ガロア理論(3)

　病院生活は退屈なのでガロア理論をおさらいするのにはもってこいの時間でした。

　 さて本題ですが,「ガロアの偉大な定理」と称されるものは,

　"Ｆを標数がゼロの体,Ｅ/Ｆをガロア拡大とする。このときガロア群Ｇ＝Gal(Ｅ/Ｆ)が可解群になるための必要十分条件は,ＥがＦのベキ根による拡大の中に埋め込めることである。

　つまり,Ｆを標数がゼロの体であるとき,多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]のガロア群が可解群になるための必要十分条件は,ｆ(ｘ)がベキ根によって可解になることである。"

　という定理です。

　今日はこれを証明します。

　(証明)まず,標数という用語については通常の有理数体,実数体,複素数体は全て標数がゼロなので,ここでは特に断らない限り出現する体は全て普通の標数がゼロの体としてこれを意識しないことにします。

　また,体のベキ根による拡大というのは次のように定義されます。　

　まず,Ｆの元ではないαに対し適当な正の整数ｍが存在してα^ｍ∈Ｆであるとき,Ｂ＝Ｆ(α)とおけばＢ/ＦをＦのｍ型の純拡大と呼びます。

　また,体の拡大列:Ｆ≡Ｂ₀⊂Ｂ₁⊂...⊂Ｂ_tがあるとき,各々のＢ_i+1/Ｂ_iがある型の純拡大なら,これをベキ根塔と呼びます。この場合に,拡大Ｂ_t/Ｆをベキ根拡大と呼ぶわけです。

　そして,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とするとき,Ｆ上のｆ(ｘ)の分解体Ｅを含む,べき根拡大:Ｂ/Ｆが存在する(Ｆ⊂Ｅ⊂Ｂなるベキ根塔が存在する)とき,"ｆ(ｘ)はＦ上でベキ根によって可解である。"といいます。

　さて,Ｆを体としＥ/Ｆをその拡大とします。

　このとき,Ｅの自己同型写像σで,そのＦへの制限σ|Ｆが恒等写像,つまり,∀ｃ∈Ｆに対してσ(ｃ)＝ｃなるもの(これを"σはＦを点ごとに固定する。"という)の集合は群を作ります。

　この群をＥ/Ｆのガロア群と呼び,Gal(Ｅ/Ｆ)と書きます。

　特にｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が分解体Ｅを持つ場合にば,ｆ(ｘ)のガロア群とは,このGal(Ｅ/Ｆ)のことです。

　そして,体Ｅ上のある自己同型の群Ｇによって点ごとに固定されるＥの点全体の集合をＥ^Gと書き,これをＧによる不変体(固定体)と呼びます。

　一般には,Ｇ＝Gal(Ｅ/Ｆ)のとき,Ｆ⊂Ｅ^G⊂Ｅですが,特にＦ＝Ｅ^Gのとき,Ｅ/Ｆをガロア拡大と呼びます。

　また,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]でＥ/ＦがＦの拡大体であるとき,σ∈Gal(Ｅ/Ｆ)であって,α∈Ｅがｆ(ｘ)の根であれば,明らかにσ(α)もｆ(ｘ)の根です。

　何故なら,Ｆ[ｘ]の多項式ｆ(ｘ)がｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_nｘⁿ と

　表わされるなら,ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_nαⁿ＝0 ですが,

　これの両辺にσを作用させると,ｃ₀＋ｃ₁σ(α)＋..＋ｃ_nσ(α)ⁿ＝0

　となるからです。

　そして,上に示したことからｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が分解体Ｅにおいて異なるｎ個の根:Ｘ＝{α₁,α₂,..,α_n}を持つなら,σ∈Gal(Ｅ/Ｆ)のときσ(Ｘ)＝Ｘとなり,このσについてσ→σ|Ｘなる写像はGal(Ｅ/Ｆ)→Ｓ_X(対称群)であり,しかもこれは準同型写像です。

　そして,Ｓ_XはＳ_nに同型:Ｓ_X ～Ｓ_nです。

　したがって,例えば５次の代数方程式のガロア群はＳ₅の部分群と同型になります。

　まだ,退院直後で疲れ気味なのでこのぐらいにして,続きはまた後にしたいと思います。

参考文献：Ｊ.ロットマン 著(関口次郎 訳)「ガロア理論」(シュプリンガーフェアラーク東京)　

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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