結合エネルギーが最大の元素(鉄）

重い原子核の結合エネルギーは質量公式:Ｅ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3,ｃ₁＝16MeV,ｃ₂＝0.72MeV,ｃ₃＝24MeV,ｃ₄＝18MeVで近似的に表現できることを既に述べました。

そこで安定な原子核のＺはＡのどのような関数であるかを調べ,次に１核子当たりの結合エネルギーが最大の原子核の質量数ＡをＮ～Ｚ～Ａ/2の近似のもとで求めてみます。 

安定な核は,条件式(∂Ｅ/∂Ｚ)|_A＝0 から得られます。

Ｎ－Ｚ＝Ａ－2Ｚなので,(∂Ｅ/∂Ｚ)|_A＝2ｃ₂ＺＡ^-1/3－4ｃ₃(Ａ－2Ｚ)/Ａ＝0 であり,このＺを境にして∂Ｅ/∂Ｚは正から負に変わりますから,このＺでＥは最小になります。

したがって,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96)という式が安定な核の条件になります。そこでＡがあまり大きくなければ,Ｚ～Ａ/2 で安定ですね。

また,Ｎ～Ｚ～Ａ/2という前提で１核子当たりの結合エネルギーが最大になるＡを求めると,ｄ{Ｅ(Ａ/2,Ａ/2)/Ａ}/ｄＡ＝ｄ(－ｃ₁＋ｃ₂Ａ^2/3/4＋ｃ₄Ａ^-1/3)/ｄＡ＝Ａ^-4/3(ｃ₂Ａ/6－ｃ₄/3)なので,

Ａ＝2ｃ₄/ｃ₂≒36/0.72～ 50 となります。

Ａ～ 50 付近の元素で,組成がＺ～Ａ/2に近いものは,バナジウム(Ｖ:Ａ＝51,Ｚ＝23),クロム(Ｃr:Ａ＝52,Ｚ＝24,マンガン(Ｍn:Ａ＝55,Ｚ＝25),鉄(Ｆe:Ａ＝56,Ｚ＝26)etc.があります。

しかし,これらは,丁度Ｚ＝Ａ/2を満たすわけではありません。

むしろ,Ｅ(Ｚ,Ｎ)に,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96),およびＮ＝2Ａ－Ｚを代入した後,ｄＥ/ｄＡがゼロとなるＡを求めた方がいいかもしれません。これは,結構大変ですね。

鉄(Ｆe:Ａ＝56,Ｚ＝26)は,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96)に組成がかなり近いようです。

そして,実在の元素では鉄(Ｆe)のときに結合エネルギー:Ｅ(Ｚ,Ｎ)が最大になるようです。

したがって,星の熱核融合で重元素が創られていっても,最終的に鉄(Ｆe)に到達すると,それ以上反応は進まないで,そこで核融合は終わることになるようです。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学