一般相対性理論の基礎と回転系

　　今日は,回転系と一般相対性理論の基礎について述べます。

　　一般相対性理論を創設した,Einstein(アインシュタイン)は,

　加速運動をしている系を準拠系と考えたときに現われる遠心力などの

　仮想的な力も通常の力と同じである,と見なして,

　"運動の基礎方程式は両種の準拠系で全く同じであるべきである。"

　と考えた,と聞いています。

　この着想が,「一般相対性原理」と呼ばれるものですね。

　そして,"仮想的な力も通常の力と同じである。"という見方を

　「等価原理」といいます。

(※昔,ニフティのパソコン通信時代に,

"「見かけ(仮想)の!重力」「"真の"重力」は計量()metric)の

　Riemann曲率がゼロかどうかが違うという議論をウンザリするほど

　聞　かされましたが,,

　違うという面(それが本質？)も大切ですが,同じ(等価)という面に着目した

　のが初期の本質的着想だと思います。)

(※等価原理には,その他,慣性質量と重力質量は同じであるとか,

局所的には計量をMinkowski計量に取れる座標系が存在するとか,

様々な表現があるようですが。。※)

　さて,今,変形せず一様に回転している系という簡単な加速座標系

　について考察します。

　もっとも,"力を受けても変形しないという物体＝剛体"が存在すれば

　その弾性係数は無限大なので,それを媒質として伝わる"弾性波の速さ

　＝音速"は無限大になります。

　ところが,相対論によれば(最初から光速ｃより速く光速以下になれない

　とされる未発見の幻の粒子＝タキオンを除いて)光速ｃを超える速さ

　の物体の存在は許されないので,

　"力を受けても変形しないという物体＝剛体"は存在し得ない.こと

　になっており,実は"変形しない系"というのは許されないので,

　ここでは理想化をしています。

　まず,全ての質量やエネルギーから十分離れていて,重力の影響が全て

　無視できるような場所に着目し,ここでの慣性系の１つをＩで表わし,

　通常の方法で設定された時空座標をＸ,Ｙ,Ｚ,Ｔとします。

　もちろん,物理空間内の１点を示すのに,直交デカルチ座標の代わりに

　一般曲線座標を用いてもいいです。

　例えば,ＸＹ面内の事象だけを扱うのであれば,Ｘ＝ＲcosΘ,

　Ｙ＝ＲsinΘによって極座標(Ｒ,Θ)を導入することができます。

　一方,一定角速度ωで一様に回転する座標系Ｓに固定され付随する

　空間デカルト座標を(ｘ,ｙ)とし,ｘ＝ｒcosθ,ｙ＝ｒsinθとすれば,

　変換式は,ｒ＝Ｒ,θ＝Θ－ωＴ  で定義されます。

　(ｘ,ｙ) or (ｒ,θ)が一定の点は回転系Ｓに固定されている点ですが,

　これらの点は全て慣性系Ｉに対して一定の角速度ωで円運動をして

　います。

　そしてＴ＝ 0 では両系の座標は一致しています。

　したがって,ｒ＝Ｒ＜ｃ/ωを満たす全ての点に対しては,一様に

　回転している実際の物質で作った円板をこの回転座標系として

　用いてもいいでしょう。

　この回転する円板上の２定点の距離を測るのに,慣性系で用いた

　標準物指と同じものを使うことにしますが,このときには標準物指

　は回転円板に対して静止しています。

　ここで,

　"円板に固定している物指の慣性系Ｉでのある時刻の長さは

　円板に固定されたこの物指とその時刻に同じ速度を持つ慣性系Ｉ₀

内にある標準物指の長さと正確に同じである。"

　と仮定します。

　さらに一般化して,加速系内の標準物指は慣性系Ｉ内の物指に比べて,Lorentz変換を受けていることだけが異なっています。

　つまり,

　"この物指の長さはＩに対する加速度には無関係である。"

　と仮定します。

　したがって,この円板上の標準物指で円板上の２点の(ｒ,θ)と

　(ｒ＋ｄｒ,θ)との間の距離を測れば,Ｉに対する物指の速度は

　物指に直交していてLorentz収縮は起こらないので,Ｉから見た

　その距離ｄσはｄσ＝ｄｒです。

　ところが,標準物指で(ｒ,θ)と(ｒ,θ＋ｄθ)との間の距離を測れば

　物指はＩに対してｒωの速度を持っているので,その距離は

　ｄσ＝ｒｄθ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2となるはずです。

　つまり,Ｉから回転系Ｓに固定された物指を見ると,それは

"Lorentz収縮"しています。

その物指で測った場合,距離は逆に伸張して測定されます。

　ｒｄθはＳでの座標そのものです。

　ＳはＩから見て変形しない円板の固定した系と仮定したので,

　ｒｄθは確定値です。

　いいかえると,既に"Lorebtz収縮"したものがｒｄθです。

　(Ｉから見て,Ｔ＝0 からＴ＝Ｔまでの点(ｒ,θ)と点(ｒ,θ＋ｄθ)

