"１階常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の右辺が,
あるＲ1,Ｒ2より大きい関連収束半径を持ってベキ級数に展開できる,
つまりｆ(ｘ,ｙ)＝Σａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)qと書けて,
右辺が|ｘ－ｘ0|≦Ｒ1,かつ|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2で絶対収束する
ものとする。
このとき,初期条件:ｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0を満足し,ｘ＝ｘ0の近傍で,
(ｘ－ｘ0)のベキ級数に展開可能な解が一意的に存在する。
以下に証明を与えます。
補助定理１により,ｄｙ/ｄｘ＝Σａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)q
の右辺の級数は|ｘ－ｘ0|≦Ｒ1,かつ|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2において
絶対かつ一様に収束します。
したがって,補助定理２からｆ(ｘ,ｙ)＝Σａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)qは
この閉領域でｘ,ｙに関し無限回項別偏微分可能であって,
ａpq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂p+q/(∂ｘp∂ｙq)}ｆ(ｘ,ｙ)|x=x0,y=y0
と表わされます。
そこで,仮にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)＝Σａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)q
のベキ級数解でｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0 を満たすものが存在して,
ある正の数ρ≦Ｒ1に対して|ｘ－ｘ0|＜ρで収束し,
その範囲で|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2を満足するものとすると,
その解ｙ(ｘ)は広義一様収束するので,
ｘに関して無限回項別微分可能です。
したがって,そうしたｙ(ｘ)が存在するなら,それは,
ｙ"＝{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ',
ｙ(3)＝{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ2}＋2{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)}ｙ'
＋{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ2}ｙ'2＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ",...
(|ｘ－ｘ0|＜ρ)をも満足するはずです。
そこで,今一連の定数の組をｙ0'≡ｆ(ｘ0,ｙ0),
ｙ0"≡{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|x=x0,y=y0＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|x=x0,y=y0ｙ0',
ｙ0(3)≡{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ2}|x=x0,y=y0
＋2{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|x=x0,y=y0}ｙ0'
＋{∂2ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ2}|x=x0,y=y0ｙ0'2
＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|x=x0,y=y0ｙ0",...
と定義していきます。
ｙ0',ｙ0",...,ｙ0(n-1)までが定義されれば,
ｙ0(n)は∂i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘi∂ｙj)}|x=x0,y=y0(0≦ｉ,ｊ≦ｎ－1),
およびｙ0',ｙ0",．．ｙ0(n-1)の多項式として定義できます。
次々とこうして定義していくとき,ｙ(ｘ)は
ｙ(ｘ0)＝ｙ0,ｙ'(ｘ)|x=x0＝ｙ0',．．,ｙ(n)(ｘ)|x=x0
＝ｄn-1ｆ(ｘ,ｙ(ｘ))/ｄｘn-1|x=x0＝ｙ0(n)
を満足しなければなりません。
ところが,ｙ(ｘ)は|ｘ－ｘ0|＜ρにおけるベキ級数の和で
与えられているので,ベキ級数展開の一意性定理から
ｙ(ｘ)＝ｙ0＋ｙ0'(ｘ－ｘ0)＋ｙ0"(ｘ－ｘ0)2/2!＋...
＋ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!＋...
＝Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ! (|ｘ－ｘ0|＜ρ)
と展開されなければなりません。
すなわち,もしｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0を満たすベキ級数解が存在すれば,
それは一意的であり,ｙ(ｘ)＝ｙ0＋ｙ0'(ｘ－ｘ0)＋ｙ0"(ｘ－ｘ0)2/2!
＋...ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!＋...＝Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!
