ベルの不等式(量子論と実在)

今日は「量子論と実在」の問題と関連したEPRのパラドックス

(Einstein- Podolski-Rosen's Paradox)と関わる１つの不等式

の話をします。

量子論の確率解釈に対して,それに反対したEinstein(アインシュタイン)

の有名な「神はサイコロ遊びをなさらない。」というセリフにある

ような,　実在性の問題＝"隠れた変数"と関わる問題は,

謂わゆるEPRのパラドックスを検証する方法が見つかれば解決する,

とされてきました。

　そして,こうした問題は,"実在(隠れた変数が存在する)"であれば

成立するはずの「ベルの不等式」という,論理学での２値論理に

基づく１つの不等式が,量子論においては成立しない,ということ

がアスペ(Aspect)らの実験などにより実証された,という形で,

1980年代には解決しました。

では,この「ベル(Belll)の不等式」とは,一体どういう内容の不等式

なのでしょうか？

今日はデスパ－ニャ(B.D'espagnat)の「量子論と実在」というレポート

に基づいて,これを説明しようと思います。

　さて,EPR実験と同様ですが,元の実験よりはるかに考えやすい,

　と思われる１つの仮想的な思考実験を与えます。

　いくつかの陽子対について,それらのスピンを測定する装置がある

　とします。

　初めに,２つの陽子は,ごく接近した位置にあるとします。その後,

　２つの陽子が運動して互いにある巨視的な距離の程度に離れたとき,

　ある種のテストを行なうものとします。

量子力学によれば,陽子のようなスピンが1/2の１つの粒子の

ある任意の軸方向のスピン角運動量ベクトルの成分は,

アップ(上向き：＋1/2)とダウン(下向き：－1/2)の２つの値

しか取らない.,ことがわかっています。

以下では,この２つの値をアップ,および,ダウンの代わりに,それぞれ,

＋(プラス),および,－(マイナス)で表わすことにします。

そして,それぞれの対をなす２個の陽子は一緒になって,

シングレット(Siglet:一重項状態)と呼ばれる量子力学的配置

を取っているとします。

(※↑ 一重項状態とは,陽子対全体ではスピンがゼロという意味です。)

このとき,それらのスピン成分は確実に負の相関を持っており,

両方の粒子について同じスピン成分を同時に測定すると,

１方の陽子のスピン成分がプラスなら,必ず他方の陽子のそれは

マイナスであり,逆の場合はその逆として観測されます。

そして運動の初期状態,すなわち,陽子対に対応する陽子達が比較的

接近していたと思われる状態では,実験対象の多数の全ての陽子対に

ついてこの相関は十分に確立されていた,とします。

量子論によれば,たとえ,どんな装置があろうと,一度に２つ以上の方向

のスピン成分は測れませんが,１つの装置で任意に選ばれた３つの軸の

どの１つの向きのスピン成分でも測れるように,調節可能なものを作る

ことはできます。

以下では,これらの３つの軸をＡ,Ｂ,Ｃで表わし,実験結果を

次のように書くことにします。

Ａ軸方向のスピン成分がプラスであればＡ+と表示し,Ｂ軸方向の

スピン成分がマイナスであれば結果はＢ-で与えられる,等々です。

そこで,多くのシングレット状態にある陽子対を用意して,

これらの対の両方の陽子について,それぞれのスピンのＡ成分

を測る場合を考えます。

ある対のうちの１つの陽子ではＡ+であり,他の対の１つはＡ-である

ということがあるのは当然ですが,ある１つの対の１つのメンバーが

Ａ+であるときにはいつでも,そのもう一方のメンバーはＡ-である

ということになります。

もしも,それとは別にＢ方向のＢ成分を測れば,１つの陽子がＢ+なら

それとシングレットを組んでいる相手はＢ-であり,

同様に,１つのＣ+陽子は必ず１つのＣ-陽子を伴っています。

そして,以上の結果は軸Ａ,Ｂ,Ｃの空間内での向きに無関係に

成立します。

局所的実在論的理論では,量子論では否定され,現実にはあり得ない,

とされてうますが,現在の実験では測定できなくても実は隠れてた性質として存在しているに違いない,として,

単一の粒子のスピンの２つの成分を同時に測定する手段が何か存在する

と仮定してよい。とされます。

そこで,仮にそうした装置が存在するとして,それで測定した結果,

２つのスピン成分としてＡ+とＢ-を同時に持つと認められた陽子

の個数を,Ｎ(Ａ+Ｂ-)と表記することにします。

このとき,通常の論理に従えば,陽子達のスピンのＡ,Ｂ,Ｃ３つの成分

は測定するしないに関係なく,元々確定していたと考えることができて,

その個数をＮ(Ａ-Ｂ+Ｃ-),Ｎ(Ａ+Ｂ+Ｃ-),etc.と表記できます。

そして,それらは,当然,Ｎ(Ａ+Ｂ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-)

