円分多項式のガロア群

前記事で１のベキ乗根がベキ根で表わせることの証明をGalois理論

によって行った際に,その主要なエッセンスとして,

"円分多項式のGalois群：:Gal(Ｑ(ζ_p)/Ｑ)は(Ｚ/ｐＺ)^×に同型なので

Abel群であり,それゆえ可解群です。"とさらりと書いて,詳細な説明

や証明を与えませんでしたが,それは既に過去の記事

「ガロア理論(5)」において,かなり詳細に説明しており証明

しているからです。

そこでは,"ｐの倍数の集合:ｐＺ＝(ｐ)によって作られる

剰余類の集合＝商環:(Ｚ/ｐＺ)"をＺ_pと表記していますが,

ｐが素数の場合には明らかに１つの体になります。

また,"Ｚ_p＝(Ｚ/ｐＺ)から零元を除いた乗法群＝位数が

(ｐ－1)の巡回群"を上記では慣例にしたがって(Ｚ/ｐＺ)^×

と表記していますが,

前述の記事「ガロア理論(5)」においては,Ｚ_nの単元の乗法群

をＵ(Ｚ_n)≡{[ｉ]∈Ｚ_n|(ｉ,ｎ)＝1}と表記しています。

ｐが素数の場合,[0]と異なる[ｉ] (ｉ＝1,2,...,ｐ－1 )

は,すべて単元なのでＵ(Ｚ_p)と(Ｚ/ｐＺ)^×＝Ｚ_p^×

は一致します。

また,「ガロア理論(5)」での結論は,

"Gal(Ｅ/Ｆ)は乗法群Ｕ(Ｚ_n)の部分群と同型になる。"

というものでした。

ｐが素数なら,Ｕ(Ｚ_p)＝(Ｚ/ｐＺ)^×の部分群は,

"自明なもの＝１"と(Ｚ/ｐＺ)^×自身",しか存在しません。

円分多項式のGalois群：Gal(Ｅ/Ｆ)＝Gal(Ｑ(ζ_p)/Ｑ)は,

もちろん１と同型ではないので,Gal(Ｑ(ζ_p)/Ｑ)から

(Ｚ/ｐＺ)^×への準同型写像は全射であり,

それ故,位数が(ｐ－1)の巡回群(Ｚ/ｐＺ)^×と同型です。

したがって,Gal(Ｑ(ζ_p)/Ｑ)も巡回群ということになるので,

もちろん,Abel群であり,それゆえ可解群です。

ブログ記事「ガロア理論(5)」での関連部分を再掲しておきます。

"Ｆが体であって,１の原始ｎ乗根ωに対してＥ＝Ｆ(ω)とすれば,

Gal(Ｅ/Ｆ)はＺ_nの単元の乗法群Ｕ(Ｚ_n)≡{ [ｉ]∈Ｚ_n|(ｉ,ｎ)＝1}

の部分群と同型になり,それ故,Gal(Ｅ/Ｆ)はAbel群になる。"

ことを証明します。

すなわち,Ｅ＝Ｆ(ω)なので,∀σ∈Gal(Ｅ/Ｆ)は,

ωにおけるσの値によって完全に決まります。

すなわちσ(ω)＝ωⁱなるｉが(mod ｎ)で一意に決まります。

このσをσ_iとし,0≦ｉ≦(ｎ－1)と仮定します。

ωが１の原始ｎ乗根になることと,(ｉ,ｎ)＝1であること

が同値であることは巡回群のよく知られた性質です。

またσの巡回群：＜ω＞への制限は,巡回群＜ω＞の自己同型です。

したがってψ:σ_i→[i]は写像ψ:Gal(Ｅ/Ｆ)→Ｕ(Ｚ_n)を定めます。

そして,σ_jσ_i(ω)＝σ_j(ωⁱ)＝(ωⁱ)^j＝ω^ij＝ω^ji

なので,ψ(σ_jσ_i)＝[ｊｉ]＝ψ(σ_j)ψ(σ_i)より,

ψは準同型になります。

したがって,Gal(Ｅ/Ｆ)はＵ(Ｚ_n)の部分群に同型であり,

それ故,Abel群になります。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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