遠心力,コリオリ力の相対性(マッハ原理？)

ｘ^μを時空の局所座標とし,Ｘ^μをその点における「等価原理」に

基づいて重力が消去された局所慣性系の時空座標とすると,

この重力場の中での自由粒子の運動方程式は,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0

で与えられます。

ここでλは任意のパラメータです。

これは重力場内での自由落下の方程式でもあります。

この方程式に基づく粒子の軌道を測地線(geodesic)といい,

この方程式を測地線の方程式といいます。

測地線の方程式のｘ^μに対する表現は,固有時間τ≡ｓ/ｃを

パラメータとして導入し,両端を固定した一般的な変分原理:

δ∫_τ1^τ2ｄｓ＝δ∫_τ1^τ2ｃ{ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)}^1/2ｄτ

＝0

から導くこともできます。

そして測地線の方程式をこの変分原理の解としてのオEulerの方程式

の形で求めると,

(ｄ/ｄτ){ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)}

＝(1/2)(∂ｇ_λσ/∂ｘ^μ)(ｄｘ^λ/ｄτ)(ｄｘ^σ/ｄτ)

なる表現が得られます。

ただし,τ≡ｓ/ｃより,ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝ｃ²

なる条件があります。

もっとも,質量のない光線の場合は,ｃ²ｄτ²＝ｄｓ²＝ 0 という条件

が加わるのでτを独立変数パラメータとして採るのは不可能です。

測地線の方程式は,τの代わりにλを任意パラメータとして,

(ｄ/ｄλ){ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄλ)}

＝(1/2)(∂ｇ_ρσ/∂ｘ^μ)(ｄｘ^ρ/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ),

ただしｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0

という一般形式に変わります。

測地線の方程式はChristoffellの記号:Γを用いた馴染み深い形

で表現すると,ｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ^μ_ρσ(ｄｘ^ρ/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0

と書けます。

この方程式において,ある瞬間に静止している粒子:(ｄｘⁱ/ｄτ＝0)

について,μ＝i＝1,2,3とおけば,

ｇ_ij(ｄ²ｘ^j/ｄτ²)＋ｄ{ｇ_i0(ｄｘ⁰/ｄτ)}/ｄτ

＝(1/2)(∂ｇ₀₀/∂ｘⁱ)(ｄｘ⁰/ｄτ)²

となります。

一方,勝手な運動をしている粒子については,

前記事で定義したようにγ_ij≡(ｇ_0iｇ_0j/ｇ₀₀－ｇ_ij),

ｄσ²＝γ_ijｄｘⁱｄｘ^jですが,γ_i≡ｇ_i0/ｇ₀₀^1/2とおけば,

γ_ij＝－ｇ_ij＋γ_iγ_jです。

そして,

ｃ²ｄτ²＝ｄｓ²＝ｇ_ijｄｘⁱｄｘ^j＋2ｇ_0iｄｘ⁰ｄｘⁱ＋ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²

＝－γ_ijｄｘⁱｄｘ^j＋(ｇ_0iｄｘⁱ＋ｇ₀₀ｄｘ⁰)²/ｇ₀₀

＝－ｄσ²＋ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²{1＋γ_iｕⁱ/(ｃｇ₀₀^1/2)}²

です。

ただし,ｕⁱ≡ｄｘⁱ/ｄｔ＝ｃ(ｄｘⁱ/ｄｘ⁰)(粒子の速度成分)

です。

これを,(ｄｘ⁰)²で割ると,ｃ²(ｄτ/ｄｘ⁰)²

＝－ｕ²/ｃ²＋ｇ₀₀{1＋γ_iｕⁱ/(ｃｇ₀₀^1/2)}²

(ただし,ｕ≡ｄσ/ｄｔ＝ｃ(ｄσ/ｄｘ⁰) )

です。

これを解くと,ｇ_i0(ｄｘ⁰/ｄτ)＝

ｃγ_i[{1＋γ_kｕ^k/(ｃｇ₀₀^1/2)}²－ｇ₀₀ｕ²/ｃ²]^-1/2

となります。

そこで,瞬間的に静止している粒子に対しては,

両辺をτで微分した後に,ｕ^k＝0 (ｋ＝1,2,3),ｕ＝0 とおくと,

(ｄ/ｄτ){ｇ_i0(ｄｘ⁰/ｄτ)}

＝(1/ｇ₀₀^1/2){ｃ²(∂γ_i/∂ｘ⁰)－γ_iγ_k(ｄ²ｘ^k/ｄｔ²)/ｇ₀₀^1/2},

およびｄ²ｘ^k/ｄτ²＝(1/ｇ₀₀)(ｄ²ｘ^k/ｄｔ²)

を得ます。

この式と,先に求めたｇ_i0(ｄｘ⁰/ｄτ)

＝ｃγ_i[{1＋γ_kｕ^k/(ｃｇ₀₀^1/2)}²－ｇ₀₀ｕ²/ｃ²]^-1/2において,

ｕ^k＝0 (ｋ＝1,2,3),ｕ＝0 としたものを,

ｇ_ij(ｄ²ｘ^j/ｄτ²)＋ｄ{ｇ_i0(ｄｘ⁰/ｄτ)}/ｄτ

＝(1/2)(∂ｇ₀₀/∂ｘⁱ)(ｄｘ⁰/ｄτ)²に代入すると,

結局,γ_ij(ｄ²ｘ^j/ｄｔ²)

＝－(∂/∂ｘⁱ)(ｃ²ｇ₀₀/2)＋ｃｇ₀₀^1/2(∂γ_i/∂ｔ)

