中性子星の物理

　重力収縮した星の中心部のように非常に高密度の物質では,陽子,電子,中性子の自由粒子の混合としての理想気体という描像とは程遠く,通常,核子は自　由粒子ではなく原子核という状態で存在しています。

　したがって,高密度状態では核力の影響を無視できません。　

　重い原子核の結合エネルギーは次のような半経験的質量公式で表わすことができます。

　すなわち,Ｚ,Ｎをそれぞれ陽子数,中性子数,Ａ＝Ｚ＋Ｎを質量数とすると,結合エネルギーＥ(Ｚ,Ｎ)はＥ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3で与えられるという式です。

　ここに,ｃ₁＝16MeV,ｃ₂＝0.72MeV,ｃ₃＝24MeV,ｃ₄＝18MeVです。

　公式の右辺の項は,順に体積エネルギー,Coulombエネルギー,対称エネルギー,表面エネルギーです。

　このうち,Coulombエネルギー:ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3と表面エネルギー:ｃ₄Ａ^2/3でのＡ依存性は,原子核の半径が,ｒ＝1.3×10^-15Ａ^1/3ｍのように与えられることから推察されます。

　原子核は,β崩壊による自由電子の放出と逆β過程による電子の吸収(捕獲)との平衡状態にあると考えられます。

　この平衡は原子核をＡ(Ｚ,Ｎ)で表わすと,Ａ(Ｚ,Ｎ)＋ｅ^- ⇔ Ａ(Ｚ－1,Ｎ＋1)と表現されます。

　この平衡式を原子核の静止質量を含んだエネルギーの保存と解釈すると,Ｚｍ_pｃ²＋Ｎｍ_nｃ²＋Ｅ(Ｚ,Ｎ)＋Ｅ_e＝(Ｚ－1)ｍ_pｃ²＋(Ｎ＋1)ｍ_nｃ²＋Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)と書けます。

　すなわち,{Ｅ(Ｚ,Ｎ)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)}＋Ｅ_e＝{Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)}＋(ｍ_n－ｍ_p)ｃ² です。

　Ｚ,Ｎ＞＞1であれば,Ｅ(Ｚ,Ｎ)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)～∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_p,Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)～∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｎ≡μ_nです。

　ここで化学ポテンシャルμ_p,μ_n は,それぞれ陽子,中性子を原子核に1個追加するのに必要なエネルギーを意味するので,原子核の内部エネルギーレベルのうちで占められる最も高い準位のエネルギーレベルと考えていいでしょう。

　そこで,Ｅ_e＝μ_e＋ｍ_eｃ²を考慮すると,平衡の式はμ_n－μ_p＋(ｍ_n－ｍ_p－ｍ_e)ｃ²＝μ_eですが,今はμ_e＞＞(ｍ_n－ｍ_p－ｍ_e)ｃ²の場合を想定しているので,質量エネルギーを無視して平衡の条件をμ_n－μ_p＝μ_eとします。

　一方,Ｅ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3,∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_p,∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_pより,μ_n－μ_p＝－2ｃ₂ＺＡ^-1/3＋4ｃ₃(Ｎ－Ｚ)/Ａです。

ここで,核子の平均個数密度をｎ_Nとすると,電子の平均個数密度ｎ_eはｘ≡Ｚ/Ａとしてｎ_e＝ｘｎ_Nです。

縮退Fermi気体としての電子は,Fermi運動量をｐ_Fとして,ｎ_e＝(ｐ_F /ｈ_c)³/(3π²),またはｐ_F＝(3π²)^1/3ｈ_cｎ_e^1/3 (ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはPlanck定数)を満たします。

相対論的粒子なら,μ_e＝ｐ_Fｃ＝2Ｋｎ_e^1/3＝2Ｋｎ_N^1/3ｘ^1/3,Ｋ≡(3π²)^1/3ｈ_cｃ/2です。さらに簡単のため,6ｃ₃ｋ≡Ｋｎ_N^1/3によってｋを定義しておきます。

