星の進化とチャンドラセカール質量

星を構成する気体物質の圧力をＰ,密度をρ,万有引力定数をＧとし,それぞれｃを星の中心,ｇを気体,ｒを輻射,ｅを電子,Ｉを正イオンの添字を表わすものとします。

すると,Emden解における質量Ｍは,Ｍ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_N；

φ_N≡－(Ｎ＋1)^1/2[ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ]_ξ＝ξNで与えられます。

ここで,Ｐ_c＝Ｐ_gc＋Ｐ_rc,Ｐ_gc＝Ｐ_Ic＋Ｐ_ecですが,β_c＝Ｐ_gc/Ｐ_cとおけばＰ_rc/Ｐ_c＝1－β_cです。

ρ_cは電子とイオンによるもので,平均分子量μと水素原子の質量ｍ_Hを用いてＰ_gc＝ρ_cｋ_BＴ_c/(μｍ_H)と書けます。

Ｔ_c は,もちろん星の中心の温度です。

このとき,Ｐ_c³/ρ_c⁴＝(Ｐ_c/Ｐ_ｇc)⁴{ｋ_BＴ_c/(μｍ_H)}⁴/Ｐ_c＝(1－β_c){ｋ_B/(μｍ_H)}⁴Ｔ_c⁴/(β_c⁴Ｐ_c)となります。

ところが,Stefan-Boltzmannの法則:Ｅ＝ａＴ⁴とＰ＝Ｅ/3(Ｅはエネルギー密度)により,Ｐ_c＝ａＴ_c⁴/3ですから,星の全質量はＭ＝[3{ｋ_B/(μｍ_H)}⁴/(4πＧ³ａ)]^1/2{(1－β_c)^1/2/β_c²}φ_Nとなります。

これは,輻射優勢のとき:β_c＜＜1のときにはＭが大きくなることを示唆しています。

ｄＰ/ｄｒ＝－ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ²の両辺に4πｒ³を掛けて,0 ～ Ｒまでｒで積分すると∫₀^R4πｒ³(ｄＰ/ｄｒ)ｄｒ＝－∫₀^M(ＧＭ(ｒ)/ｒ)ｄＭ(ｒ)です。

右辺は星自身の重力エネルギーΩを表わしています。

一方,左辺＝[4πｒ³Ｐ]_r=0^ｒ=R＝－3∫ＰｄＶですから,Ω＝－3∫ＰｄＶなる等式が得られます。

ところで星の内部で比熱比:γが一定であるとすると,Ｐ＝Ｅ/ｎ＝(γ－1)Ｅであり内部エネルギーはＵ＝∫ＥｄＶですから,3(γ－1)Ｕ＋Ω＝0 を得ます。この等式は星のvirial定理と呼ばれています。

一方,Ω＝－∫₀^M(ＧＭ(ｒ)/ｒ)ｄＭ(ｒ)＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{ＧＭ(ｒ)²/(2ｒ²)}ｄｒ＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{Ｍ(ｒ)/ρ(ｒ)}ｄＰです。

