常微分方程式の解の存在定理②

　それでは「解の存在定理(初期値(Cauchy)問題)」を証明します。

　まず,存在定理を明確に述べるところから始めます。

　[解の存在定理]:ある２次元の単連結な閉領域Ｄがあるとする。

　特にＤを矩形閉領域:(Ｉ×Ｊ):Ｉ≡[ｘ₀－ａ,ｘ₀＋ａ],

　Ｊ≡[ｙ₀－ｂ,ｙ₀＋ｂ]としても,一般性を失わないので

　そう設定する。

　このときＤにおいて関数ｆ(ｘ,ｙ)が連続なら,正の数Ｍが存在して,

この閉領域で|ｆ(ｘ,ｙ)|≦Ｍとなるが,α＝min(ａ,ｂ/Ｍ)とおけば,

[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で定義された点(ｘ₀,ｙ₀)を通る１階常微分方程式:

ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解が存在する。

　以下,証明です。

　　

(証明)閉区間:[ｘ₀,ｘ₀＋α]をｎ個の小区間に分割して,その分点を,

ｘ₀＜ｘ₁＜ｘ₂＜...＜ｘ_n とします。

　そして,点Ｐ₀＝(ｘ₀,ｙ₀)から勾配がｆ(ｘ₀,ｙ₀)の直線を引き,

ｘ＝ｘ₁との交点をＰ₁＝(ｘ₁,ｙ₁)とします。

　このとき,|ｆ(ｘ,ｙ)|≦Ｍなので,|ｙ－ｙ₀|≦Ｍ|ｘ－ｘ₀|によって,

ｙ₀－Ｍ(ｘ－ｘ₀)≦ｙ≦ｙ₀＋Ｍ(ｘ－ｘ₀);ｘ₀≦ｘ≦ｘ₁です。

　そこで,線分Ｐ₀Ｐ₁はｙ－ｙ₀＝－Ｍ(ｘ－ｘ₀),ｙ－ｙ₀＝Ｍ(ｘ－ｘ₀),

ｘ＝ｘ₀＋αで囲まれた三角形Ｔの内部にあります。

次にＰ₁＝(ｘ₁,ｙ₁)から勾配がｆ(ｘ₁,ｙ₁)の直線を引き,ｘ＝ｘ₂との

交点をＰ₂＝(ｘ₂,ｙ₂)とします。

前と同様Ｐ₁Ｐ₂も三角形Ｔの内部にあることがわかります。

以下,同様にＰ_k＝(ｘ_k,ｙ_k)から勾配がｆ(ｘ_k,ｙ_k)の直線を引き,

ｘ＝ｘ_k+1との交点をＰ_k+1＝(ｘ_k+1,ｙ _k+1)とすれば,得られた折れ線:

Ｐ₀Ｐ₁Ｐ₂...Ｐ_nは確かにＴの内部にあります。 

この得られた折れ線をｙ＝φ(ｘ)とすると,φ(ｘ₀)＝ｙ₀,φ(ｘ_k)＝ｙ_k

(ｋ＝1,2,...,ｎ)であり,ｘ_k-1≦ｘ≦ｘ_kでは,

ｙ＝φ(ｘ)＝φ(ｘ_k-1)＋ｆ(ｘ_k-1,φ(ｘ_k-1))(ｘ－ｘ_k-1)です。

そこで,ｘ_k-1≦ｘ≦ｘ_kではｄｙ/ｄｘ＝φ'(ｘ)

＝ｆ(ｘ_k-1,φ(ｘ_k-1))です。

なお,ｘ＝ｘ₀では右微分係数のみ:

lim _h→＋0 [{φ(ｘ₀)＋ｈ)－φ(ｘ₀)}/ｈ]＝ｆ(ｘ₀,ｙ₀),

ｘ＝ｘ_n＝ｘ₀＋αでは左微分係数のみ:

lim _h→＋0 [{φ(ｘ₀＋α－ｈ)－φ(ｘ₀＋α)}/(－ｈ)]

＝ｆ(ｘ_n-1,ｙ_n-1)　です。

その他の分点では,一般に左微分係数と右微分係数が異なるので,

一般には微分可能ではありません。

ここで,ｆ(ｘ,ｙ)は閉領域Ｄで一様連続故,任意の正の数εを与える

と,あるδ＞0 が存在して,Ｄの任意の２点(ｘ₁,ｙ₁),(ｘ₂,ｙ₂)に対し,

"|ｘ₁－ｘ₂|≦δかつ|ｙ₁－ｙ₂|≦δ⇒|ｆ(ｘ₁,ｙ₁)－ｆ(ｘ₂,ｙ₂)|≦ε"

