常微分方程式の解の存在定理④(連立方程式,高階の方程式)

連立常微分方程式系:ｄｙ_i/ｄｘ＝ｆ_i(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..ｙ_n）(ｉ＝1,2,..,ｎ)についての解の存在定理を考えます。

これは,ｙ≡^ｔ(ｙ₁,ｙ₂,．．ｙ_n),ｆ≡^ｔ(ｆ₁,ｆ₂,..ｆ_n)と列ベクトル表示をすれば,ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)と書けます。

ｆの定義域である閉領域ＤをＤ＝Ｉ×Ｊ,Ｉ≡[ｘ₀－ａ,ｘ₀＋ａ],Ｊ≡[ｙ₀－ｂ,ｙ₀＋ｂ]とし,Ｄの上でのｆの連続性を仮定すれば,容易にＤが２次元の領域の場合に還元できます。

そこで,この"拡張された解の存在定理"の成立自体は,ほぼ自明ですから証明は省略します。

この場合,"ノルム＝ｎ次元の絶対値"について,

|ｆ(ｘ,ｙ₁)－ｆ(ｘ,ｙ_２)|＜ｋ|ｙ₁－ｙ_２|なるLipschitz条件

を仮定すれば解の一意性も成立します。

そして,高階(ｎ階)の常微分方程式:

ｄⁿｙ/ｄｘⁿ＝ｆ(ｘ,ｙ.ｄｙ/ｄｘ,ｄ²ｙ/ｄｘ²,..,ｄ^n-1ｙ/ｄｘ^n-1)は,

ｙ₁＝ｙ,ｙ₂＝ｄｙ₁/ｄｘ,ｙ₃＝ｄｙ₂/ｄｘ,..,ｙ_n＝ｄｙ_n-1/ｄｘとおき,最後にｄｙ_n/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..ｙ_n)とすれば,

上述の連立方程式:ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)に帰着します。

そこで,高階の常微分方程式の解の存在と一意性の問題は,連立方程式のそれに帰着します。

結局,１階の常微分方程式の「解の存在と一意性」の問題に還元されることがわかりました。(以上)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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