ローレンツ多様体上での固有時間

　さて唐突ですが,相対性理論の運動学を支配する根本的な幾何学構造を示すのは次の命題であることは,よく知られています。

　"ローレンツ多様体(Lorentz manifold)の上では,三角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さより小さい"　

　という命題ですね。

　今日は,これを証明してみます。

これは,次元が２以上ならLorentz多様体である限り成立する命題です。

証明は平易です。そして２次元で成立するなら任意次元で成立するのは,ほぼ自明です。

そこで,対象を２次元多様体とします。

多様体の計量(metric)は,ｄｓ²≡ｃ²ｄτ²＝ｇ_ijｄｘⁱｄｘ^j (ｉ＝0,1)で与えられます。

一方,平坦な時空のMinkowski計量は,ｄｓ²＝η_ijｄＸⁱｄＸ^j;η₀₀＝1,η₁₁＝－1,η₀₁＝η₁₀＝0 です。

Ｘ⁰＝ｃｔ,Ｘ¹＝ｘと書けばｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ｄｘ²です。

そして,ｄｓ²≡ｃ²ｄτ²＝ｇ_ijｄｘⁱｄｘ^j＝η_ijｄＸⁱｄＸ^jなる表式が可能であることが等価原理の１つの表現を与えます。

つまり,各時空点でMinkowski計量になる局所的な一般座標変換;

Ｘⁱ＝Ａ^ｉ_j(ｘ)ｘ^jが必ず存在することが可能ということです。

　Minkowski空間では,Ｐ₁＝(Ｘ₁⁰,Ｘ₁¹)とＰ₂＝(Ｘ₂⁰,Ｘ₂¹)間の距離の平方は,|Ｐ₁Ｐ₂|²＝(Ｘ₁⁰－Ｘ₂⁰)²－(Ｘ₁¹－Ｘ₂¹)²となります。

　そして,第３の点Ｐ₃＝(Ｘ₃⁰,Ｘ₃¹)があるとき,

　不等式:|Ｐ₁Ｐ₃|＋|Ｐ₃Ｐ₂|≦|Ｐ₁Ｐ₂|が成り立つことは,

　簡単な計算で示すことができます。

　これは簡単な計算なので具体的計算のプロセスは省略します。

　上記表現の等価原理により,一般のLorentz多様体の接近した３点Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ_３についても,常にある共通な微小領域でのMinkowski計量の座標を取ることが可能です。

　そこで,この３点についても,測地線長さという意味で,不等式:

　|Ｐ₁Ｐ₃|＋|Ｐ₃Ｐ₂|≦|Ｐ₁Ｐ₂| が成立することがわかります。

　したがって,この多様体上での直線分である測地線で作った三角形では三角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さより常に小さいといえます。

　　　

　このこととｄｓ＝ｃｄτなることから,固有時間τは測地線(平坦な空間での直線)の上にあるとき,最大値を取ることがわかります。

　つまり,重力場の中では,その重力に逆らわず運動,あるいは静止している状態が最も固有時間が長い,つまり,最も歳を取ることになります。

　そこで,"その運動経路＝自由重力落下の測地線"から少しでも逸れて重力以外の機械的動力を用いて宇宙旅行などをすると,回り道をして測地線からはずれた三角形の２辺以上の運動をすることになります。

　そこで,彼の経験する固有時間は重力に逆らわない場合よりも短かいことになり,結局は時間の遅れが生じて歳を取るのが遅れてしまいます。

(※↑例えばウラシマ効果,or 双子のパラドックス。)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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