電流によって発生する光子の個数分布

　今日は量子電磁力学（QEＤ)に基づいて,電流密度が存在するときに発生する輻射場における光子の個数分布を考察することにより,量子電磁力学の一端を垣間見てみましょう。 

　ゲージ(dauge)としては,"輻射ゲージ(radiation gauge)＝Coulombゲージ":∇Ａ＝0 を採用します。

　解くべき場の方程式は,□Ａ＝Ｊ_Tとなります。

　ただし,□≡∂²/∂ｔ²－∇²はD'Alembertian)であり,Ｊ_T は電流密度Ｊの横成分,つまり∇Ｊ_T＝0 を満足する成分です。

　場の方程式を解けば,形式解として,

　Ａ(ｘ)＝Ａ_in(ｘ)＋∫_-∞^tｄ⁴ｙＤ_ret(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)

　＝Ａ_out(ｘ)＋∫_∞^tｄ⁴ｙＤ_adv(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)なる表式を得ます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ－ｙ),Ｄ_adv(ｘ－ｙ)はそれぞれ遅延Green関数,先進Green関数です。

ここでのGreen関数は□の逆演算子:□^-1を意味します。(□^-1は微分演算子□の逆なので積分演算子です。) 

Ａ_in(ｘ),Ａ_out(ｘ)は,それぞれ,In-field(入射場)とOut-field(射出場)であり,それぞれ無限の過去と無限の未来での漸近場を示します。

ただし,くりこみ定数を考慮しない表現をしています。

ここで,Ｄ関数と呼ばれるGreen関数:Ｄ(ｚ)を.

Ｄ(ｚ)≡Ｄ_ret(ｚ)－Ｄ_adv(ｚ)

＝{ｉ/(2π)³}∫ｄ⁴ｋθ(ｋ⁰)δ(ｋ²)(ｅ^-ikz－ｅ^ikz)

によって定義します。

すると,Ａ_in(ｘ)＋∫_-∞^tｄ⁴ｙＤ_ret(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)

＝Ａ_out(ｘ)＋∫_∞^tｄ⁴ｙＤ_adv(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)から,

Ａ_out(ｘ)＝Ａ_in(ｘ)＋∫^ｔｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)

と書けます。

そして"散乱行列＝Ｓ行列"の演算子:Ｓ^をＳ^^-1Ａ_in(ｘ)Ｓ^≡Ａ_out(ｘ)で定義します。

すると,Ｓ^^-1Ａ_in(ｘ)Ｓ^＝Ａ_in(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)Ｊ_T(ｙ)

なる等式が成立します。

ｋ空間(運動量空間)で考察した方が容易なのでＪ_T をFourier展開形で表わしておきます。

横電流はＪ_T(ｙ)≡∫₀^∞ｄｋ⁰/(2π)∫ｄ³ｋ[Σ_λ=1²ε(ｋ,λ){ｊ(ｋ,λ)ｅ^-iky＋ｊ^*(ｋ,λ)ｅ^iky}]/(2π)^3/2と表現されます。

Ａ_in(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2ｋ⁰)^1/2θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)[Σ_λ=1²ε(ｋ,λ){ａ^_in(ｋ,λ)ｅ^-ikx＋ａ^_in⁺(ｋ,λ)ｅ^ikx}]/(2π)^3/2と展開します。

同様に,Ａ_out(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2ｋ⁰)^1/2θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)[Σ_λ=1²ε(ｋ,λ){ａ^_out(ｋ,λ)ｅ^-ikx＋ａ^_out⁺(ｋ,λ)ｅ^ikx}]/(2π)^3/2です。 

そこで,ａ^_out(ｋ,λ)＝ａ^_in(ｋ,λ)＋iｊ(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2,または

Ｓ^^-1ａ^_in(ｋ,λ)Ｓ^＝ａ^_in(ｋ,λ)－iｊ(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2です。

それ故,Ｓ^^-1ａ^_in⁺(ｋ,λ)Ｓ^＝ａ^_in⁺(ｋ,λ)－iｊ^*(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2

も成立します。

ただし,ｋ²＝0 です。 

ａ^_in(ｋ,λ)はＳ^^-1ａ^_in(ｋ,λ)Ｓ^なる変換により,ｃ-数である電流密度の値だけシフトされるという形になっています。

そこでＳ^を陽に解くことができます。

そのために,線形演算子Ａ^,Ｂ^に対して,[Ａ^,Ｂ^]がｃ-数のときは,

ｅ^{B^}Ａ^ｅ^{-B^}＝Ａ^＋[Ｂ^,Ａ^]なる公式が成立するのを利用します。

Ａ^＝ａ^_in(ｋ,λ),Ｓ^＝ｅ^{-B^},[Ａ^,Ｂ^]＝iｊ(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2なら,

Ｓ^^-1ａ^_in(ｋ,λ)Ｓ^＝ａ^_in(ｋ,λ)－iｊ(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2

が成立します。

また,[ａ^_in(ｋ,λ),ａ^_in⁺(ｋ',λ')]＝δ³(ｋ－ｋ')δ_λλ'です。

そこで,Ｂ^がａ^_inとａ^_in⁺の線形結合であると仮定して,

Ｓ^＝exp [i∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)

