群の単位元と逆元

　久しぶりに数学の話題を取り上げます。ごく軽い話題として群(代数群)の基本性質を証明してみましょう。

集合Ｇの任意の２つの元に,ある演算'・'が定義されていて,

(1)ａ,ｂ∈Ｇならばａ・ｂ∈Ｇが成立し,

(2)ａ,ｂ,ｃ∈Ｇに対して結合則:(ａ・ｂ)・ｃ＝ａ・(ｂ・ｃ)

が成立するとします。

このとき,"(1)左単位元ｅ∈Ｇが存在して,∀ａ∈Ｇに対してｅ・ａ＝ａ

が成り立ち,また,(2)各ａ∈Ｇに対して左逆元ａ^-1∈Ｇが存在して

ａ^-1・ａ＝ｅが成立するなら,

ｅは右単位元でもありａ^-1は右逆元でもある。"こと

すなわち,"∀ａ∈Ｇに対してａ・ｅ＝ａが成立し,かつ,ａ・ａ^-1＝ｅ

が成立する。"ことを証明してみます。 

ａ・ｅ＝ａ・(ａ^-1・ａ)＝(ａ・ａ^-1)・ａですから,

ａ・ａ^-1＝ｅを証明すれば,ａ・ｅ＝ｅ・ａ＝ａが成り立つ,

ことは自明です。

そこで,ａ・ａ^-1＝ｅを証明します。

ａ・ａ^-1＝(ｅ・ａ)・ａ^-1 ＝[{(ａ^-1)^-1・ａ^-1}・ａ]・ａ^-1

＝{(ａ^-1)^-1・ｅ}・ａ^-1＝(ａ^-1)^-1・ａ^-1＝ｅ ですね。

証明は以上です。

このことと,逆元の一意性も簡単に示せるので上の議論から

(ａ^-1)^-1＝ａとなることもわかりました。 

　今日は引越しなどを控えて少し疲れていたので,手抜きをしてしまいました。(^^；)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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