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2007年1月26日 (金)

ガロア理論(4)

 今日は,"(x)∈F[x]が分離的な多項式であり,E/Fがその分解体であれば|Gal(E/F)|=[E:F]である。"ことを証明します。

 そのため,まず次の定理を先に証明します。

[定理]:σ:F→F'を体同型とする。

 

 多項式f(x)∈F[x]:f(x)=Σriiに対して*(x)≡σ*(f(x))≡Σσ(ri)xiを対応するF'[x]の多項式とする。

 

 EをF上のf(x)の分解体とし,E'をF'上のf*(x)の分解体とする。

 

 このとき,

 

 (ⅰ)σを拡張する同型写像<σ>:E→E'が存在する。

 (ⅱ)f(x)が分離的であれば,

 

 丁度[E:F]個のσの拡張:<σ>が存在する。

 

 (証明)(ⅰ)[E:F]=1なら,E=Fになりf(x)はF[x]において1次関数の積に分解されます。

 

 このことから,明らかにf*(x)もF'[x]で1次関数の積に分解されるのでE'=F'になり,したがって<σ>≡σとして問題なしです。

 

次に,[E:F]>1のときはf(x)の2次以上の既約因子p(x)を選び,p(x)の根β∈Eを選ぶと,それはf(x)の根でもあります。

 

*(x)≡σ*(p(x))∈F'[x]を対応する既約多項式としてβ'∈E'をp*(x)の根とします。

 

このとき,Fを点ごとに固定し,Φ(x+(p))=βとなる同型Φ:F[x]/(p)→F(β)が存在することは既に述べました。

 

同様にして,同型:Φ':F'[x]/(p*)→F'(β')が存在し,

c+(p)→σ(c)+(p*),x+(p)→x+(p*)なる同型:

Σ:F[x]/(p)→F'[x]/(p*)も存在します。

 

そこで,,[β]→Φ-1 [x]/(p)→Σ→F'[x]/(p*)→Φ'→F'(β')を<σ>と表わせば,これはF(β)をF'(β')に写すもので,

<σ>(β)=β'となる唯一の同型です。

 

[E:F]=[E:F(β)][F(β):F]であって,[F(β):F]≧2ですから,[E:F(β)]<[E:F]がわかります。

 

したがって,これで帰納法により,σを拡張する同型写像<σ>:E→E'が存在することが証明されました。

 

(ⅱ) [E:F]=1ならE=Fとなり,σの拡張はσ自身がただ1つ(uniqueに)存在します。

 

[E:F]>1のときは,f(x)=p(x)g(x)とします。

 

p(x)は既約でその次数はdです。

 

d=1であれば問題を変えずにf(x)をg(x)に置き換えるだけです。

  

d>1 のときには,p(x)の根βを選びます。

 

このとき,<σ>がσのEへの任意の拡張であれば,<σ>(β)はp*(x)の根β'になります。

 

*(x)は分離的なので,p*(x)は丁度d個の根β'∈E'を持ちます。

 

各β'に対して1つずつ別のσの拡張があるので,同型<σ>:F(β)→F'(β')が丁度d個存在します。

 

EはF(β)上のf(x)の分解体でE'はF'(β')上のf*(x)の分解体であり,[E:F(β)]=[E:F]/dなので,

 

帰納法によりd個の同型の各々には,丁度[E:F]/d通りの拡張された同型:<σ>が存在することになります。

 

結局,トータルとして丁度[E:F]通りのσの拡張<σ>が存在することが示されました。(証明終わり)

 

そこで,F'=Fとして,σをFの恒等写像に取れば,f(x)∈F[x]なら,

F上の任意の2つの分解体は,Fを点ごとに固定する同型写像によって同型になることもわかりました。

 

以上から,

 

"(x)∈F[x]が分離的な多項式であり,E/Fがその分解体であれば,|Gal(E/F)|=[E:F]である。"

 

ことも示されたことになります。

 

ガロア群Gについては,|G|=[E:EG]なので,E/Fがガロア拡大なら,|Gal(E/F)|=[E:F]=[E:EG]になります。

 

今日はここまでとします。

  

 参考文献:J.ロットマン 著(関口次郎 訳)「ガロア理論」(シュプリンガーフェアラーク東京)

 

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