ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(3)

　補助定理の証明がすべて終わったので,いよいよ"正則解＝ベキ級数解"の存在定理を証明します。

　まず,定理の再掲です。　

　"１階常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の右辺が,

　あるＲ₁,Ｒ₂より大きい関連収束半径を持ってベキ級数に展開できる,

　つまりｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qと書けて,

　右辺が|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂で絶対収束する

　ものとする。

　このとき,初期条件:ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満足し,ｘ＝ｘ₀の近傍で,

　(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に展開可能な解が一意的に存在する。

　以下に証明を与えます。

　補助定理１により,ｄｙ/ｄｘ＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q

の右辺の級数は|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂において

　絶対かつ一様に収束します。

　したがって,補助定理２からｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qは

　この閉領域でｘ,ｙに関し無限回項別偏微分可能であって,

　ａ_pq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0

と表わされます。

　そこで,仮にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q

のベキ級数解でｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀ を満たすものが存在して,

　ある正の数ρ≦Ｒ₁に対して|ｘ－ｘ₀|＜ρで収束し,

　その範囲で|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂を満足するものとすると,

　その解ｙ(ｘ)は広義一様収束するので,

　ｘに関して無限回項別微分可能です。

　したがって,そうしたｙ(ｘ)が存在するなら,それは,

　ｙ"＝{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ',

　ｙ⁽³⁾＝{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}＋2{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)}ｙ'

　＋{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}ｙ'²＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ",...

　(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)をも満足するはずです。

　そこで,今一連の定数の組をｙ₀'≡ｆ(ｘ₀,ｙ₀),

　ｙ₀"≡{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|_x=x0,y=y0＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ₀',

　ｙ₀⁽³⁾≡{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}|_x=x0,y=y0

＋2{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|_x=x0,y=y0}ｙ₀'

　＋{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}|_x=x0,y=y0ｙ₀'²

＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ₀",...

　と定義していきます。

　ｙ₀',ｙ₀",...,ｙ₀^(n-1)までが定義されれば,

　ｙ₀⁽ⁿ⁾は∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0(0≦ｉ,ｊ≦ｎ－1),

　およびｙ₀',ｙ₀",．．ｙ₀^(n-1)の多項式として定義できます。

　次々とこうして定義していくとき,ｙ(ｘ)は

　ｙ(ｘ₀)＝ｙ₀,ｙ'(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀',．．,ｙ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0

＝ｄ^n-1ｆ(ｘ,ｙ(ｘ))/ｄｘ^n-1|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾

を満足しなければなりません。

　ところが,ｙ(ｘ)は|ｘ－ｘ₀|＜ρにおけるベキ級数の和で

　与えられているので,ベキ級数展開の一意性定理から

　ｙ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!＋...

　＋ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...

　＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ! (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)

　と展開されなければなりません。

　すなわち,もしｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解が存在すれば,

　それは一意的であり,ｙ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!

　＋...ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!

　でなければならないことになります。

そこで,φ(ｘ)≡Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!と定義すれば,

これが実際にｘ₀の近傍でｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))

を満足すること,　を示しましょう。

級数:Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qは,

|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂でｆ(ｘ,ｙ)に

絶対収束するので,Σ_p,q=0^∞ａ_pqＲ₁^pＲ₂^qはｆ(ｘ₀＋Ｒ₁,ｙ₀＋Ｒ₂)

に収束し,それ故,ｐ,ｑ → ∞ に対して

ａ_pqＲ₁^pＲ₂^q → 0 です。

したがって,Ｒ₁,Ｒ₂によって定まるある正の定数Ｍが存在して

|ａ_pq|Ｒ₁^pＲ₂^q≦Ｍ(ｐ,ｑ＝0,1,2,...),

すなわち|ａ_pq|≦Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)が成立します。

そこで,二重ベキ級数Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qの１つの

優級数Σ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qを考えると,

これは|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|＜Ｒ₂において,

和の順序によらず絶対収束し,

Σ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q

＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]

が成り立ちます。

そこで,ｇ(ｘ,ｙ)≡Σ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q

＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]とおけば,

補助定理１から右辺のベキ級数は|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁かつ|ｙ－ｙ₀|＜Ｒ₂

で広義一様収束し,故に補助定理２より無限回項別偏微分可能です。

したがって,さらにＭ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)

＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｇ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0が成立し,

これとａ_pq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0,

および |ａ_pq|≦Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)から,

|{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0|

≦{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｇ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0

(ｐ,ｑ＝0,1,2,...)を得ます。

　一方,ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)

　＝1/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]の

　ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解が,ｘ＝ｘ₀の近傍で

　存在すると仮定し,それをｙ＝ψ(ｘ)とおけば,

　それは,ｄψ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ψ(ｘ))を満足します。

　したがって,ｄｙ/ｄｘ＝f(ｘ,ｙ)のベキ級数解ｙ(ｘ)と同様,

　ｙ^₀'≡ｇ(ｘ₀,ｙ₀),　

　ｙ^₀"≡{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|_x=x0,y=y0

＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ^₀',

　ｙ^₀⁽³⁾≡{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}|_x=x0,y=y0

 ＋2{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|_x=x0,y=y0}ｙ^₀'

　　　　＋{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}|_x=x0,y=y0ｙ^₀'²

        ＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0 ｙ^₀",...

