常微分方程式の解の存在定理①(アスコリの定理)

　前の２つの記事は,35年ほど前の大学３年の頃に凝っていた存在定理関連の論題について,当時,大学数学科で講義を受けた際に綴ったノートを参考にして書きました。

　今回も,そのころ最も夢中になっていた"初期値問題＝常微分方程式の解の存在定理"について,何回かに分けて述べてみたいと思います。

　ただし解の存在定理のみであり,いわゆる通常の教科書に普通に載っている"Lipshitz(リプシッツ)条件"を仮定した"解の存在と一意性の定理"ではありません。

　Lipshitz条件は,解の一意性の十分条件ですが,かつて日本人,岡村博氏により,解の一意性の必要十分条件が発見されたことは有名です。

　これの内容については読んだことはありませんが,岡村博 著「微分方程式序説」に掲載されていると思います。

(※最近,復刻されたようで,この本の新装版が神保町の三省堂書店５階にもありました。)

　そこで,まずPeanoの存在定理でもいいのですが,その代わりにこれと同等なEuler－Cauchyの逐次近似法(折れ線法)による存在定理を証明しようと考えたものがあるので,それを述べたいと思います。

　まず,問題の定式化をします。

　"ある２次元の単連結領域(domain):Ｄがあるとします,

　特にＤを矩形閉領域(Ｉ×Ｊ):Ｉ≡[ｘ₀－ａ,ｘ₀＋ａ],

　Ｊ≡[ｙ₀－ｂ,ｙ₀＋ｂ] としても一般性を失わないので,

  Ｄ≡Ｉ×Ｊとします。

　Ｄにおいて関数ｆ(ｘ,ｙ)が連続なら正の数Ｍが存在して,

　この閉領域では|ｆ(ｘ,ｙ)|≦Ｍとなりますが,

　このとき,α＝min(ａ,ｂ/Ｍ)とすれば,

　[ｘ₀－α,ｘ₀＋α]の上で定義された点(ｘ₀,ｙ₀)を通る

　１階常微分方程式:ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解が存在する。"

　というものです。

　結論は,解の存在のみであって一意性は考えていません。

　そして,今日は準備として"１つの補題＝Ascoli-Arzela の定理"を証明します。この定理は次のようなものです。

　"Ｇを有界な区間:Ｉの上で定義された関数;ｇ(ｘ)のある無限個の集合とします。

　ＧがＩの上で一様有界かつ同等(同程度)連続なら,ＧはＩの上で一様収束するような関数列{ｇ_n(ｘ)}_ｎ＝1,2,..を含む。"

　という定理です。

　ただし,一様有界の定義は,

　"有界な区間Ｉの上で定義された関数ｇ(ｘ)の集合Ｇがあるとき,

　∀ｇ(ｘ)∈Ｇに対して,Ｉの上で|ｇ(ｘ)|≦Ｍとなる共通のＭが存在する

　なら,ＧをＩの上で一様有界であるという。"

　というものです。

　また同等連続とは,

　"上と同じＩとＧで,ε＞0を任意に与えたとき,

　∀ｇ(ｘ)∈Ｇについてεだけに依存するＧにおいて共通のδ＞0

　が存在して,∀ｘ₁,ｘ₂∈Ｉ,|ｘ₁－ｘ₂|＜δ⇒|ｇ(ｘ₁)－ｇ(ｘ₂)|＜ε

　が成立するなら,ＧをＩの上で同等連続であるという。"

　と定義されます。

　以下,証明です。

　I に含まれる有理数の全体Ｑ_Iを考えると,これは可算無限集合ですから,

　それに添字をつけて順序付けすることができます。

　それを,ｒ₁,ｒ₂,..,ｒ_n,..∈Ｑ_Iとします。

　まず,Ｈ_１≡{ｇ(ｒ₁)|ｇ(ｘ)∈Ｇ}とおきます。

　これはＧに属する任意関数ｇ(ｘ)に対して,ｇ(ｒ₁)で与えられる値の集合を意味するものです。

　Ｈ₁は有界無限集合ですから,もちろん集積点を持ちます。

　そして,Ｈ_１の中から集積点に収束する全てのｇ(ｒ₁)の集合のうちの,ある１つの集積点に収束する部分列としてｇ₁₁(ｒ₁),ｇ₁₂(ｒ₁),..,ｇ_1ｍ(ｒ₁),..＝{ｇ_1ｍ(ｒ₁)}_ｍ＝1,2,.を取り出すことができます。

　そこで,これに対応するｇ₁₁(ｘ),ｇ₁₂(ｘ),..,ｇ_1ｍ(ｘ),..