でなければならないことになります。
そこで,φ(ｘ)≡Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!と定義すれば,
これが実際にｘ0の近傍でｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))
を満足すること, を示しましょう。
級数:Σp,q=0∞ａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)qは,
|ｘ－ｘ0|≦Ｒ1,かつ|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2でｆ(ｘ,ｙ)に
絶対収束するので,Σp,q=0∞ａpqＲ1pＲ2qはｆ(ｘ0＋Ｒ1,ｙ0＋Ｒ2)
に収束し,それ故,ｐ,ｑ → ∞ に対して
ａpqＲ1pＲ2q → 0 です。
したがって,Ｒ1,Ｒ2によって定まるある正の定数Ｍが存在して
|ａpq|Ｒ1pＲ2q≦Ｍ(ｐ,ｑ＝0,1,2,...),
すなわち|ａpq|≦Ｍ/(Ｒ1pＲ2q)が成立します。
そこで,二重ベキ級数Σp,q=0∞ａpq(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)qの１つの
優級数Σp,q=0∞{Ｍ/(Ｒ1pＲ2q)}(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)qを考えると,
これは|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1,かつ|ｙ－ｙ0|＜Ｒ2において,
和の順序によらず絶対収束し,
Σp,q=0∞{Ｍ/(Ｒ1pＲ2q)}(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)q
＝１/[{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}{1－(ｙ－ｙ0)/Ｒ2}]
が成り立ちます。
そこで,ｇ(ｘ,ｙ)≡Σp,q=0∞{Ｍ/(Ｒ1pＲ2q)}(ｘ－ｘ0)p(ｙ－ｙ0)q
＝１/[{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}{1－(ｙ－ｙ0)/Ｒ2}]とおけば,
補助定理１から右辺のベキ級数は|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1かつ|ｙ－ｙ0|＜Ｒ2
で広義一様収束し,故に補助定理２より無限回項別偏微分可能です。
したがって,さらにＭ/(Ｒ1pＲ2q)
＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂p+q/(∂ｘp∂ｙq)}ｇ(ｘ,ｙ)|x=x0,y=y0が成立し,
これとａpq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂p+q/(∂ｘp∂ｙq)}ｆ(ｘ,ｙ)|x=x0,y=y0,
および |ａpq|≦Ｍ/(Ｒ1pＲ2q)から,
|{∂p+q/(∂ｘp∂ｙq)}ｆ(ｘ,ｙ)|x=x0,y=y0|
≦{∂p+q/(∂ｘp∂ｙq)}ｇ(ｘ,ｙ)|x=x0,y=y0
(ｐ,ｑ＝0,1,2,...)を得ます。
一方,ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)
＝1/[{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}{1－(ｙ－ｙ0)/Ｒ2}]の
ｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0を満たすベキ級数解が,ｘ＝ｘ0の近傍で
存在すると仮定し,それをｙ＝ψ(ｘ)とおけば,
それは,ｄψ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ψ(ｘ))を満足します。
したがって,ｄｙ/ｄｘ＝f(ｘ,ｙ)のベキ級数解ｙ(ｘ)と同様,
ｙ^0'≡ｇ(ｘ0,ｙ0),
ｙ^0"≡{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|x=x0,y=y0
＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|x=x0,y=y0ｙ^0',
ｙ^0(3)≡{∂2ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ2}|x=x0,y=y0
＋2{∂2ｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|x=x0,y=y0}ｙ^0'
＋{∂2ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ2}|x=x0,y=y0ｙ^0'2
＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|x=x0,y=y0 ｙ^0",...
と定義すれば,
ｙ^0',ｙ^0",...ｙ^0(n-1)が与えられたとき,それらから
ｙ^0(n)を定めることが可能となります。
そして,ψ(ｘ)＝ｙ0＋ｙ^0'(ｘ－ｘ0)＋ｙ^0"(ｘ－ｘ0)2/2!
＋..＋ｙ^0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!＋...
＝Σn=0∞ｙ^0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ! (ｙ^0(n)≡ｙ0)
なる等式が成立するはずです。
φ(ｘ0)＝ｙ0＝ψ(ｘ0),|ｙ0'|≦Ｍ＝ｇ(ｘ0,ｙ0)＝ｙ^0'
が成立していますが,
一般に,|ｙ0(k)|＝|φ(k)(ｘ)|x=x0|≦ｙ^0(k)
＝ψ(k)(ｘ)|x=x0が,ｋ＝0,1,2,..,ｎ－1に対して
成立すると仮定すれば,
ｙ0(n)＝ｄn-1ｆ(ｘ,ｙ)/ｄｘn-1|x=x0,y=y0,および
ｙ^0(n)＝ｄn-1ｇ(ｘ,ｙ)/ｄｘn-1|x=x0,y=y0 の各々は,
それぞれ,∂i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘi∂ｙj)}|x=x0,y=y0と,
ｙ0(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1),および
∂i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘi∂ｙj)}|x=x0,y=y0と,
ｙ^0(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1)の多項式で
表わされます。
しかも,ｙ0(n)の各項はｙ^0(n)の各項において,
