＝∑_n|λ_n＞λ_n＜λ_n|ψ＞と書くこともできるので,Ｐ_n≡|λ_n＞＜λ_n|により射影演算子を定義すれば,形式的にＡ＝∑_nλ_nＰ_nと表すことができます。

　これを演算子のスペクトル展開と言います。

　一方,Ａが位置Ｘや運動量Ｐのような連続固有値を持つ場合はどうでしょうか？

　運動量Ｐは閉じ込められたり束縛状態の場合には離散固有値も取りますが,自由粒子では連続固有値しか取りませんね。

　このときのＡの連続固有値をλ,固有ベクトルを|λ＞とするとλ≠λ'なら,やはり＜λ|λ'＞＝0 ですが,この場合は一般に固有ベクトルはノルムが有限でないため,Hilbert空間のベクトルではないので直交規格化することはできません。

　例えば,Ｘ表示では＜Ｘ|Ｘ'＞＝δ(Ｘ－Ｘ')というDiracのデルタ関数という,"関数とはいえないもの＝超関数"という形でしか,直交規格化をうまく表現できません。

　展開の方も,形式的には,|ψ＞＝∫|λ＞＜λ|ψ＞ｄλ,また,Ａ|ψ＞＝∫|λ＞λ＜λ|ψ＞ｄλと書き,

　Ｐ(λ)≡|λ＞＜λ|と定義して,Ａ＝∫λＰ(λ)ｄλと書いて,これを演算子のスペクトル展開である,としてもいいように思えます。

　しかし,Ｐ(λ)＝|λ＞＜λ|なるものを記号的に射影演算子と定義してもこれ自身が"長さ＝ノルム"が有限ではない超関数的な実体でHilbert空間の上の有限な演算子,または物理量という資格がありません。

　Ａ＝∫λＰ(λ)ｄλという形式的展開を表わす右辺の積分もLebesgueやRiemannの意味での積分という通常の定義からはみだしています。

　そこで,Ａの固有値がλとλ＋ｄλの間のＰ(λ)ｄλ＝|λ＞ｄλ＜λ|に相当するものとして,ｄＥ(λ)なるものをスペクトル射影演算子として定義します。

　そして,Stieltjes積分を使って|ψ＞＝∫|ψ＞ｄＥ(λ)と展開し,またＡ＝∫λｄＥ(λ)と書けば,やっと演算子のスペクトル展開になるわけです。

　超関数を気持ち悪いと考えないなら,DiracのオリジナルのＡ＝∫λＰ(λ)ｄλ＝∫|λ＞λ＜λ|ｄλを演算子のスペクトル展開としても別にかまわないと思います。

　いずれの扱いでも積分の定義を拡大解釈することにより,離散的な場合をも含めて機能的に扱うことができます。

(再掲記事終了※)

　さて,ここで量子論の演算子のスペクトル展開の例として単一モード(単一運動量)の空洞輻射の光子の熱励起を個数状態で展開した密度演算子(密度行列)ρ≡Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|を考えてみます。

　統計力学によれば,光子がｎ個励起される確率は,

　Ｐ_n＝exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}/[Σ_n=0^∞exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}]

　で与えられます。

　そして,量子化された場の調和振動子としての単一モードの光子のエネルギーは,Planck定数をｈ,ｈ_c≡ｈ/(2π)とすれば,

　Ｅ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω (ｎ＝0,1,2..)で与えられます。

　そこで,Ｕ≡exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}とおけば,

　ｎ個の光子が励起される確率は,Ｐ_n＝Ｕⁿ/Σ₀^∞Ｕⁿ＝(1－Ｕ)Ｕⁿ

＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)} です。

　したがって,密度演算子は,ρ≡ΣＰ_n|ｎ＞＜ｎ|

＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}|ｎ＞＜ｎ|

と書けます。

　これが量子論の密度演算子ρのスペクトル展開ですが,完全系をなす"エネルギー固有状態＝個数状態"によって,ρのあらゆる行列要素を求めると,

＜ｍ|ρ|ｎ＞＝Ｐ_nδ_mnとなり,行列ρは対角要素しか持ち得ません。

＜ｍ|ρ|ｎ＞は演算子ρのあらゆる情報を網羅しているので,実は密度演算子ρはＰ_nのｎを演算子のｎ^＝ａ^⁺ａ^に変えた式で,

ρ＝Ｐ_a^+a^＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｈ_cω(ａ^⁺ａ^)/(ｋ_BＴ)}

と書くことができます。

これは,個数演算子:ｎ^＝ａ^⁺ａ^(＝Σ_n=0^∞ｎ|ｎ＞＜ｎ|)の固有状態によるスペクトル展開の形で表現された演算子としての,

密度演算子:ρ≡Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|が,

スペクトル展開の逆演算としてｎ^＝ａ^⁺ａ^の関数として直接,陽に書けるようにできる例になっています。

参考文献；Loudon 著(小島忠宣・小島和子 共訳)「光の量子論」(内田老鶴圃)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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