が成立します。

そこで,max(ｘ_k－ｘ_k-1)≦min(δ,δ/Ｍ)となるように幅を取って

ｎを調節すれば,ｘ_k-1≦ｘ≦ｘ_kを満たすｘに対して,

(ｘ－ｘ_k-1)≦δ/Ｍであり,|φ(ｘ)－φ(ｘ_k-1)|≦Ｍ(ｘ－ｘ_k-1)

ですから,|ｘ－ｘ_k-1|≦δ,かつ|φ(ｘ)－φ(ｘ_k-1)|≦δです。

したがって,ｘ_k-1≦ｘ≦ｘ_kなるｘに対して,

|ｆ(ｘ_k-1,φ(ｘ_k-1))－ｆ(ｘ,φ(ｘ))|≦ε

です。

分点以外では,φ'(ｘ)＝ｆ(ｘ_k-1,φ(ｘ_k-1))ですから,

|φ'(ｘ)－ｆ(ｘ,φ(ｘ))|≦εとなります。

このことから,φ(ｘ)を１階常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の"

ε-近似解"と呼びます。

ε＞0 は任意であり,εに対してδ₀≡min(δ,δ/Ｍ)＞0 は常に存在する

ので,max(ｘ_k－ｘ_k-1)→ 0 に対しφ'(ｘ)→ｆ(ｘ,φ(ｘ))です。

閉区間:[ｘ₀－α,ｘ₀]に対しても同様にε-近似解を構成できます。

次にε₁＞ε₂＞...＞ε_ν＞...なる正の数の数列{ε_ν}をν→ ∞ に対してε_ν→ 0 となるように作ります。(例えばε_ν≡1/ν)

このとき,[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]で各ε_νに対してε_ν-近似解が存在するので,それをφ_ν(ｘ)とすると,|φ_ν(ｘ)－φ_ν(ｘ₀)|≦Ｍ|ｘ－ｘ₀|≦ｂですから|φ_ν(ｘ)|≦|ｙ₀|＋ｂが成立します。

また,任意のνについて[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]に属する任意の２点ｘ₁,ｘ₂ に

対して,|φ_ν(ｘ₁)－φ_ν(ｘ₂)|≦Ｍ|ｘ₁－ｘ₂|です。

そこで,2ｎ個の区間ｘ₀－α＝ｘ'_n＜ｘ'_n-1＜...＜ｘ'₂＜ｘ'₁＜ｘ₀＜ｘ₁＜ｘ₂＜...＜ｘ_n-1＜ｘ_n＝ｘ₀＋αに対し,φ_ν(ｘ₀)＝ｙ₀,φ_ν(ｘ_k)＝ｙ_k

(ｋ＝1,2,..,ｎ)です。

特に,ｘ_k-1≦ｘ≦ｘ_kでは,

φ_ν(ｘ)＝φ_ν(ｘ_k-1)＋ｆ(ｘ_k-1,φ_ν(ｘ_k-1))(ｘ－ｘ_k-1)　です。

また,φ_ν(ｘ'_k)＝ｙ_k (ｋ＝1,2,...,ｎ)であり,ｘ'_k≦ｘ≦ｘ'_k-1

ではφ_ν(ｘ)＝φ_ν(ｘ'_k-1)＋ｆ(ｘ'_k-1,φ_ν(ｘ'_k-1))(ｘ－ｘ'_k-1)

です。

そして,折れ線(ｘ,φ_ν(ｘ))は全てＤの中にあります。

今,[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の任意の２点ｘ,ｘ'を取れば,2ｎ個の小区間の

うちにそれが属するどれか２つの小区間がありますから,

|φ_ν(ｘ)－φ_ν(ｘ')|≦Ｍ|ｘ－ｘ'|が成立します。

したがって,ε＞0 が任意に与えられたとき,

|ｘ－ｘ'|＜ε/Ｍならば|φ_ν(ｘ)－φ_ν(ｘ')|＜εです。

関数列{φ_ν(ｘ)}は無限関数列です。

そして,以上から,これは一様有界かつ同等連続ですから,

「Ascoli-Arzalaの定理」によって,[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で一様収束

する{φ_ν(ｘ)}の部分列が存在するはずです。

その極限関数をψ(ｘ)とすると,φ_ν(ｘ)が[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で連続ですからψ(ｘ)もまたその閉区間において連続です。