このとき,平衡条件:μ_n－μ_p＝μ_eは,μ_n－μ_p＝－2ｃ₂ＺＡ^-1/3＋4ｃ₃(Ｎ－Ｚ)/Ａより,12ｃ₃ｋｘ^1/3＝－2ｃ₂ｘＡ^2/3＋4ｃ₃(1－2ｘ),ｃ₂ｘＡ^2/3＝2ｃ₃(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)となります。

ここで,与えられた固定のＡ値に対し,エネルギーが最低になるｘ≡Ｚ/Ａを求めてみます。

Ａは定数なので１核子当たりのエネルギーＥ_tot/Ａ＝Ｅ/Ａ＋(3/4)ｘμ_eで考えることにします。

ただし,第２項(3/4)μ_eは１核子当たりの電子の平均FermiエネルギーＥ_e/ｎ_Nです。

なぜなら,相対論的には,Ｅ_e＝3Ｐ_e＝(3/4)(3π²)^1/3ｈ_cｃｎ_e^4/3＝(3/4)ｎ_eμ_e＝(3/4)ｘμ_eｎ_Nより,Ｅ_e/ｎ_N＝(3/4)μ_eとなるからです。

結局,Ｅ_tot/Ａ＝－ｃ₁＋2ｃ₃ｘ(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)＋ｃ₃(1－2ｘ)²＋ｃ₄{ｃ₂/(2ｃ₃)}^1/2ｘ^1/2(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^-1/2＋9ｃ₃ｋｘ^4/3となるので,ｄ(Ｅ_tot/Ａ)/ｄｘ＝0 を計算すると,ｘ^1/2(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^3/2＝ｃ₄ｃ₂^1/2/{2(2ｃ₃)^3/2}が得られます。

具体的な値はＫ≒4.9×10^-26Ｊｍ,ｃ₃＝24MeV≒3.84×10^-12Ｊですから,Ｋ/6ｃ₃≒3.84×10^-15ｍ,ｎ_N～10²⁸ｍ^-3より,ｎ_N^1/3～4.6×10¹⁰ｍ^-1です。

ｋ～10^-4,2ｋｘ^1/3～10^-4からｄ(Ｅ_tot/Ａ)/ｄｘを調べると,ｘ^1/2 (1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^3/2＝ｃ₄ｃ₂^1/2/{2(2ｃ₃)^3/2}を満たすｘでＥ_tot/Ａは極小になることがわかります。

具体的なｃ₂,ｃ₃,ｃ₄の値を代入すると,ｘ^1/3(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)≒0.081,

すなわちｋ＝(1/3)ｘ^-1/3(-0.081ｘ^-1/3＋1－2ｘ)となり,これから

Ａ≒12.5(Ａ/Ｚ)²が得られます。

すなわち,Ａ＝Ｚ²/12.5なる放物線が平衡曲線として得られたわけです。

一方,中性子の結合エネルギー:μ_n＜0 はμ_n≒－16＋3.88ｘ^2/3＋24(1－4ｘ²)(MeV)なので,ｎ_Nが増加してｘが減少するにつれてμ_nは増加してｘ≒0.32でμ_n＝ 0 となってしまいます。

これの意味はこれ以上の密度では中性子を追加するとかえって原子核の内部エネルギーが高くなってしまうということです。

そこで,この密度以上では一部の中性子は非束縛の核子として自由な中性子として挙動するわけです。

この臨界の自由中性子が発生する核子密度は,ρ＝ｍ_Nｎ_Nとしてρ＝ρ₁≒2.84×10¹⁴kgｍ^-3です。

そして,ｘ≒0.32でＡ＝122,Ｚ＝39です。

ρ＞ρ₁では物質は原子核,電子,中性子の３成分から成っています。もちろん,このときの中性子を理想気体として扱うことはできません。

核力をも考慮した状態方程式が計算できるので,これを用いて全エネルギーが最小になる状態を定めると密度の増加と共に引き続きＡとＺは増加しますがｘは減少します。

そして密度がρ₂≒5.6×10¹⁶kgｍ^-3以上になると,μ_pも正になりこの密度からは原子核も溶けてしまうことになります。 

ρ₂以上の密度では,中性子と,その数百分の１の陽子,電子で構成された状態になります。核子間では中性子の縮退圧よりも大きい核力が働くことになります。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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