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2007年1月28日 (日)

ガロア理論(5)補遺

"方程式f(x)∈F[x]が可解であるためにはFはこれら1の原始pi乗根を全て含むことが必要である。"と書きました。

 

α∈Fではないが,αn∈Fであるようなαを添加してできるベキ根による拡大(α)は,一般にはf(x)=xn-cの分解体にはならないことは自明です。

 

結局,単純拡大(α)だけでは,1の原始n乗根の1つをωとしたときの,f(x)=xn-cの分解体F(α,αω,αω2,..,αωn-1)と一致しません。

 

単なるベキ根拡大をガロア拡大になるように拡張することは,一般の分離的な多項式f(x)∈F[x]についても分解体を含む拡大になるであろう,という意味で,"可解であるということ"の定義にとって"1の原始pi乗根を全て含む"ということが必要と考えられたからです。

 

ところで,2月から仕事に復帰してよい,と医者からのお墨付きをいただいたので仕事に復帰することにしました。

 

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