バナッハ空間における陰関数定理

前記事の逆写像定理(逆関数の存在定理)の系として,陰関数定理(Implicit-function Theorem)も証明しておきましょう。

これは次のような内容です。

"Ｘ,ＹをBanach空間とし,Ｅ⊂(Ｘ×Ｙ)(＝Ｘ,Ｙの直積空間)を,(Ｘ×Ｙ)の開集合とする。

ただし,(ｘ,ｙ)∈⊂(Ｘ×Ｙ)のノルム|(ｘ,ｙ)|は,

|(ｘ,ｙ)|≡|ｘ|＋|ｙ| で定義する。

ｆをＥ→ＸのＣ¹級の写像とする。

ｆ(ａ,ｂ)＝0 を満たすある(ａ,ｂ)∈(Ｘ×Ｙ)において,

ｆの線形かつ連続な微分係数をＡ≡ｆ'(ａ,ｂ)∈Ｌ(Ｘ×Ｙ,Ｘ)

とおく。

そして,Ｊ_xをＪ_x(ｘ)≡(ｘ,0)なるＸ→(Ｘ×Ｙ)の線形写像

と定義するとき,合成線形写像:ＡＪ_xが可逆なら

ｂ∈ＷなるあるＹの開集合Ｗ⊂Ｙが存在して,ｇ(ｂ)＝ａ,

かつ∀ｙ∈Ｗに対してｆ(ｇ(ｙ),ｙ)＝0 が成立するような写像

ｇ:Ｗ→Ｘが存在して,ｇはＣ¹級であり一意的である。"

というものです。

(これをなぜ陰関数定理と呼ぶのかというと,これはｆ(ｘ,ｙ)＝0 なる式から,それと同等な意味を持つ,

ｘ＝ｇ(ｙ)が存在してｆ(ｇ(ｙ),ｙ)＝0 が成立する,という

"陰関数の存在と一意性"を保証するものだからです。) 

まず,準備として次の補題が必要なので証明しておきます。

"Ａ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ,Ｘ)でＡＪ_x:Ｘ→Ｘが可逆なら,

Ｂ(ｘ,ｙ)≡(Ａ(ｘ,ｙ),ｙ)で定義されるＢ:(Ｘ×Ｙ)→(Ｘ×Ｙ)

は線形連続写像,

つまりＢ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)であって,これも可逆である。"

というものです。

これの証明をやってみます。

Ｂの線形性はＡの線形性から直線的に得られるので,

これの証明は省略します。

Ｂの"連続性＝有界性"の方の証明ですが,

これは,|Ｂ(ｘ,ｙ)|≡|(Ａ(ｘ,ｙ),ｙ)|≦|Ａ||(ｘ,ｙ)|＋|ｙ|

＝|Ａ|(|ｘ|＋|ｙ|)＋|ｙ|≦(|Ａ|＋1)|(ｘ,ｙ)|より,

確かに成立することがわかります。

よって,Ｂ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)です。

次に,Ｂ(ｘ,ｙ)＝(0,0)ならば,Ａ(ｘ,ｙ)＝0 かつｙ＝0 です。

よって,ＡＪ_xｘ＝0 かつｙ＝0 ですが,仮定によりＡＪ_x:Ｘ→Ｘは可逆なので,これから(ｘ,ｙ)＝(0,0)が得られます。

故に,Ｂは１対１(単射)です。

有限次元なら線形写像では１対１写像(単射)と上への写像(全射)は同義なのですが,無限次元空間なのでそうはいきません。

そこで,Ｂが上への写像であることも証明する必要があります。

(ｚ,ｗ)∈(Ｘ×Ｙ)が任意に与えられたとします。

ｘ≡(ＡＪ_x)^-1(ｚ－Ａ(0,ｗ)),かつｙ≡ｗとすると,

Ｂ(ｘ,ｙ)≡(Ａ(ｘ,ｙ),y)＝(Ａ(ｘ,0)＋Ａ(0,ｙ),ｙ)

