常微分方程式の解の存在定理③(一意性,一般解の存在(1))

解の存在定理において,ｆ(ｘ,ｙ)の連続性の他にLipschitz条件:

"ある正の数ｋが存在して'(ｘ,ｙ₁),(ｘ,ｙ₂)∈Ｄ⇒|ｆ(ｘ,ｙ₁)－ｆ(ｘ,ｙ₂)|＜ｋ|ｙ₁－ｙ₂|'が成り立つ。"

という条件が満足されるなら,

したがって,例えば,"Ｄの中でｆ(ｘ,ｙ)が連続でｙについて連続な偏微分係数を持つなら,

ｄψ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ψ(ｘ));ψ(ｘ₀)＝ｙ₀を満たす解ψ(ｘ)は

一意的(unique)になります。

その理由としては,

上記の初期値問題の解：ψ(ｘ)はψ(ｘ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘを満たしますが,もしもその他にψ₁(ｘ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ₁(ｘ))}ｄｘを満たすψ₁(ｘ)が存在するなら,Lipschitz条件から

|ψ(ｘ)－ψ₁(ｘ)|≦|∫_ｘ0^x|ｆ(ｘ,ψ₁(ｘ))－ｆ(ｘ,ψ₁(ｘ))|ｄｘ

＜ｋα|ψ(ｘ)－ψ₁(ｘ)| なる不等式が成立します。

そこで,ｋα＜1 となるようにαを選ぶと,(1－ｋα)|ψ(ｘ)－ψ₁(ｘ)|＜0 ,かつ (1－ｋα)＞0 となります。

しかし,これは矛盾を生じることになるので,ψ(ｘ)と異なるψ₁(ｘ)の存在は不可能となるからです。

そこで,ｆ(ｘ,ｙ)が領域Ｒにおいて連続で,かつLipschitz条件を満足するとき,ｙ₀のいろいろな値に対してｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)を満たし(ｘ₀,ｙ₀)を通る一意的な解:ψ(ｘ)が存在することになります。

しかし,解ψ(ｘ)はパラメータｙ₀のみに依存するのでしょうか？

すなわち,これらのｙ₀に依存する解ψ(ｘ)をφ(ｘ,ｙ₀)と書くことができますが,それはＤにおける別のｘ,例えばｘ＝ｘ₁における別の初期条件ｙ|_ｘ＝ｘ1＝ｙ₁;(ｘ₁,ｙ₁)∈Ｄに対する一意解の全てを含むか否か？

という問題が残っています。

これは,「一般解の存在定理」という形で解決されます。

まず,１階常微分方程式について厳密な意味での一般解の定義を与えておきましょう。

"ただ１つの任意定数Ｃを含むｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解:

ｙ＝φ(ｘ,Ｃ)が存在して,

Ｃに適当な値を与えることにより,ｆ(ｘ,ｙ)が１価連続でLipschitz条件を満足する領域Ｄに含まれる全ての"特殊解＝初期値問題の一意解"を表現することができるとき,

このｙ＝φ(ｘ,Ｃ)をＤにおける１階常微分方程式:ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の一般解という。"

と定義されます。

「一般解の存在定理」を証明するために,まず"補助定理１＝解の延長定理"を与え,証明しましょう。

(補助定理１):方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の右辺の関数ｆ(ｘ,ｙ)が有界な閉領域Ｄで１価連続でLipschitz条件を満足すると仮定する。

そして,φ(ｘ)をＤの内部のある点(ｘ₀,ｙ₀)を通り,有限区間:ａ＜ｘ＜ｂで定義されるｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の一意解とする。

もちろん,ａ＜ｘ＜ｂを満たすｘに対して(ｘ,φ(ｘ))∈Ｄである。

このときφ(ａ＋0),φ(ｂ－0)が存在して,これらをそれぞれφ(ａ),φ(ｂ)と定義すればφ(ｘ)はａ≦ｘ≦ｂで定義されるｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解となる。