ここで,ポリトロープガス球の関係:ＮｄlogＰ＝(Ｎ＋1)ｄlogρより,

ｄＰ/ρ＝(Ｎ＋1)ｄ(Ｐ/ρ)を用いると,

Ω＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{Ｍ(ｒ)/ρ(ｒ)}ｄＰ

＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－{(Ｎ＋1)/2}∫ＰｄＶです。

そして,∫ＰｄＶ＝(γ－1)Ｕ＝－Ω/3ですから,－ＧＭ²/Ｒ＝(5－Ｎ)Ω/3,あるいは,Ω＝3ＧＭ²/{(Ｎ－5)Ｒ}です。

よって,Ｕ＝－Ω/{3(γ－1)}＝ＧＭ²/{(γ－1)(5－Ｎ)Ｒ}を得ますから,内部エネルギーと重力エネルギーを加えた全エネルギーをＥ_tとすると,

Ｅ_t＝Ｕ＋Ω＝－(3γ－4)ＧＭ²/{(γ－1)(5－Ｎ)Ｒ}

＝(3γ－4)Ω/{3(γ－1)}＝－(3γ－4)Ｕ

となります。

もっとも,Ｅ_t＝Ｕ＋Ω＝－(3γ－4)Ｕの関係を導くだけなら,こんな面倒な計算をしなくても,3(γ－1)Ｕ＋Ω＝0 からすぐ得られます。

星が重力的に束縛されているためにはＥ_t＜0 が必要ですから,γ＞4/3でなければなりません。

そして,γ＞4/3の場合,星の表面からエネルギーが放出されるとｄＥ_t/ｄｔ＜0 であり,Ｅ_t＝(3γ－4)Ω/{3(γ－1)}によってｄΩ/ｄｔ＜0 であって,ｄＵ/ｄｔ＞0 であることがわかります。

つまり,収縮によって解放された重力エネルギーΔΩのうちΔΩ/{3(γ－1)}が内部エネルギーに加わり,残りは外部に放出されることになります。

通常,物体から熱エネルギーが流出すれば,その物体の温度は低下するのですが,重力平衡にある星では逆に,エネルギーが流出するほど内部エネルギーＵが増加するので温度が上がることになります。

以下では,星間ガスから原始星になり主系列星になっていくという星の進化の議論に入っていきますが,星の質量によってその進化過程が異なるという話になっていきます。

ただし,その詳細については,私自身がまだ十分に把握していないので,概略しか述べることはできませんが。。。。

星の内部の圧力を無視すると,物質はｄ²ｒ/ｄｔ²＝－ＧＭ/ｒ²によって自由落下するので,星の平均密度をρとするとその落下時間ｔ_ffは,

ｔ_ff＝{3/(4πＧρ)}^1/2で与えられます。

一方,圧力が大きくて重力が無視できるときは,

ρｄ²ｒ/ｄｔ²＝－ｄＰ/ｄｒ＞ 0 なので,膨張時間 ｔ_exは,ρＲ/ｔ_ex²～ Ｐ/Ｒと近似して,ｔ_ex～ Ｒ/(Ｐ/ρ)^1/2となります。

そして,重力と圧力が釣り合った平衡の状態では,

オーダー的にｔ_ff～ ｔ_ex になると考えられます。

Ｐ/ρ＝ｋ_BＴ/(μｍ_H)により,ｔ_ex～ Ｒ/(Ｐ/ρ)^1/2

＝{μｍ_H/(ｋ_BＴ)}^1/2{3Ｍ/(4πρ)}^1/3ですから,ｔ_ff～ ｔ_exの条件は

温度ＴについてＴ～ (Ｇｍ_H/ｋ_B)ρ^1/3Ｍ^2/3を意味します。

これをＴ－ρの両対数曲線で表わしたとき,この条件を満たす曲線を力学的平衡線といいます。

ρに対して,温度Ｔがこの力学的平衡線より低いときにはｔ_ff＜ｔ_exなので収縮が起きます。

また,質量が小さいときは力学的平衡線は温度Ｔの低い方に下がるので,収縮は,より低温にならないと始まりません。

一方,収縮して密度ρが高くなるとガス雲は冷却の原因となる赤外線などの輻射に対して不透明になります。(輻射に対して不透明とは輻射が見えないこと,つまり輻射が小さいことを意味します。)

不透明になった原始星は輻射冷却が不透明性によって阻害されるため,断熱的に収縮して結果として温度は上昇します。

そして収縮の途中では水素分子の解離と電離にそのエネルギーを費やすため,やがて温度上昇は横ばいになり,電離が終わると再び温度が上昇してゆきます。

その後は,まず中心部で収縮が止み,次に外層の落下収縮も止まります。

こうして原始星は収縮して平衡に向かい,いわゆる主系列星になります。

(※つまり,星が力学的平衡線上にある状態が主系列星です。)

この段階を"林フェイズ"といいます。

主系列星でＨが燃焼され尽くされると,星はＨeコア(ヘリウム核)と初期の元素組成を保つ外層部との層状な構造となり,Ｈeコアの表面でのＨの殻燃焼段階に入ります。

殻燃焼が進むと,Ｈeコアの質量が大きくなるためにコアは収縮し星は半径が増大して巨星化します。(図はホームページから借用)