∂i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘi∂ｙj)}|x=x0,y=y0を
∂i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘi∂ｙj)}|x=x0,y=y0に,
ｙ0(k)をｙ^0(k)に置換したものに等しいので,
帰納法の仮定によって,|ｙ0(n)|≦ｙ^0(n)もまた成立する
ことがわかります。
以上から,数学的帰納法により,任意のｎについて
|ｙ0(n)|≦ｙ^0(n)が成立することがわかりました。
このことは,微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0
を満たすベキ級数解がある区間で絶対収束すれば,
ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)のｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0を満たすベキ級数解
φ(ｘ)＝Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!もまた,同じ区間で絶対収束
することを示しています。
次に,実際にｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0
を満たすベキ級数解が存在することを示しましょう。
ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)
＝１/[{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}{1－(ｙ－ｙ0)/Ｒ2}]
(|ｘ－ｘ0|≦Ｒ1,|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2)を,
ｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0の条件で解けば,
ｙ＝ｙ0＋Ｒ2－Ｒ2[1＋2Ｒ1Ｍlog{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}/Ｒ2]1/2
(|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1)となります。
ところが,[1＋2Ｒ1Ｍlog{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}/Ｒ2]1/2は,
|2Ｒ1Ｍlog{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}/Ｒ2|＜1の条件下で,
2Ｒ1Ｍlog{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}/Ｒ2のベキで
二項展開されます。
しかも,log{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1は,|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1の
全てのｘに対して絶対収束するTaylor級数に展開されて,
log{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1＝－Σn=1∞{(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}n/ｎ
となります。
したがって,また,Σn=1∞|ｘ－ｘ0|n/Ｒ1n/ｎ＝|log{1－|ｘ－ｘ0|/Ｒ1|
となり,2Ｒ1Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ0|/Ｒ1}|/Ｒ2＜1であるような
ｘに対しては補助定理５の仮定が満たされ,
ｙ＝ψ(ｘ)＝ｙ0＋Ｒ2－Ｒ2[1＋2Ｒ1Ｍlog{1－(ｘ－ｘ0)/Ｒ1}/Ｒ2]1/2
は,そのようなｘに対して(ｘ－ｘ0)のベキ級数に展開され得ること
になります。
2Ｒ1Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ0|/Ｒ1}|/Ｒ2＜1 なることは,
|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1[1－exp{－Ｒ2(2Ｒ1Ｍ)}]と同値なので,
ρ≡Ｒ1[1－exp{－Ｒ2(2Ｒ1Ｍ)}]とおけば,
|ｘ－ｘ0|＜ρで,ｙ＝ψ(ｘ)は(ｘ－ｘ0)のベキ級数に
展開されます。
それ故,前の考察から,Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!
もまた,|ｘ－ｘ0|＜ρで絶対収束します。
φ(ｘ)－ｙ0 の各項の係数の絶対値は.ψ(ｘ)－ｙ0の対応する
各項の係数より大きくないことは先に述べた通りですから,
|ｘ－ｘ0|＜ρで|φ(ｘ)－ｙ0|≦|ψ(ｘ0＋|ｘ－ｘ0|)－ｙ0
が成立します。
0≦|ψ(ｘ0＋|ｘ－ｘ0|)－ｙ0＜Ｒ2 (|ｘ－ｘ0|＜ρ)ですから,
|φ(ｘ)－ｙ0|＜Ｒ2 (|ｘ－ｘ0|＜ρ＜Ｒ1)であり,
よってｘの変域|ｘ－ｘ0|＜ρにおいて,
ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σp,q=0∞ａpq(ｘ－ｘ0)p(φ(ｘ)－ｙ0)q
は,定義されています。
ｆ(ｘ,ｙ)は,|ｘ－ｘ0|≦Ｒ1,|ｙ－ｙ0|≦Ｒ2で無限回偏微分可能で,
φ(ｘ)も明らかに|ｘ－ｘ0|＜ρで無限回微分可能であり,
φ(n)(ｘ)|x=x0＝ｙ0(n) (ｎ＝0,1,2,...),
ただし,φ(0)(ｘ)|x=x0＝φ(ｘ0),ｙ0(0)＝ｙ0ですから,
ω(ｘ)≡ｆ(ｘ,φ(ｘ))とおくと,
ω(ｘ)は,|ｘ－ｘ0|＜ρで無限回微分可能であり,
ω(n-1)(ｘ)|x=x0＝ｙ0(n)(ω(0)(ｘ)＝ω(ｘ),(ｎ＝1,2,．．,)
となります。
φ(n)(ｘ)＝ｄφ(n-1)(ｘ)/ｄｘであり,ｄφ(ｘ)/ｄｘは,
φ(ｘ)＝Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!の項別微分係数の和,
すなわちΣn=0∞ｙ0(n+1)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!で与えられます。
以上から,ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝Σn=0∞ｙ0(n+1)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!
＝Σn=0∞(ω(n)(ｘ)|x=x0)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!
＝Σn=0∞{ｆ(n)(ｘ,φ(ｘ))|x=x0}(ｘ－ｘ0)n/ｎ!
