回転系の計量(metric)

前記事の非慣性系である回転座標系についての考察を,通常の

一般相対性理論の見方で再検討してみます。

静止している座標系で円筒座標:(ｒ',φ',ｚ',ｔ)を使うと,

その計量(metric)はｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ｄｒ'²－ｒ'²ｄφ'²－ｄｚ'²

です。

一方,回転系の円筒座標を(ｒ,φ,ｚ,ｔ)として,回転軸ｚとｚ'が

一致していて回転の角速度がωであるとすると,

ｒ'＝ｒ,φ'＝φ＋ωｔ,ｚ'＝ｚです。

これらを代入することで,回転系の計量が

ｄｓ²＝(ｃ²－ｒ²ω²)ｄｔ²－2ｒ²ωｄφｄｔ－ｄｒ²－ｒ²ｄφ²－ｄｚ²

となることがわかります。

しかし,回転系を基準とする座標系はｃ/ω以下の距離に対してしか

使用できません。

実際,ｒ＞ｃ/ωでは,ｇ₀₀が負になりますが,これは許されない

ことです。

(※回転の角速度ωが一定で半径が大きくなると,

回転の速さが光速ｃを超えます。ｒω＞ｃです。※)

この半径ｒ＝ｃ/ωの円筒面は,謂わゆる「事象の地平面」

(Event Horizon)とも呼ばれる曲面です。

(※ブラックホールの話で出てくるSchwartzschild半径の

球面も「事象の地平面」と呼ばれていますね。

この面を境界として,時空多様体の記述が不連続になります。※)

ここで,一般相対性理論において,単なる物理的ラベルに過ぎない

時間間隔:ｄｔ＝ｄｘ⁰/ｃから真の時間間隔ｄτを求めてみます。

そのため,空間の同一点で生じた限りなく近い２つの事象を考えます。

この２つの事象間の世界間隔ｄｓはｃｄτに他なりません。

ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｙ^νにおいて,ｄｘ¹＝ｄｘ²＝ｄｘ³＝0 とおけば,

ｄｓ²＝ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²により,ｄτ＝(ｇ₀₀^1/2/ｃ)ｄｘ⁰となります。

そこで,回転系ではｇ₀₀＝(1－ｒ²ω²/ｃ²)によって,

ｄτ＝(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2ｄｔとなります。

それ故,前記事での円板に関して,ｔ＝Ｔ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2

と書いたときの慣性系Ｉでの標準時計の不変時間である

Ｔ＝ｔ(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2が,"真の時間＝固有時間"である

という意味が再現されました。

一方,真の空間距離の要素ｄσを求めてみます。

特殊相対論では,ｄσを同一時刻に生じた無限小隔たった２つの事象

の間の世界間隔と定義することができますが,一般相対性理論では

そのようなやり方は通常は不可能です。

すなわち,ｄｓにおいて単にｄｘ⁰＝0 と置くだけでｄσを求める

ということは不可能なのです。

このことは重力場の中では固有時間τの座標:ｘ⁰＝ｃｔへの依存

の仕方が空間内の異なる点では違っている,という事情に

関係しています。

ｄσを求めるには次のようにします。

光の信号が空間の点Ｂ(座標ｘⁱ＋ｄｘⁱ)から,それに限りなく近い

点Ａ(座標ｘⁱ)へ向けて発射され,次いで同じ道を逆進すると仮定

します。

同じ点Ｂに戻ってくるまでに要した時間をＢで測って,

その真の固有時間にｃを掛ければ,２つの点の間の空間距離

の２倍を与えるはずです。

ここで,空間座標と時間座標を分離して世界間隔を書き直すと,

ｄｓ²＝ｇ_ijｄｘⁱｄｘ^j＋2ｇ_0iｄｘ⁰ｄｘⁱ＋ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²

となります。

ところで,光自身は全く歳を取らないので,その運動に沿っての

光自身の世界間隔はゼロですから,

１つの点から光の信号が発射されることと,それがもう１つ

の点に到着することを表わす２つの事象の間の世界間隔は

ゼロです。

そこで,方程式ｄｓ²＝0 をｄｘ⁰ について解くと,ＡとＢの間を

互いに逆向きに信号が伝わることに対する２つの根:

ｄｘ⁰⁽¹⁾＝(1/ｇ₀₀)[－ｇ_0iｄｘ⁰ｄｘ^ｊ

－{(ｇ_0iｇ_0j－ｇ_ijｇ₀₀)ｄｘⁱｄｘ^j}^1/2],および,

ｄｘ⁰⁽²⁾＝(1/ｇ₀₀)[－ｇ_0iｄｘ⁰ｄｘⁱ

＋{(ｇ_0iｇ_0j－ｇ_ijｇ₀₀)ｄｘⁱｄｘ^j}^1/2]

が得られます。

Ｂからの信号がＡに到達する時刻をｘ⁰とすると,

それがＢを発する時刻とＢに戻ってくる時刻は,それぞれ,

ｘ⁰＋ｄｘ⁰⁽¹⁾,ｘ⁰＋ｄｘ⁰⁽²⁾です。

そこで,この座標時間の間隔は,明らかに,(ｄｘ⁰⁽²⁾－ｄｘ⁰⁽¹⁾)/ｃ

＝(2/ｇ₀₀){(ｇ_0iｇ_0j―ｇ_ijｇ₀₀)ｄｘⁱｄｘ^j}^1/2/ｃ

となります。

これに対応する真の時間間隔は,これにｇ₀₀^1/2を掛けたものですから,

結局真の空間距離は,これを掛けた上にさらに(ｃ/2)を掛ければ得ら

れることになります。

その結果は,ｄσ²＝γ_ijｄｘ^ｊｄｘ^j,ただしγ_ij≡(ｇ_0iｇ_0j/ｇ₀₀－ｇ_ij)

となります。

このγ_ijを空間の計量と呼ぶことがあります。

したがって,回転系でこれを計算するとｇ₀₀＝(1－ｒ²ω²/ｃ²),

ｇ₁₁＝ｇ₃₃＝－1,ｇ₂₂＝－ｒ²,ｇ₀₂＝ｇ₂₀＝－(ｒ²ω/ｃ)で,

これ以外の計量はゼロなので"真の不変空間距離＝固有距離"ｄσ

の表式は,

ｄσ²＝(ｒ⁴ω²/ｃ²)/(1－ｒ²ω²/ｃ²)ｄφ²＋ｄｒ²＋ｒ²ｄφ²＋ｄｚ²,

すなわちｄσ²＝ｄｒ²＋ｄｚ²＋ｒ²ｄφ²/(1－ｒ²ω²/ｃ²)

となります。

そこで,これも前記事での円板,すなわち,ｄｚ＝0 のときのφを

θで置き換えた標準物指での不変距離の表現である,

ｄσ²＝ｄｒ²＋ｒ²ｄθ²/(1－ｒ²ω²/ｃ²)と確かに一致します。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ(Landau,Lifshitz)著「場の古典論」(東京図書) 　

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）         

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