という式を満足するはずです。

同様に,Ｎ(Ａ+Ｃ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ+Ｃ-)＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-),

Ｎ(Ｂ-Ｃ+)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)＋Ｎ(Ａ-Ｂ-Ｃ+)

も成立するはずです。

それ故,Ｎ(Ａ+Ｃ-)≧Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-),Ｎ(Ｂ-Ｃ+)≧Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+),

かつ,等式:Ｎ(Ａ+Ｂ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-)が成立する

はずですから,

これから,Ｎ(Ａ+Ｂ-)≦{Ｎ(Ａ+Ｃ-)＋Ｎ(Ｂ-Ｃ+)}

なる不等式が得られます。

この不等式は,以上のように全く形式的に導き出されてはいますが,

ある単独の陽子の２つの成分を独立に同時測定できる装置が存在

しない以上,このままでは,これを実験によってテストすることは

できません。

しかし,個々の陽子ではなく,相関を持つたくさんの陽子対に対して

測定を行なう実験では,上述の不等式の成否を確かめるのに,

そうした不可能な測定を行なう必要はありません。 

すなわち,ＡかＢかＣかのどれか１つのスピン成分について,

それぞれの陽子をテストする,という実験を行います。

偶然の一致で１つの対の中の両方の陽子に対して,実験で同一の成分

を測ることがときどき起こることになるだろうと考えられますが,

この種の結果は新しい知識を提供しないので無視すると,

残った対では,ＡＢ,ＡＣ,ＢＣで表示される異なる軸のスピンを

測った陽子対になります。

そして,こうした陽子対の個数をそれぞれｎ(Ａ+Ｂ+),ｎ(Ａ-Ｂ+),

...etc.と表わすことにします。

Ｎ(Ａ+Ｂ+)とｎ(Ａ+Ｂ+)の違いは,Ｎ(Ａ+Ｂ+)が単独の陽子の

２つのスピン成分を持つ陽子の個数を示すのに対して,

ｎ(Ａ+Ｂ+)は２つの陽子の一方がＡ+,他方がＢ+の陽子対の個数

を示していることです。

Ｎ(Ａ+Ｂ-)というのは,ある１つの陽子が確実にＡ+かつＢ-を持つ

とされる陽子の個数なので,それと対をなす相手のメンバーの陽子

は確実にＡ-かつＢ+を持つと考えられますから,

そうした個数は,Ｎ(Ａ-Ｂ+)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-)を満たします。

そこで,多くの陽子対の同一のサンプルに対し,独立にＡ,Ｂ２つの方向

について測定された２つの実験では,統計的相関から近似的に

ｎ(Ａ+Ｂ+)はＮ(Ａ+Ｂ-),またはＮ(Ａ-Ｂ+)に比例(すると

考えてよいことになります。

同様にして,ｎ(Ａ+Ｃ+)はＮ(Ａ+Ｃ-)に,ｎ(Ｂ+Ｃ+)はＮ(Ｂ-Ｃ+)に

比例すると考えられ,これらの比例係数は共通であると予想されます。

したがって,不等式Ｎ(Ａ+Ｂ-)≦{Ｎ(Ａ+Ｃ-)＋Ｎ(Ｂ-Ｃ+)}は,

不等式ｎ(Ａ+Ｂ+)≦{ｎ(Ａ+Ｃ+)＋ｎ(Ｂ+Ｃ+)}と変換される

ことになります。

これがベルの不等式の１つの形式です。

(※別の形式の不等式もありますが意味は大同小異です。)

これなら,現実の実施可能な実験によってテストすることが

可能なわけです。

そうして,この不等式(または別の形のそれ)がアスペの実験を始め,

多くの実験により"否定的な結果,

つまりこうしたベルの不等式は成立しないという結果"を得たため,

Einsteinらの実在論者は敗北し,「量子論の非局所性」が

正当化されるきっかけとなったのでした。 

参考文献；Ｂ.デスパニャ(Bernard D'espagnat)「量子論と実在」(The Quantum Theory and Reality.) (日経サイエンス1980年1月号から)

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