＝(ＡＪ_xｘ＋Ａ(0,ｙ),ｙ)＝(ｚ,ｗ)が確かに成立します。

かくして,Ｂは全単射であることがわかりましたから,

逆写像Ｂ^-1が存在します。

次に,Ｂ^-1(ｚ,ｗ)＝((ＡＪ_x)^-1(ｚ－Ａ(0,ｗ)),ｗ)ですから,

|Ｂ^-1(ｚ,ｗ)|≦|(ＡＪ_x)^-1|(|ｚ|＋|Ａ||ｗ|)＋|ｗ|

≦{|(ＡＪ_x)^-1|(|Ａ|＋1)＋1}|(ｚ,ｗ)|により,

Ｂ^-1も"有界＝連続"です。

以上で,Ｂ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)で,Ｂは可逆であることが証明されました。

では,本題の陰関数定理の証明に取り掛かります。

まず,写像Ｆ:Ｅ→(Ｘ×Ｙ)をＦ(ｘ,ｙ)≡(ｆ(ｘ,ｙ),ｙ)

で定義します。

このとき,(ａ,ｂ)∈(Ｘ×Ｙ)におけるＦの微分係数を求めます。

Ｆ(ａ＋ｈ,ｂ＋ｋ)－Ｆ(ａ,ｂ)＝(ｆ(ａ＋ｈ,ｂ＋ｋ)－ｆ(ａ,ｂ),ｋ)

＝(ｆ'(ａ,ｂ)(ｈ,ｋ)＋ｒ(ｈ,ｋ),ｋ)＝(Ａ(ｈ,ｋ),ｋ)＋ｓ(ｈ,ｋ),

ただし,|ｓ(ｈ,ｋ)|/|(ｈ,ｋ)|→ 0 as (ｈ,ｋ)→ (0,0) です。

それ故,Ｂ:(Ｘ×Ｙ)→(Ｘ×Ｙ)をＢ(ｈ,ｋ)≡(Ａ(ｈ,ｋ),ｋ)であるように定めると,Ｂ＝Ｆ'(ａ,ｂ)で上の補題によりＢは可逆です。

結局,Ｆ:Ｅ→(Ｘ×Ｙ)でＢ＝Ｆ'(ａ,ｂ)は可逆であり,

Ｆ(ａ,ｂ)＝(ｆ(ａ,ｂ),ｂ)＝(0,ｂ)です。

そこで,逆写像(逆関数)定理により,開集合Ｕ,Ｖ⊂(Ｘ×Ｙ)が存在して

(ａ,ｂ)∈Ｕ⊂Ｅ,(0,ｂ)∈Ｖで,Ｆ:Ｕ→Ｖが全単射となります。

それ故,逆写像Φ≡Ｆ^-1:Ｖ→Ｕが存在してＶの上でＣ¹級です。

Φ(ｚ,ｗ)＝(ｘ,ｙ)ならＦ(ｘ,ｙ)≡(ｆ(ｘ,ｙ),ｙ)＝(ｚ,ｗ)より,

ｙ＝ｗです。

そこでΦ(ｚ,ｗ)≡(φ(ｚ,ｗ),ｗ)でφ:Ｖ→Ｘを定義すれば,

φもＶの上でＣ¹級です。

そして,Ｆ(ａ,ｂ)＝(0,ｂ)により,Φ(0,ｂ)＝(ａ,ｂ),

すなわちφ(0,ｂ)＝ａです。

また,Ｆ(φ(ｚ,ｗ),ｗ)＝(ｚ,ｗ) for ∀(ｚ,ｗ)∈Ｖ ⇒ (f(φ(ｚ,ｗ),ｗ),ｗ)＝(ｚ,ｗ) for ∀(ｚ,ｗ)∈Ｖです。

Ｖは開集合で,(0,ｂ)∈Ｖですから,ヨε＞0：{(ｚ,ｗ)||ｚ|＋|ｗ－ｂ|＜ε}⊂Ｖが成立します。

このとき,Ｗ≡|ｗ∈Ｙ｜|ｗ－ｂ|＜ε}と定義すると,ＷはＹの開集合で

∀ｗ∈Ｗに対して(0,ｗ)∈Ｖです。

そして(f(φ(0,ｗ),ｗ),ｗ)＝(0,ｗ) for ∀ｗ∈Ｗ,

すなわちf(φ(0,ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗ ,

つまりｇ(ｗ)≡φ(0,ｗ)とおけばｆ(ｇ(ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗ

です。

ｇはＷの上でＣ¹級であることが示されました。

次に,ｇの他にｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗなるｇ^*が存在すれば,

Ｆ(ｇ(ｗ),ｗ)＝(ｆ(ｇ(ｗ),ｗ),ｗ)＝(0,ｗ)＝(ｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ),ｗ)

＝Ｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ)でありＦ:Ｕ→Ｖは全単射ですから,

Ｗの上でｇ(ｗ)＝ｇ^*(ｗ)となります。

以上で証明終わりです。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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