　＝{ｇ_1ｍ(ｘ)}_ｍ＝1,2,..という関数列を取り出して,

　次にＨ₂≡{ｇ_1ｍ(ｒ₂)|ｍ＝1,2,..}を作ります。

　そして,これらに対しても収束する部分列ｇ₂₁(ｒ₂),ｇ₂₂(ｒ₂),..,ｇ_2ｍ(ｒ₂),..＝{ｇ_2ｍ(ｒ₂)}_ｍ＝1,2,..を取り出します。

　さらに,ｇ₂₁(ｘ),ｇ₂₂(ｘ),..,ｇ_2ｍ(ｘ),..＝{ｇ_2ｍ(ｘ)}_ｍ＝1,2,..を作っていきます。

　これらを繰り返すことによって,∀ｋに対してＧの中の関数列であって,ｘ＝ｒ₁,ｒ₂,..,ｒ_kに対して収束する{ｇ_ｋｍ(ｘ)}_ｍ＝1,2,..をつくることができます。

　ここでｇ_ｎ(ｘ)≡ｇ_ｎｎ(ｘ)と定義すると,{ｇ_ｎ(ｘ)}_ｎ=1,2,..は全てのＱ_Iの要素に対して収束します。

　よって任意の正の数ε＞0 を与えるとｒ_k∈Ｑ_Iに対して,ある正の整数Ｎ(ε,ｒ_k)が定まり,

　∀ｎ,ｍ＞Ｎ(ε,ｒ_k)に対して|ｇ_ｎ(ｒ_k)－ｇ_ｍ(ｒ_k)|＜ε/3

　となります。

　一方,ＧはＩの上で同等連続ですから,ε＞0 だけによって決まるδ＞0 が存在して,∀ｋ∈Ｎに対して|ｘ₁－ｘ₂|＜δ⇒|ｇ_ｋ(ｘ₁)－ｇ_ｋ(ｘ₂)|＜ε/3が成立します。

　そして,区間Ｉをどの区間の長さもδより小さい小区間の集合として,

　Ｉ₁,Ｉ₂,.,Ｉ_pに分割します。

　そして,各区間Ｉ_kで１つの有理数を選び,それを改めてｒ_kと表わすことにします。

　∀ｘ∈Iを取ると,これはどれかのＩ_kについてｘ∈Ｉ_kとなります。

　それ故,ｇ_ｎ(ｘ)－ｇ_ｍ(ｒ_k)＝ｇ_ｎ(ｘ)－ｇ_ｎ(ｒ_k)＋ｇ_ｎ(ｒ_k)－ｇ_ｍ(ｒ_k)＋ｇ_ｍ(ｒ_k)－ｇ_ｍ(ｘ)ですが,ｘ,ｒ_k∈Ｉ_kですから,

　ｎ,ｍ＞Ｎ(ε,ｒ_k)なら,|ｇ_ｎ(ｘ)－ｇ_ｍ(ｒ_k)|＜εです。

　したがって,Ｎ(ε)≡min{Ｎ(ε,ｒ₁),Ｎ(ε,ｒ₂),..,Ｎ(ε,ｒ_p)}とおけば,∀ｎ,ｍ＞Ｎ(ε)のとき∀ｘ∈Iで|ｇ_ｎ(ｘ)－ｇ_ｍ(ｒ_k)|＜εが成立するので,Cauchyの一様収束の条件によって,{ｇ_ｎ(ｘ)}_ｎ＝1,2,..は I の上である関数に一様収束します。

　以上でAscoli-Arzelaの定理の証明が終わりました。(つづく)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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