ここで,各々のε_ν-近似解:φ_ν(ｘ)に対し,2ｎ個の分点を除く

微分係数:φ_ν'(ｘ)が存在するｘに対して,

ｈ_ν(ｘ)≡φ_ν'(ｘ)－ｆ(ｘ,φ_ν(ｘ)) とおきます。

分点は有限個で,φ_ν(ｘ)は分点においても連続ですから分点での

φ_ν'(ｘ)をどんな有限値に設定しても結果は同じです。

それを便宜上何らかの有限値におくと,　　

∫_ｘk-1＋ε^ｘk－ε'φ_ν'(ｘ)ｄｘ＝φ_ν(ｘ_k－ε')－φ_ν(ｘ_k-1＋ε)

と書けます。

ε→0,かつε'→0 に対し,φ_ν(ｘ_k－ε')→ φ_ν(ｘ_k),かつ

φ_ν(ｘ_k-1＋ε)→ φ_ν(ｘ_k)が成り立ちますから,

∫_ｘk-1^ｘk'φ_ν'(ｘ)ｄｘ＝φ_ν(ｘ_k)－φ_ν(ｘ_k-1) が成立します。

そこで,φ_ν'(ｘ_k)をどんな有限値に取っても,

∫_x0^ｘφ_ν'(ｘ)ｄｘ＝φ_ν(ｘ)－φ_ν(ｘ₀)ですから,結局

φ_ν(ｘ)＝φ_ν(ｘ₀)＋∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_ν(ｘ))＋ｈ_ν(ｘ)}ｄｘ

と書けます。

ここで便宜上分点ではｈ(ｘ_k)＝0 としておきます。

|ｈ_ν(ｘ)|＝|φ_ν'(ｘ)－ｆ(ｘ,φ_ν(ｘ))|≦ε_νですから,

ψ(ｘ)に収束する{φ_ν(ｘ)}の部分列を{φ_νi(ｘ)}とすると,

φ_νi(ｘ)＝φ_νi(ｘ₀)＋∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))＋ｈ_νi(ｘ)}ｄｘであり,

かつ|ｈ_νi(ｘ)|≦ε_νiです。

このとき,|∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ－∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))＋ｈ_νi(ｘ)}ｄｘ|≦|∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ－∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))}ｄｘ|＋|∫_ｘ0^x |ｈ_νi(ｘ)|ｄｘ|です。

ｉ→ ∞ の極限を取ると,φ_νi(ｘ)はψ(ｘ)に一様収束しますから,

[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で任意のδ＞0 に対し,Ｎ₁(δ)が存在して"

ｉ＞Ｎ₁(δ)⇒|φ_νi(ｘ)－ψ(ｘ)|＜δ"が成立します。

予め,与えられたε＞0 に対し,"|φ_νi(ｘ)－ψ(ｘ)|＜δ(ε)⇒|ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))－ｆ(ｘ,ψ(ｘ))|＜ε/(2α)"が成立しますから,

"ｉ＞Ｎ₁(δ(ε))⇒|∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ－∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))}ｄｘ|＜ε/2 "

となります。

同じεに対して,Ｎ₂(ε)が存在して"ｉ＞Ｎ₂(ε)⇒|∫_ｘ0^x |ｈ_νi(ｘ)}ｄｘ|＜ε/2"も成立するので,Ｎ(ε)≡max{Ｎ₁(δ(ε)),Ｎ₂(ε)}とおけば

"ｉ＞Ｎ(ε)⇒|∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ－∫_x0^x{ｆ(ｘ,φ_νi(ｘ))＋ｈ_νi(ｘ)}ｄｘ|＜ε"です。

これは"ｉ＞Ｎ(ε)⇒|φ_νi(ｘ)－[ｙ₀＋∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ]|＜ε"が成立することを意味しています。

一方,ｉ→ ∞ に対してφ_νi(ｘ)→ ψ(ｘ)ですから,

あるＮ'(ε)が存在して,

"ｉ＞Ｎ'(ε)⇒|ψ(ｘ)－[ｙ₀＋∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ]|＜2ε"

です。

それ故,ψ(ｘ)＝ｙ₀＋∫_x0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘが成立します。

ψ(ｘ)は[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]で連続であり,(ｘ,ψ(ｘ))はＤの内部にあるのでｆ(ｘ,ψ(ｘ))も[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で連続です。

したがって,[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上でψ'(ｘ)＝ｆ(ｘ,ψ(ｘ))が成立し,しかも明らかにψ(ｘ₀)＝ｙ₀ です。

かくして,[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で,点(ｘ₀,ｙ₀)を通る

ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解の存在が証明されました。(証明終わり)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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