　と定義すれば,

　ｙ^₀',ｙ^₀",...ｙ^₀^(n-1)が与えられたとき,それらから

　ｙ^₀⁽ⁿ⁾を定めることが可能となります。

　そして,ψ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ^₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ^₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!

         ＋..＋ｙ^₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...

　      ＝Σ_n=0^∞ｙ^₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!　(ｙ^₀⁽ⁿ⁾≡ｙ₀)

　なる等式が成立するはずです。

　φ(ｘ₀)＝ｙ₀＝ψ(ｘ₀),|ｙ₀'|≦Ｍ＝ｇ(ｘ₀,ｙ₀)＝ｙ^₀'

　が成立していますが,

　一般に,|ｙ₀^(k)|＝|φ^(k)(ｘ)|_x=x0|≦ｙ^₀^(k)

　＝ψ^(k)(ｘ)|_x=x0が,ｋ＝0,1,2,..,ｎ－1に対して

　成立すると仮定すれば,

ｙ₀⁽ⁿ⁾＝ｄ^n-1ｆ(ｘ,ｙ)/ｄｘ^n-1|_x=x0,y=y0,および

ｙ^₀⁽ⁿ⁾＝ｄ^n-1ｇ(ｘ,ｙ)/ｄｘ^n-1|_x=x0,y=y0 の各々は,

それぞれ,∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0と,

ｙ₀^(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1),および

∂^i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0と,

ｙ^₀^(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1)の多項式で

表わされます。

しかも,ｙ₀⁽ⁿ⁾の各項はｙ^₀⁽ⁿ⁾の各項において,

∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0を

∂^i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0に,

ｙ₀^(k)をｙ^₀^(k)に置換したものに等しいので,

帰納法の仮定によって,|ｙ₀⁽ⁿ⁾|≦ｙ^₀⁽ⁿ⁾もまた成立する

ことがわかります。

以上から,数学的帰納法により,任意のｎについて

|ｙ₀⁽ⁿ⁾|≦ｙ^₀⁽ⁿ⁾が成立することがわかりました。

このことは,微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀

を満たすベキ級数解がある区間で絶対収束すれば,

ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解

φ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!もまた,同じ区間で絶対収束

することを示しています。

次に,実際にｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀

を満たすベキ級数解が存在することを示しましょう。

ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)

＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]

(|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂)を,

ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀の条件で解けば,

ｙ＝ｙ₀＋Ｒ₂－Ｒ₂[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2

(|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁)となります。

ところが,[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2は,

|2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂|＜1の条件下で,

2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂のベキで

二項展開されます。

しかも,log{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁は,|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁の

全てのｘに対して絶対収束するTaylor級数に展開されて,

log{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁＝－Σ_n=1^∞{(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}ⁿ/ｎ　

となります。

したがって,また,Σ_n=1^∞|ｘ－ｘ₀|ⁿ/Ｒ₁ⁿ/ｎ＝|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁|

となり,2Ｒ₁Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁}|/Ｒ₂＜1であるような

ｘに対しては補助定理５の仮定が満たされ,

ｙ＝ψ(ｘ)＝ｙ₀＋Ｒ₂－Ｒ₂[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2

は,そのようなｘに対して(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に展開され得ること

になります。

2Ｒ₁Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁}|/Ｒ₂＜1 なることは,

|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁[1－exp{－Ｒ₂(2Ｒ₁Ｍ)}]と同値なので,

ρ≡Ｒ₁[1－exp{－Ｒ₂(2Ｒ₁Ｍ)}]とおけば,

|ｘ－ｘ₀|＜ρで,ｙ＝ψ(ｘ)は(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に

展開されます。

それ故,前の考察から,Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!

もまた,|ｘ－ｘ₀|＜ρで絶対収束します。

φ(ｘ)－ｙ₀ の各項の係数の絶対値は.ψ(ｘ)－ｙ₀の対応する

各項の係数より大きくないことは先に述べた通りですから,

|ｘ－ｘ₀|＜ρで|φ(ｘ)－ｙ₀|≦|ψ(ｘ₀＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀

が成立します。

0≦|ψ(ｘ₀＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀＜Ｒ₂ (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)ですから,

|φ(ｘ)－ｙ₀|＜Ｒ₂ (|ｘ－ｘ₀|＜ρ＜Ｒ₁)であり,

よってｘの変域|ｘ－ｘ₀|＜ρにおいて,

ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^q

は,定義されています。

ｆ(ｘ,ｙ)は,|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂で無限回偏微分可能で,

φ(ｘ)も明らかに|ｘ－ｘ₀|＜ρで無限回微分可能であり,

φ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾ (ｎ＝0,1,2,...),

ただし,φ⁽⁰⁾(ｘ)|_x=x0＝φ(ｘ₀),ｙ₀⁽⁰⁾＝ｙ₀ですから,

ω(ｘ)≡ｆ(ｘ,φ(ｘ))とおくと,

ω(ｘ)は,|ｘ－ｘ₀|＜ρで無限回微分可能であり,

ω^(n-1)(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾(ω⁽⁰⁾(ｘ)＝ω(ｘ),(ｎ＝1,2,．．,)

