電子の自己エネルギーとDiracの海

　"古典的には発散する電子の自己エネルギーが相対論的量子論のDirac(ディラック)の負エネルギー電子の海,いわゆるDirac seaの陽電子の影響を受けて,量子論ではどのように変わるか？"

　という問題に関する話題として,1939年のWeisskopf(ワイスコフ)の論文を紹介してみたいと思います。

　電子の質量をｍ,電荷をｅ＜0,古典的な電子半径をａとすると,静止している電子の自己エネルギーはＷ ～ ｍｃ²＋ｅ²/ａと表わされます。

　電子を点と考えると,これはａ→ 0 を意味するので,Ｗは無限大に発散します。

　Coulomb場によるエネルギーをＷ_stとおき,電子の位置の付近で距離ξだけ離れた２点に同時に電荷が見つかる確率を表現する量:Ｇ(ξ)を,

　Ｇ(ξ)≡∫ρ(ｒ－ξ/2)ρ(ｒ＋ξ/2)ｄｒ で定義します。

　すると,Ｗ_stは,Ｗ_st＝(1/2)∫[＜Ｇ(ξ)＞/|ξ|]ｄξで与えられます。

　＜Ｇ(ξ)＞は量子論で計算されたＧ(ξ)の期待値です。

　Diracの理論(空孔理論:holetheory)によれば,電荷密度ρは

　ρ(ｒ)＝ｅ{ψ^*(ｒ)ψ(ｒ)}－σ　で与えられます。

　{ψ₁^*(ｒ)ψ₂(ｒ)}は２つの４成分スピノルのスカラー積を表わします。

　σは陽電子の海の効果により差し引かれるべき電荷密度です。

　波動関数ψは運動量がｑの自由電子の波動関数φ_qで展開できますから,

　ψ＝Σ_qａ_qφ_qと表わすことができます。

　ここで,系の全体積をＶとすると,{φ_q^*(ｒ)φ_q(ｒ)}＝1/Ｖ

　が成立しています。

　ψ＝Σ_qａ_qφ_qという表現が成立するならば,ψを"第２量子化＝個数表示した場",すなわち個数Ｎ_qによる個数表示の波動関数にかかる演算子

とするとき,ａ_qおよびａ_q^*は,それぞれFermi粒子の消滅演算子,および生成演算子と考えることができます。

　状態ｑの電子の個数Ｎ_qは,Ｎ_q＝ａ_q^*ａ_qで与えられ,ａ_qａ_q^*＝1－Ｎ_q

　が成立します。

　ψ＝Σ_qａ_qφ_qをρ(ｒ)＝ｅ{ψ^*(ｒ)ψ(ｒ)}－σに代入し,それをさらに

　Ｇ(ξ)≡∫ρ(ｒ－ξ/2)ρ(ｒ－ξ/2)ｄｒに代入します。

　Ｇ(ξ)の期待値に寄与するのは,４つのａ_qの結合のうちで,

　ａ_q^*ａ_qａ_q'^*ａ_q'＝Ｎ_qＮ_q'とａ_q^*ａ_q'ａ_q'^*ａ_q＝Ｎ_q(1－Ｎ_q')

　のみです。

　他の結合は非対角成分を持たないので寄与しません。

　こうして,＜Ｇ(ξ)＞＝ｅ²Σ_qΣ_q'Ｎ_qＮ_q'/Ｖ＋ｅ²Σ_qΣ_q'Ｎ_q(1－Ｎ_q')∫{φ_q^*(ｒ₁)φ_q'(ｒ₁)}{φ_q'^*(ｒ₂)φ_q(ｒ₂)}ｄｒ－2σｅΣ_qＮ_q＋σ²Ｖ

を得ます。

　ここで,ｒ₁≡ｒ－ξ/2,ｒ₂≡ｒ＋ξ/2と置きました。

　その頃の従来の理論である陽電子の雲を伴わない単一電子であればσ＝0 です。

　あるｑ＝ｑ₀に対してはＮ_q＝1で,ｑ≠ｑ₀に対してはＮ_q＝0 ですから,第１項はｅ²/Ｖとなります。Ｖが十分大きいのでこれは寄与しません。

　そこで,結局第２項のみが＜Ｇ(ξ)＞に寄与します。

　それ故,＜Ｇ(ξ)＞＝ｅ²Σ_q∫{φ_q0^*(ｒ₁)φ_q(ｒ₁)}{φ_q^*(ｒ₂)φ_q0(ｒ₂)}ｄｒ＝ｅ²∫ｄ³ｐ[exp(iξｐ/ｈ)/(8π³ｈ³)]＝ｅ²δ³(ξ)を得ます。

　一方,陽電子論での真空では,全てのｑ≧0 なるｑに対して,

　Ｎ_+q＝0 ,Ｎ_-q＝1で,σ＝ｅ(Σ_-qＮ_q)/Ｖとおくことができます。

　このとき,＜Ｇ(ξ)＞の表式の第１,３,４項は互いに相殺して第２項のみが残ります。

　これを＜Ｇ(ξ)＞_vacと書けば,＜Ｇ(ξ)＞_vac＝ｅ²Σ_+qΣ_-q'∫{φ_-q'^*(ｒ₁)φ_+q(ｒ₁)}{φ_+q^*(ｒ₂)φ_-q'(ｒ₂)}ｄｒとなります。