　の描く軌道＝世界線は同じなので,その距離ｒｄθは同じです。)

　また,ｄσはＩで見た慣性系での値に相当する不変量です。

　それ故,(ｒ,θ)と(ｒ＋ｄｒ,θ＋ｄθ)との間の不変距離は,

　ｄσ²＝ｄｒ²＋ｒ²ｄθ²/(1－ｒ²ω²/ｃ²)という関係式

　になります。

これは慣性系Ｉからながめていて,

"円板は収縮しないし変形もしないが,物指は回転しているので

収縮する。"

と見ているわけです。

つまり,Ｉでの測定をＩから見ると弧の長さは

ｒｄθなのに,Ｓでの測定をＩから見ると,

その長さは,ｄσ＝ｒｄθ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2

になるということです。

ｒ＝一定,で与えられる曲線は,半径ｒの円を表わしていますが,

その円周の長さを計算すると,∫₀^2π[ｒｄθ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2]

＝2πｒ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2となるので,

円周と半径の比,すなわち,円周率×2は,

2πｒ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2＞2π　となります。

このように,円板に対して静止している標準物指で測った結果を用いて

得られる３次元空間の幾何学は,特殊相対論においてさえ正しかった

３次元空間のユークリッド幾何学とも,一般には食い違っている,こと

がわかります。

同様に「一般相対性原理」は時間の概念にも新たな変革を要求します。

例えば,回転座標系における時間として,この系の各点に標準時計

を固定しておき,慣性系Ｉ内の時計が時刻ゼロを刻む瞬間に丁度

この時計と重なっている回転座標系の時計の時刻をゼロに合わせ

るようにしたらどうでしょうか？

このとき,Ｔ＝0 なら回転系の時刻もゼロです。

ところが回転円板上の１点(ｒ,θ)に置かれた標準時計はＩに対して

速度ｒ　ωを持っているので,Ｉに置いた時計に比べて遅れることに

なりますから,Ｔ＝ 0 以降の時刻ｔについては,

ｔ＝Ｔ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2となります。

つまり,時計が遅れるので時刻は進むのです。

この場合も標準時計の進み方はＩに対する速度だけが影響し加速度

の影響はないことを予測しています。

空間距離において,剛体とは成り得ない物指の変形を無視したのと

同様,現実の時計には起こり得る加速度の影響はやはり無視して

理想化しています。

しかし,ここで定義されたｔ＝Ｔ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2を時間変数ｔ

として回転系の時刻を記述することは,確かに原理的には許されて

いますがきわめて非実用的です。

例えば,(ｒ,θ)で記述される点Ａに光源が置かれ,固有振動数ν₀の光を放射しているとすると,この場合ｔ＝0 からｔ＝1 までの間に放出される波の数はν₀ですが,

Ｉでの時刻Ｔ＝0 からＴ＝1までの間に放出される波の数は,

ν₀{1－ｒ²ω²/ｃ²}^1/2となりますから,中心ｒ＝0 にはこれと

同じ数の波が到着します。

ところが,ｒ＝0 ではｔ＝Ｔとなり,ｔ＝0 からｔ＝1までの間

にも,やはり同じ数:ν₀(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2の波が到達すること

になります。

このように定義したｔのスケールでは単位時間に,点Ａから放出される

波の数は単位時間に中心Ｏに到達する波の数よりも多い,ことになって

しまいます。

つまり波の伝播などの記述は,このｔでは非常に複雑になります。

かくして,加速系では,むしろ進み方の違う時計,例えば標準時計

よりも(1－ｒ²ω²/ｃ²)^-1/2倍速く進む座標時計を用いた方が

便利であることになります。

こうすれば,時間パラメータがＩ系のＴに一致するからです。

そこで,ｔ＝Ｔ/(1－ｒ²ω²/ｃ²)^1/2の代わりにｔ≡Ｔとします。

加速系の準拠座標系では,時間座標や空間座標は物理的意味を失い,

勝手なものではありますが,不定性のない方法で物理的事象に付け

られた単なるラベルとか番号に過ぎません。

(※老婆心ながら一言;

理論的な関心がないなら,加速運動を論じるのに,

わざわざそれに固定した加速座標系を想定し,それを準拠系として

考察する必要はなく,準拠座標系を慣性座標系として,特殊相対性

理論とその力学に基づいて考察するのが普通です。

「加速度運動は一般相対性理論を考えなければ記述できない,説明で

きない。」という誤解があると聞いたこともありましたが,

特殊相対性理論は,Newton力学を修正したものです。そして普通の

力学で対象とする物体の運動は,そのほとんどは加速運動です。

そもそも,それらを記述できないような無力な理論ならNewton力学

に取って代わるなどは決してできませんよね。※)

参考文献；メラー「相対性理論」(みすず書房)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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