こうして解は閉区間:[ａ,ｂ]へと"延長"される。

さらに,点(ａ,φ(ａ＋0))(または(ｂ,φ(ｂ－0)))がＤの内点であれば,解φ(ｘ)は,さらにａの左(またはｂの右)に延長される。

これを証明します。

(証明):φ(ｘ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,φ(ｘ))}ｄｘですから,

ａ＜ｘ₁＜ｘ₂＜ｂなら,φ(ｘ₂)－φ(ｘ₁)＝∫_ｘ1^x2{ｆ(ｘ,φ(ｘ))}ｄｘ

です。

ところが,ｆ(ｘ,ｙ)は有界な閉領域Ｄの上で連続なので,この閉領域Ｄにおいて|ｆ(ｘ,ｙ)|≦ＭなるＭ＞0 が存在します。

したがって,|φ(ｘ₂)－φ(ｘ₁)|≦Ｍ(ｘ₂－ｘ₁)です。

そこで,ｘ₁,ｘ₂→ａ＋0 に対して(ｘ₂－ｘ₁)→ 0 によって,|φ(ｘ₂)－φ(ｘ₁)|→ 0 ですから,Cauchyによりφ(ａ＋0)が確かに存在します。

同様にφ(ｂ－0)も存在します。

ｘの関数ψ(ｘ)を,ｘ∈(ａ,ｂ)ならψ(ｘ)≡φ(ｘ),ｘ＝ａ,ｂならψ(ａ)≡φ(ａ＋0),ψ(ｂ)≡φ(ｂ－0)と定義します。

こうすれば,ｘ∈(ａ,ｂ)のときにはψ(ｘ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘで,ｘ＝ｂではψ(ｂ)＝ｙ₀＋lim∫_ｘ0^ｂ-ε{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘです。

そして,ｆ(ｘ,ψ(ｘ))はｘ＝ｂで連続なので∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘはｘ＝ｂに対しても存在して連続です。

それ故,狭義の積分としてもψ(ｂ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^ｂ{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘと書くことができます。

そして,ｘ＝ａに対しても同様にψ(ａ)＝ｙ₀＋∫_ｘ0^a{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘと書けます。

ｆ(ｘ,ψ(ｘ))は閉区間:[ａ,ｂ]で連続ですから,∀ｘ∈[ａ,ｂ]に対して(ｄ/ｄｘ)[∫_ｘ0^x{ｆ(ｘ,ψ(ｘ))}ｄｘ]＝ｆ(ｘ,ψ(ｘ))です。

結局,∀ｘ∈[ａ,ｂ]に対しｄψ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ψ(ｘ)),かつψ(ｘ₀)＝ｙ₀となり,解はＤに含まれる閉区間:[ａ,ｂ]に延長されます。

次に,点(ｂ,ψ(ｂ))がＤの内点なら,解の存在と一意性の定理により,点(ｂ,ψ(ｂ))を通りある区間[ｂ－β,ｂ＋β](β＞0)で定義されたｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解:ｙ＝ψ₁(ｘ)が存在します。

ψ₁(ｘ)の[ｂ－β,ｂ]の部分は一意性の定理よりψ(ｘ)と一致します。

そこでχ(ｘ)をｘ∈[ａ,ｂ]のときχ(ｘ)≡ψ(ｘ),ｘ∈[ｂ,ｂ＋β]のときにχ(ｘ)≡ψ₁(ｘ)と定義します。

こう定義すれば,ｙ＝χ(ｘ)は∀ｘ∈[ａ,ｂ＋β]についてｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)を満足し,しかも全ての点で連続です。

それ故,ｙ＝χ(ｘ)が点(ｘ₀,ｙ₀)を通るｘ∈[ａ,ｂ＋β]で定義された唯一の解であることが示されました。

同様にして,点(ａ,ψ(ａ))がＤの内点ならあるα＞0 が存在してｙ＝ψ(ｘ)は[ａ－α,ｂ]まで延長されます。(証明終わり)

今日は少し疲れているのでここまでにします。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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