　＜Ｇ(ξ)＞_vacがゼロではなく無限大になるという計算結果を与えるという事実は,真空における電荷のゆらぎが観測されるという現象の１つの反映といえます。

　我々の関心は１電子の電荷密度に対応する＜Ｇ(ξ)＞にあります。

　ｑ＝ｑ₀≧0 に対してＮ_q＝1,ｑ≧0 ,かつｑ≠ｑ₀ に対してＮ_+q＝0 ,

　そしてＮ_-q＝1なる状態での＜Ｇ(ξ)＞である＜Ｇ(ξ)＞_vac+1を求め,

　それから＜Ｇ(ξ)＞_vacを差し引くことによって,１電子の電荷密度のそれ　を計算することができると考えられます。

　結局,＜Ｇ(ξ)＞＝＜Ｇ(ξ)＞_vac+1－＜Ｇ(ξ)＞_vac

＝ｅ²(Σ_+q－Σ_-q )∫{φ_q0^*(ｒ₁)φ_q(ｒ₁)}{φ_q^*(ｒ₂)φ_q0(ｒ₂)}ｄｒ

　が得られます。

　これに自由電子のDirac方程式の実際の解を代入すれば,この表現を数式で評価することができます。

　そして"Σ＝総和"を"∫＝積分"で表現すれば,

　＜Ｇ(ξ)＞＝ｅ²ｍｃ²∫ｄ³ｐ[exp(ｉξｐ/ｈ)/{8π³ｈ³Ｅ(ｐ)}]

　となります。ここでＥ(ｐ)≡ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2です。

　そして,この積分を厳密に計算すると,

　＜Ｇ(ξ)＞＝{iｅ²ｍｃ²/(2πｈξ)}(∂/∂ξ)Ｈ₀⁽¹⁾(ξ)

　が得られます。

　ここで,ξ＝|ξ|であり,Ｈ₀⁽¹⁾(ｘ)は第１種のHankel関数です。

※(注):ここで,自由粒子波動関数の規格化は∫_V{φ_p^*(ｒ)φ_p(ｒ)}ｄｒ＝1 ({φ_p^*(ｒ)φ_p(ｒ)}＝1/Ｖ )としているようですが,

空間体積のローレンツ収縮を考慮するなら∫_V{φ_p^*(ｒ)φ_p(ｒ)}ｄｒ＝Ｅ(ｐ)/(ｍｃ²)とするのが正しいはずです。

しかし,この式と,＜Ｇ(ξ)＞＝ｅ²Σ_qΣ_q'Ｎ_qＮ_q'/Ｖ＋ｅ²Σ_qΣ_q'Ｎ_q(1－Ｎ_q')∫{φ_q^*(ｒ₁)φ_q'(ｒ₁)}{φ_q'^*(ｒ₂)φ_q(ｒ₂)}ｄｒ－2σｅΣ_qＮ_q＋σ²Ｖとの比が,[ｍｃ²/Ｅ(ｐ)]となっているようなので,結果的には正しいようです。※

Ｈ₀⁽¹⁾(ｘ)はｘ＝ 0 に特異性を持ち,ｘ＞＞１に対しては指数関数的に減衰します。

結局,ξ＜＜[ｈ/(ｍｃ)]に対しては,

＜Ｇ(ξ)＞＝{ｅ²/(4π²)}(ｍｃ/ｈ)ξ^-2,

ξ＞＞[ｈ/(ｍｃ)]に対しては,

＜Ｇ(ξ)＞＝{ｅ²(ｍｃ/ｈ)²{ｈ/(2π³ｍｃξ²)}^1/2exp(－ｍｃξ/ｈ)

という近似式が得られます。

電子の自己エネルギーのCoulomb部分Ｗ_st は,

Ｗ_st＝(1/2)∫[＜Ｇ(ξ)＞/|ξ|]ｄξ で与えられます。

結局 Ｗ_st＝{ｅ²/(4π²)}∫ｄ³ｐ[ｍｃ²/{ｈ³Ｅ(ｐ)ｐ²}]

＝lim_P→∞{ｍｃ²ｅ²/(πｈｃ)}log[{Ｐ＋(Ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2}/(ｍｃ)],

あるいは,Ｐ＝ｈ/ａとおくことにより,

Ｗ_st ～ lim_a→0{ｍ²ｃ²ｅ²/(πｈｃ)}log{ｈ/(ｍｃａ)}

と書き表わせることがわかります。

古典電子半径ａがゼロに近づくとき,電子の自己エネルギーは古典的には１次の発散をするのに対して,

量子論では対数的に発散するという意味で,電子がCompton波長:{ｈ/(ｍｃ)}程度の広がりを持つという効果が現われて発散は緩和されています。

これは後のくりこみ理論(Renormalization theory)との関連性を示唆していると思えます。

参考文献:V.S.Weisscopf「On The Self-Energy and The Electromagnetic Field of The Electron」Physical Review, Vol.56 pp72-85(1939)　

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