５次以上の代数方程式の解法

　５次以上の任意の代数方程式の解について方程式の係数から,

ベキ根を取ることによって得られる解の公式を求めることは

19世紀にAbelとGaloisによって,不可能であることが

証明されました。

(これについては,2007年1/14から2007年1/29までの「ガロア理論(1)」,

「ガロア理論(2)」,「ガロア理論(3)」,「ガロア理論(4)」,

「ガロア理論(5)」,「ガロア理論(5)補遺」,

「ガロア理論(6)」や,

　2007年２/24,２/25の関連記事,

「１のベキ乗根はベキ根で解けるか？（円分多項式の根)」,

「円分多項式のガロア群」もありますから,

　よかったら参照してください。)

　しかしながら,ベキ根による解法が存在しなくても,

「代数学の基本定理」によれば,

　複素数体の中にその"代数方程式の解＝零点"が必ず存在する,

ことはわかっています。

　"解が存在する。"ことと,"解法が存在する。"ことは,

全く別のことなのですね。

　ところで,５次以上の任意の代数方程式の解について,ベキ根による

解法は存在しなくても,それ以外の方法で解を求める一般的な解法

というものは存在しないのでしょうか？ 

　例えば,１のｎ乗根,すなわちｘⁿ－1＝ 0 の解は,既に述べたように

その全てをベキ根で表現することが可能ですが,それを具体的に示す

ことはかなり面倒な課題です。

　しかし,ルートを取るという操作と四則演算のみに頼るという狭い

方法にこだわることなく,指数関数や三角関数を用いてよいなら,

　ｎ個のｘⁿ－1＝ 0 の解であるｎ乗根をζ_k(ｋ＝0,1,2,...ｎ－1)

とおくとき,ζ_k＝ｅ^2πki/ｎ＝cos(2πki/ｎ)＋ｉsin(2πki/ｎ)

という形に書くことができて,かなり,すっきりした簡明な形

で表現できることは,もっと昔から知られていました。

　実は,一般の５次の代数方程式の解も,ベキ根に頼るのではなくて,

楕円関数を用いる方法によって,その解の公式を与えることが可能

であることがわかっていて,テータ関数を用いてその公式を与える

実際の表式が得られています。

　これを厳密に説明することは,私の現時点での容量の限界を超えて

いるので,その手順の概略のみを紹介してみます。 

　一般の５次の代数方程式を,

　ｘ⁵＋ａ₁ｘ⁴＋ａ₂ｘ³＋ａ₃ｘ²＋ａ₄ｘ＋ａ₅＝0 と書くと,

　ｙ＝ｘ＋ａ₁/5 とおくことによって,ａ₁＝ 0 の場合に

帰着させることができますが,

　この変換を一般化して,Tschirnhausen(チルンハウゼン)変換

と呼ばれる変換:ｙ＝α₀＋α₁ｘ＋α₂ｘ²＋α₃ｘ³＋α₄ｘ⁴

を考えます。

　ここでα_iはある複素数です。

　このとき,複素数ｂ_iが存在して,先のｘに対する５次の代数方程式

がｙに対する方程式ｙ⁵＋ｂ₁ｙ⁴＋ｂ₂ｙ³＋ｂ₃ｙ²＋ｂ₄ｙ＋ｂ₅＝0

に変換されるとします。

　もしも,1≦ｉ≦4を満たす４つのｉについて.

ｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 を満たす複素数の組:

α₀,α₁,α₂,α₃,α₄を見つけることができれば,

　そうしたα_iに対してはｙの５次方程式はｙ⁵＋ｂ₅ ＝0 となり,

この解は根号によって,ｙ＝(－ｂ₅)^1/5と書けますから,

結局,元のｘに対する５次方程式の解が求まることになります。

　ところが,ｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 (1≦ｉ≦4)を満足する解

(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)≠0 を求めるには,残念ながら,

24次の代数方程式を解かなければならず,

　５次の代数方程式ｘ⁵＋ａ₁ｘ⁴＋ａ₂ｘ³＋ａ₃ｘ²＋ａ₄ｘ＋ａ₅＝0

に対して,この24次の方程式を解くことは不可能なこと

がわかっています。

　しかし,４つ全部のｉではなく,1≦ｉ≦3を満たす３つだけについて,

ｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 を満足する(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)≠0

を求めるには高々４次の代数方程式を解けばいいので,

　結局,,Tschirnhausen変換により,ベキ根のみの方法により

与えられた方程式をｙ⁵＋ｙ＋ｂ＝0 という形にまで簡略化

できます。

　この簡略形は,この方法を始めて行った人の名を取って,

Bring-Jerrardの標準形と呼ばれています。

　そして,このｙ⁵＋ｙ＋ｂ＝0 の一般解を求めることは,

べき根によるのでは不可能ですが,楕円関数の世界では,

この解の公式を具体的に表わすことができるらしいのです。

　６次以上の代数方程式についても,楕円関数を

さらに超越積分∫[1/√ｆ(ｘ)]ｄｘに置き換えることで,

解の公式を作ることができるらしいですね。

参考文献；梅村 浩 著「楕円関数論」(東京大学出版会)　

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

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