＋ｊ^*(ｋ,λ)ａ^_in(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]とおけば,

散乱行列の演算子Ｓ^として整合的であることがわかります。

In-stateで挟まれたＳ行列要素を評価するためには,Ｓ^を正規順序(normal-ordering)にしておくのが便利です。

こんどは,[Ａ^,Ｂ^]がｃ-数のとき,ｅ^{A^+B^}＝ｅ^{A^}ｅ^{B^}ｅ^{-[A^,B^]/2}なる公式を用います。

Ｓ^は３つの指数関数の積として,

Ｓ^＝exp[i∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]

exp [i∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ^*(ｋ,λ)ａ^_in(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]

exp[－∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(4|ｋ|)]

と表わされます。

こうしてＳ^の陽な形がわかったので,特殊な偏極λ₁,λ₂,..λ_nを持つｎ個の光子が電流密度 J によって,ある3ｎ次元のｋ空間の領域Ｒ に輻射として生成される確率Ｐ_nを計算することができます。

まず,Ｐ_n(Ｒ,λ₁,λ₂,..,λ_n)

≡Σ_k∈R |＜ｋ₁λ₁,ｋ₂λ₂,..,ｋ_nλ_n;out|0;in＞|²

＝Σ_k∈R |＜ｋ₁λ₁,ｋ₂λ₂,..,ｋ_nλ_n;in|Ｓ^|0;in＞|²

と書きます。

先のＳ^の表現を代入して,上の式に寄与するＳ^のｎ個の生成演算子とゼロ個の消滅演算子の項で展開すると,

Ｐ_n(Ｒ,λ₁,λ₂,..,λ_n)

＝exp[－∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

Σ_k∈R |＜ｋ₁λ₁,ｋ₂λ₂,..,ｋ_nλ_n;in|(1/ｎ!)

[ｉ∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]ⁿ|0;in＞|²

と書くことができます。

もし与えられた波数空間の領域Ｒで任意の偏極を持つ光子の輻射確率を求めたいのであればさらに簡単化できます。 

まず,ゼロ個の生成は真空で挟んだ値として,

Ｐ₀≡exp [－∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]

とします。

そして,ｎ個生成は

Ｐ_n(Ｒ)≡Ｐ₀Σ_λi=1²Σ_k∈R |＜ｋ₁λ₁,ｋ₂λ₂,..,ｋ_nλ_n;in|(1/ｎ!)

[i∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]ⁿ|0;in＞|²

です。

Ｐ_n(Ｒ)＝Ｐ₀Σ_α|＜α;in|(1/ｎ!)[i∫_R ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]ⁿ|0;in＞|²

＝{Ｐ₀/(ｎ!)²}＜0;in|{[∫_R ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ^*(ｋ,λ)ａ^_in(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]ⁿ[∫_R ｄ³ｋ{Σ_λ=1²ｊ(ｋ,λ)ａ^_in⁺(ｋ,λ)}/(2|ｋ|)^1/2]ⁿ|0;in＞

となります。

結局,Ｐ_n(Ｒ)＝Ｐ₀[∫_R ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)]ⁿ/ｎ!が得られます。

Ｒを全空間に取ったときのＰ_n(Ｒ)を単にＰ_nで表わせばこれはPoisson分布になることがわかります。

それ故,輻射される光子の個数の平均値を＜ｎ＞と書けば,この平均個数は電流密度の強さによって定まります。

＜ｎ＞＝∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}/(2|ｋ|)＝Σ_n=0^∞ｎＰ_n

なる式です。

Ｐ_nは確かにＰ_n＝[ｅ^－＜ｎ＞＜ｎ＞^ｎ]/ｎ!というPoisson分布となり,確率の条件であるΣ_n=0^∞Ｐ_n＝1を満たします。

また,輻射の全エネルギーＥは,

Ｅ＝Σ_n=0^∞Σ_λi=1²Σ_k|＜ｋ₁λ₁,ｋ₂λ₂,..,ｋ_nλ_n;in|Ｓ|0;in＞|²(ｋ₁⁰＋ｋ₂⁰＋..＋ｋ_n⁰)＝＜0;in|Ｓ^^-1Ｈ^₀(Ａ_in)Ｓ^|0;in＞

で与えられます。

ここで,Ｈ^₀(Ａ_in)≡∫ｄ³ｋ{ｋ⁰ａ_in⁺(ｋ,λ)ａ^_in(ｋ,λ)}は自由輻射場のHamiltonianです。 

Ｓ^^-1ａ^_in(ｋ,λ)Ｓ^＝ａ^_in(ｋ,λ)＋iｊ(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2,かつ

Ｓ^^-1ａ^_in⁺(ｋ,λ)Ｓ^＝ａ^_in⁺(ｋ,λ)－iｊ^*(ｋ,λ)/(2|ｋ|)^1/2

(ただしｋ²＝0 )を代入すれば,

エネルギーはＥ＝(1/2)∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}となります。

これは,電流密度から放出されるエネルギーＥについての古典的結果と一致します。

(※古典論では,電流から放出されるエネルギーＥは,

Ｅ＝(1/2)∫ｄ³ｘ(Ｅ_T²＋Ｂ²)＝(1/2)∫ｄ³ｋ{Σ_λ=1²|ｊ(ｋ,λ)|²}

です。※)

参考文献；J.D.Bjorken S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill Books Company)

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