　　　

それ以後の進化はその質量によって異なることが知られています。

Ｍ＜3Ｍ_太陽の星はその進化とともに小さい星になります。

そして内部の核エネルギーを使い果たすと共に収縮し,中心密度が高くなって電子が縮退を始めます。

それでも表面からのエネルギー放出は続くので,冷却してやがて電子の縮退圧で支えられる星になります。

このような星を白色矮星といいます。

こうした白色矮星の限界質量を考えてみます。

簡単のため,化学組成は一様とし,完全冷却して完全縮退したＴ＝0 の場合を考えます。

この場合の状態方程式は,　

Ｐ＝Ｋｆ(ｘ),Ｋ＝{1/(3π²)}(ｍ_eｃ/ｈ)³ｍ_eｃ²＝6.0×10¹⁴Ｊ/ｍ³,

ｆ(ｘ)＝ｘ(2ｘ－3)(ｘ²＋1)^1/2＋3sinh^-1(ｘ),ｘ≡ｐ_F/(ｍ_eｃ)

で与えられます。

ここで,原子核による圧力は小さいので無視し,電子の縮退圧のみを考えています。また,ｃは光速,ｈはPlanck定数,ｍ_eは電子質量です。

電子数密度ｎ_eは,ｎ_e＝(8π/3)(ｍ_eｃ/ｈ)³ｘ³＝(1/3π²)(ｍ_eｃ/ｈ_c)³ｘ³ (ｈ_c≡ｈ/(2π))であり,ρ＝μ_eｎ_eｍ_pです。

μ_eは原子１個当たりの電子数,ｍ_pは陽子質量です。

また,物質密度ρは,ρ＝ρ_critｘ³,ただしρ_crit＝{ｍ_Nμ_e/(3π²)}(ｍ_eｃ/ｈ)³≒9.7×10⁸μ_e kg/ｍ³(ｍ_Nは核子の質量)で与えられます。

相対論的な場合を考えてρ＞＞ρ_c,ｘ＞＞1とすると,

ｆ(ｘ)～ 2ｘ⁴－3ｘ²より,Ｐ＝{ｈ_cｃ/(12π²)}{3π²ρ/(ｍ_Nμ_e)}^4/3

となります。

これはポリトロープ指数Ｎ＝3に相当しますから,質量はＭ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_N(Ｎ＝3)で与えられます。

(Ｐ_c³/ρ_c⁴)^1/2＝{ｈ_cｃ/(12π²)}^3/2{3π²/(ｍ_Nμ_e)}²であり,Emdenの数値解によると,φ₃＝6.957ですから,

Ｍ＝{(3π²)^1/2/16}φ₃{(ｈ_cｃ/Ｇ)^3/2/(ｍ_Nμ_e)²}

＝1.16×10³¹μ_e^-2 kg＝5.84μ_e^-2Ｍ_太陽 が得られます。

これが電子の縮退圧で支えることのできる白色矮星の限界質量です。

これは,チャンドラセカール限界質量(Chandrasekhar limit)と呼ばれています。

このChandrasekhar質量:Ｍ_chは,μ_e＝2の場合が多いため,

Ｍ_ch＝1.46(2/μ_e)²Ｍ_太陽と書かれることが多いです。

実際には,電子のFermiエネルギーが大きくなると,電子は陽子と反応して中性子をつくるようになるので電子の縮退圧で支えられる白色矮星という描像は意味を失って,さらに高密度の中性子星となり中性子の縮退圧で支えられるようになります。

ところで,Chandrasekharの名著"星の構造(Stellar structure)"の訳本の復刊を数年前から復刊ドットコムにリクエストしていますが,投票が100票に達しないと復刊交渉をしてもらえません。

洋書のリプリント版は持っていますが,ぜひ日本語で読みたいので,できましたら投票にご協力くださるようお願いします。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店）

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学