となります。

φ⁽ⁿ⁾(ｘ)＝ｄφ^(n-1)(ｘ)/ｄｘであり,ｄφ(ｘ)/ｄｘは,

φ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!の項別微分係数の和,

すなわちΣ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!で与えられます。

以上から,ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!

＝Σ_n=0^∞(ω⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0)(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!

＝Σ_n=0^∞{ｆ⁽ⁿ⁾(ｘ,φ(ｘ))|_x=x0}(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)となることがわかります。

ところが,補助定理１の系に見られる絶対収束二重級数の性質から,

ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^q

＝Σ_p=0^∞{Σ_q=s^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^q}

＝Σ_p=0^∞(ｘ－ｘ₀)^p[Σ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^q]

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)です。

しかも,Σ_n=1^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!≦Σ_n=1^∞ｙ^₀⁽ⁿ⁾|ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!

＝ψ(ｘ＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀＜Ｒ₂

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)ですから,

補助定理５より,Σ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^q

＝Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^r

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ,ｂ_pr≡Σ_q=0^∞ａ_pqｙ₀^(r)(q)/ｒ!)が成立し,

Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^rは,|ｘ－ｘ₀|＜ρで,　

Σ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^q　

に絶対収束します。

故に,ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))

＝Σ_p=s^∞(ｘ－ｘ₀)^p{Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^r}

＝Σ_p=0^∞{Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^p(ｘ－ｘ₀)^r}　

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)となります。

ここで,|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁ ,Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＜Ｒ₂なので,

Σ_p,q=0^∞|ａ_pq||ｘ－ｘ₀|^p{Σ_n=0^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!}^q

＜＋∞　 (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)です。

したがって,Σ_p,q=0^∞|ａ_pq||ｘ－ｘ₀|^p{Σ_n=0^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!}^q

＝Σ_p=0^∞{Σ_r=0^∞Ｂ_pr|ｘ－ｘ₀|^p+r}＜＋∞ (|ｘ－ｘ₀|＜ρ,

Ｂ_pr≡Σ_q=0^∞|ａ_pq||ｙ₀^(r)|^(q)/ｒ!)であり,　

また,|ｂ_pr|≦Ｂ_pr ですから,Σ_p=0^∞{Σ_r=0^∞|ｂ_pr||ｘ

－ｘ₀|^p+r}＜＋∞　となります。

このことから,補助定理３によって,

ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^p+r

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ(収束は絶対収束))となり,

ω(ｘ) ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_n=0^∞ｃ_n(ｘ－ｘ₀)ⁿ

(|ｘ－ｘ₀|＜ρ,ｃ_n≡Σ_p+r=n^∞ｂ_pr)

が成立します。

ベキ級数展開の一意性から,ｃ_n＝ω⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0/ｎ!

＝ｆ⁽ⁿ⁾(ｘ,φ(ｘ))|_x=x0/ｎ!が成り立ち,

結局ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)

となることが示されました。

もし,ｙ＝φ(ｘ)とは別にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解:

ｙ＝φ₁(ｘ)でφ₁(ｘ₀)＝ｙ₀なるものが,ｘ＝ｘ₀の近傍で

存在すると仮定すれば,

ｄφ₁(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ₁(ｘ))であり,

ｆ(ｘ,ｙ)は無限回偏微分可能ですから.ｆ(ｘ,φ₁(ｘ))も

ｘについて微分可能,

すなわち,ｄφ₁(ｘ)/ｄｘも微分可能となり,

φ₁(ｘ)は二階微分可能であって,

φ₁"(ｘ)＝∂ｆ/∂ｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)φ₁'(ｘ)

となることがわかります。

これを繰り返して,|φ₁(ｘ)－ｙ₀|≦Ｒ₂となるような

全てのｘ₀の近傍で,φ₁(ｘ)は無限回微分可能であり,

しかもφ₁⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝φ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾

となります。

したがって,こうした右辺が二重ベキ級数に展開可能な常微分方程式:

ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)に対しては,正則な解の一意性のみならず,　

解の一意性が成り立つこと,

つまり,ｘ＝ｘ₀の近傍で常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)

の条件:ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たす解は,正則な解:φ(ｘ)に限る

ことが証明されました。(以上証明終わり)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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