赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)

　先の12/16の記事「電流によって発生する光子の個数分布」では, 

古典電流密度の横波成分:

Ｊ_T(ｘ)＝∫₀^∞ｄｋ⁰(2π)^-1∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2[Σ_λ=1²ε(ｋ,λ)

{ｊ(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ｊ^*(ｋ,λ))exp(iｋｘ)}]

により,輻射される"電磁波＝光子(photon)"の個数分布について

考察しました。

そして,ｎ個の光子が放出(輻射)される確率Ｐ_nは,

平均個数:＜ｎ＞＝∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1,2|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)

のPoisson分布(ポアソン分布):

Ｐ_n＝[ｅ^－＜ｎ＞＜ｎ＞^ｎ]/(ｎ! )で与えられることを見ました。

　例えば,ｔ＜0 に速度β≡ｖ/ｃで運動していた電荷がｔ＝0

にキックされ,それ以降はβ'≡ｖ'/ｃの速度で運動する場合,

その運動電荷による電流密度の横波成分は,

Σ_λ=1,2ε(ｋ,λ)ｊ(ｋ,λ)

～ ｅｃ{β/(ｋ⁰－ｋβ)－β'/(ｋ⁰－ｋβ')}

となります。

何故なら,この電荷による電流はｔ＜0 では,

Ｊ_T(ｘ)＝ｅｃβδ³(ｘ－ｚ(ｔ))θ(－ｔ)

で与えられるからです。

ここで,ｚ(ｔ)＝ｖｔ＝ｃβｔであり,θ(ｔ)はHeaviside関数:

θ(ｔ)≡1 (ｔ＞0 ),θ(ｔ)≡0 (ｔ＜0 )です。

Heaviside関数はFourier変換で表わすと,

θ(ｔ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωｔ)/(ω＋iε)]

となります。

そこで,Ｊ_T(ｘ)＝{iｅｃβ/(2π)⁴}∫ｄ³ｋ[exp{iｋ(ｘ－ｚ(ｔ))}]

∫ｄω[exp(iωｔ)/(ω＋iε)]

＝{iｅｃβ/(2π)⁴}∫ｄ³ｋｄω[exp{iｋｘ－i(ｃｋβ－ω)ｔ}]

＝{ｅｃβ/(2π)⁴}∫₀^∞ｄｋ⁰∫ｄ³ｋｑ(ｋ)exp(－iｋ⁰ｘ⁰＋iｋｘ)

です。(ｘ⁰＝ｃｔ)

　ただし,エネルギーｋ⁰が正のｊ(ｋ,λ)成分のみを考慮し,ｋ⁰＜0

に対応するｊ^*(ｋ,λ)成分は落としました。

１＝{ｃ/(2π)}∫ｄｋ⁰ｄｔexp(－iｋ⁰ｘ⁰)を挿入しています。

ｑ(ｋ)≡{iｃ/(2π)}∫ｄωｄｔ[exp{i(ｃｋ⁰－ｃｋβ＋ω)ｔ}

/(ω＋iε)]＝(－i)/(ｋ⁰－ｋβ)ですから,目的の式:

Σ_λ=1,2 ε(ｋ,λ)ｊ(ｋ,λ)～ －ｅｃβ/(ｋ⁰－ｋβ)

が得られます。

　このとき,ｋ≡|ｋ|＝ｋ⁰ ～ 0 では,この運動電荷から放出

される光子の平均個数は, 

＜ｎ＞＝∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|) 

～∫ｄ³ｋ/ｋ³＝4πlogｋ ～ ∞　となります。

この長波長極限での発散という困難を赤外破局

(infrared catastrophe),

または赤外発散(infrared divergence)といいます。

すなわち,こうした電流密度に対しては放出される光子の

平均個数＜ｎ＞が無限大ですから,

Ｐ_n＝[ｅ^－＜ｎ＞＜ｎ＞^ｎ]/ｎ! → 0 です。

これは,エネルギーがゼロの光子を有限個(ｎ個)放出する確率

は全てゼロで,無限個放出される確率のみゼロでないことを

意味します。

それでも,もちろん全確率はΣＰ_n＝１であって,確率の総和

は確かに有限です。

たとえば,Ｒを領域 0≦|ｋ|≦Δ に選べば,先の記事に述べた

Ｐ_n(Ｒ)＝Ｐ₀[∫_R ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]ⁿ/ｎ!,

Ｐ₀≡exp[－∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]により,

ΣＰ_n(|ｋ|≦Δ)

＝exp[－∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

exp[∫_|ｋ|≦Δｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

です。

そこで,ΣＰ_n(|ｋ|≦Δ)

＝exp[－∫_|ｋ|＞Δｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

となります。

　また,(ｎ＋1)個の光子を放出する確率のｎ個放出に対する比

を求めると,{1/(ｎ＋1)}∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)

です。

これは,～α∫ｄｋ/ｋ→ ∞ as ｋ→0 であり,ｋ～0 では

発散します。

ただし,α≡ｅ²/(4π)は微細構造定数 ～1/137です。

それ故,αのべき展開に基づく摂動論の計算は加速電荷の

長波長の輻射(λ～ 1/ｋ～ ∞)に対しては

正しくありません。

　この赤外発散の最初の解析と解決は1937年にBlochとNordsieck

によって与えられ,その後1961年のYennie-Frauchi-Suura に

よって完全に解決されました。

私自身は,数年前に後者(Yennie-Frauchi-Suura)の70数ページ

にわたる論文を精読しましたが。。。

赤外発散は,|ｋ|≦Δを満たす全光子の放出確率の計算値が

ΣＰ_n(|ｋ|≦Δ)

＝exp[－∫_|ｋ|＞Δｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

で与えられるという事実から判明します。

そこで,無限大の発散は全ての摂動級数を総和して得られる

指数関数exp[]の肩:[ ]のマイナス符号の付いた量で起こる

ものです。

無限個のエネルギーゼロの実光子の放出確率は,exp(－∞)

に比例するという意味で検出される確率への寄与は無いに

等しいものです。

　しかし,一方,同じようにエネルギーがほぼゼロの無限個

の仮想光子は,exp(＋∞)に比例する寄与をします。

そこで,摂動の中間状態という仮想プロセスの存在を認める

立場からは,こちらの方がはるかに深刻です。

ところが,厳密な計算で摂動級数を総和すると,実は実光子

と仮想光子の寄与は積として相殺され,結局ゼロでも無限大

でもない有限な正しい寄与を与えることになります。

そこで,結局,この問題は解決されることになります。 

参考文献；J.D.Bjorken S.D.Drell

"Relativistic Quantum Fields"(McGraw-Hill Books Company)

F.Bloch A.Nordsieck　

"Note on the Radiation Field of the Electron"

Phys.Rev.Vol.52 pp54 (1937)

D.Yennie S.Frauchi H.suura

"The Infrared Divergence Phenomena and High-Energy

Processes" Ann.Phys.Vol.13 pp379-452 (1961) 

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」

サブマネージャー）                            TOSHI 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。

(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。

(ブログ村科学ブログランキング）

 物理学

   

    

博士の愛した数式 著者：小川 洋子　　　　　　　　　　　 販売元：新潮社 Amazon.co.jpで詳細を確認する