(|ｘ－ｘ0|＜ρ)となることがわかります。
ところが,補助定理１の系に見られる絶対収束二重級数の性質から,
ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σp,q=0∞ａpq(ｘ－ｘ0)p(φ(ｘ)－ｙ0)q
＝Σp=0∞{Σq=s∞ａpq(ｘ－ｘ0)p(φ(ｘ)－ｙ0)q}
＝Σp=0∞(ｘ－ｘ0)p[Σq=0∞ａpq{Σn=1∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!}q]
(|ｘ－ｘ0|＜ρ)です。
しかも,Σn=1∞|ｙ0(n)||ｘ－ｘ0|n/ｎ!≦Σn=1∞ｙ^0(n)|ｘ－ｘ0|n/ｎ!
＝ψ(ｘ＋|ｘ－ｘ0|)－ｙ0＜Ｒ2
(|ｘ－ｘ0|＜ρ)ですから,
補助定理５より,Σq=0∞ａpq{Σn=1∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!}q
＝Σr=0∞ｂpr(ｘ－ｘ0)r
(|ｘ－ｘ0|＜ρ,ｂpr≡Σq=0∞ａpqｙ0(r)(q)/ｒ!)が成立し,
Σr=0∞ｂpr(ｘ－ｘ0)rは,|ｘ－ｘ0|＜ρで,
Σq=0∞ａpq{Σn=1∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!}q
に絶対収束します。
故に,ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))
＝Σp=s∞(ｘ－ｘ0)p{Σr=0∞ｂpr(ｘ－ｘ0)r}
＝Σp=0∞{Σr=0∞ｂpr(ｘ－ｘ0)p(ｘ－ｘ0)r}
(|ｘ－ｘ0|＜ρ)となります。
ここで,|ｘ－ｘ0|＜Ｒ1 ,Σn=0∞ｙ0(n)(ｘ－ｘ0)n/ｎ!＜Ｒ2なので,
Σp,q=0∞|ａpq||ｘ－ｘ0|p{Σn=0∞|ｙ0(n)||ｘ－ｘ0|n/ｎ!}q
＜＋∞ (|ｘ－ｘ0|＜ρ)です。
したがって,Σp,q=0∞|ａpq||ｘ－ｘ0|p{Σn=0∞|ｙ0(n)||ｘ－ｘ0|n/ｎ!}q
＝Σp=0∞{Σr=0∞Ｂpr|ｘ－ｘ0|p+r}＜＋∞ (|ｘ－ｘ0|＜ρ,
Ｂpr≡Σq=0∞|ａpq||ｙ0(r)|(q)/ｒ!)であり,
また,|ｂpr|≦Ｂpr ですから,Σp=0∞{Σr=0∞|ｂpr||ｘ
－ｘ0|p+r}＜＋∞ となります。
このことから,補助定理３によって,
ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σp,r=0∞ｂpr(ｘ－ｘ0)p+r
(|ｘ－ｘ0|＜ρ(収束は絶対収束))となり,
ω(ｘ) ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σn=0∞ｃn(ｘ－ｘ0)n
(|ｘ－ｘ0|＜ρ,ｃn≡Σp+r=n∞ｂpr)
が成立します。
ベキ級数展開の一意性から,ｃn＝ω(n)(ｘ)|x=x0/ｎ!
＝ｆ(n)(ｘ,φ(ｘ))|x=x0/ｎ!が成り立ち,
結局ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))(|ｘ－ｘ0|＜ρ)
となることが示されました。
もし,ｙ＝φ(ｘ)とは別にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解:
ｙ＝φ1(ｘ)でφ1(ｘ0)＝ｙ0なるものが,ｘ＝ｘ0の近傍で
存在すると仮定すれば,
ｄφ1(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ1(ｘ))であり,
ｆ(ｘ,ｙ)は無限回偏微分可能ですから.ｆ(ｘ,φ1(ｘ))も
ｘについて微分可能,
すなわち,ｄφ1(ｘ)/ｄｘも微分可能となり,
φ1(ｘ)は二階微分可能であって,
φ1"(ｘ)＝∂ｆ/∂ｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)φ1'(ｘ)
となることがわかります。
これを繰り返して,|φ1(ｘ)－ｙ0|≦Ｒ2となるような
全てのｘ0の近傍で,φ1(ｘ)は無限回微分可能であり,
しかもφ1(n)(ｘ)|x=x0＝φ(n)(ｘ)|x=x0＝ｙ0(n)
となります。
したがって,こうした右辺が二重ベキ級数に展開可能な常微分方程式:
ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)に対しては,正則な解の一意性のみならず,
解の一意性が成り立つこと,
つまり,ｘ＝ｘ0の近傍で常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)
の条件:ｙ|ｘ＝ｘ0＝ｙ0を満たす解は,正則な解:φ(ｘ)に限る
ことが証明されました。(以上証明終わり)
http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー） TOSHI
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