なる式が得られます。

ここで,最後の式の左辺:ａ_i≡γ_ij(ｄ²ｘ^j/ｄｔ²)は,

この重力場がこの粒子に与える加速度を,われわれの準拠系で

の共変成分として表現したものに他なりません。

したがって,この重力場の力学的な働きは関数ｇ₀₀とγ_iとで

記述されることになります。

さらに,ｇ₀₀≡1＋2φ/ｃ²とおけば,

ａ_i＝－∂φ/∂ｘⁱ＋ｃ(1＋2φ/ｃ²)^1/2(∂γ_i/∂ｔ)

が得られます。

この式と荷電粒子に作用する電気力をポテンシャルで表わした式

との類推から,φおよびγ_iは,それぞれ,

重力場のスカラー・ポテンシャル,およびベクトル・ポテンシャル

と呼ばれるべきものに相当していると考えられます。

そしてｇ₀₀は,スカラー・ポテンシャルφがゼロのときに１に一致する

ように規格化されています。

また,特にγ_iに陽な時間依存性がないなら

ａ_i＝－∂φ/∂ｘⁱとなります。

さて,宇宙項がない場合のEinsteinの重力場の方程式は,

Ｒ_μν－ｇ_μνＲ/2＝－κＴ_μν,あるいは

Ｒ_μν＝－κ(Ｔ_μν－ｇ_μνＴ/2)

で与えられます。

ただし,Ｒ_μνはRiemann-Christoffellの曲率テンソルを縮約したRicciテンソルであり,またＲ≡Ｒ_μ^μです。

Ｔ_μνはエネルギー運動量テンソルと呼ばれる量でＴ≡Ｔ_μ^μです。

重力場が弱く時間に依存しない静的なときには,

重力場の方程式は近似的にNewtonの万有引力の法則を表わす

Poissonの方程式:∇²φ＝－4πＧρに近づくはずです。

ここで,φは重力のポテンシャル,Ｇは万有引力定数,

ρは空間における質量の密度です。

慣性系の計量をη_μν (ただし,η₀₀＝1,η₁₁＝η₂₂＝η₃₃＝－1,

η_i0＝ 0,η_ij＝ 0 (ｉ≠ｊ) )とおき,ｇ_μν≡η_μν＋ｈ_μν

とおくと,

重力場が弱い場合にはｈ_μνとその微分は小さくて,

それらの２次以上の微小量は無視できます。

Christoffellの記号:Γ^λ_μνはｇ_μνの微分ですから,

ｈ_μνの微分でもあります。

そこで,曲率テンソルにおいては,Γの積を含む項は

無視できます。

それ故,Ｒ_μν～ ∂_νΓ^λ_μλ－∂_λΓ^λ_μν

＝(η^λσ/2)(∂_λ∂_σｈ_μν)＋(1/2){(∂_μ∂_νｈ)

－(∂_λ∂_νｈ_μ^λ)－(∂_λ∂_σｈ^λ_ν)}

と近似されます。

ここで,ｈ_μ^λ≡η^λσｈ_μσ,ｈ^λ_ν≡η^λσｈ_σν,ｈ≡ｈ^λ_λ

と同定できます。

ｈ_μνやＴ_μνが時間ｔに依存しない静的な場合には,

Ｒ₀₀についてＲ₀₀＝(η^λσ/2)(∂_λ∂_σｈ₀₀)＝∇²φ/ｃ²

を得ます。

そして,静止した物質中で応力エネルギーがエネルギー運動量テンソル

に与える小さな寄与を無視すると,第１近似では,

Ｔ_μν＝δ_μ0δ_ν0ρｃ²です。

そこで,Ｒ_μν＝－κ(Ｔ_μν－ｇ_μνＴ/2)においてμ＝ν＝0

とおいた式から,確かにPoissonの方程式:∇²φ＝－κρｃ⁴/2

を得ます。

実際,重力の弱い静的な状況では重力場も物質エネルギーも00成分のみ

が支配的なので,これはNewtonの万有引力の法則を表わしている

と見なすことができます。

これを,Newtonの引力を与える方程式:∇²φ＝－4πＧρと

比較すれば,κｃ²＝8πＧ/ｃ²と同定されます。

議論を少し元に戻すと,Ｒ_μν～(η^λσ/2)(∂_λ∂_σｈ_μν)

＋(1/2){(∂_μ∂_νｈ)－(∂_λ∂_νｈ_μ^λ)－(∂_λ∂_σｈ^λ_ν)}

＝(1/2){□ｈ_μν－(∂_μ∂_λχ^λ_ν)－(∂_ν∂_λχ_μ^λ)}

です。

ただし,χ_μ^λ≡ｈ_μ^λ－δ_μ^λｈ,χ_μν

≡ｈ_μν－η_μνｈです。

ここで,ゲージ(gauge)変換を行なって∂_λχ_μ^λ＝0 とすることが

可能なので,重力が弱いときの重力場の方程式は,

□χ_μν＝－2κＴ_μνと比較的簡単な形で表わすことが

できます。

電磁ポテンシャルとのアナロジーから,これを解いて,

ｈ_μν(ｘⁱ,ｔ)＝{κ/(2π)}∫[(Ｔ'_μν－Ｔ'/2)/ｒ]ｄＶ'

なる具体的表式を得ます。

ただし,ｒ≡{Σ(ｘ'ⁱ－ｘⁱ,)²}^1/2でＴ'_μν,および

Ｔ'はｄＶ'のある場所ｒで時刻(ｔ－ｒ/ｃ)における値を

採ることを意味しています。

静的な物質分布Ｔ_μν＝δ_μ0δ_ν0ρｃ²の場合には,

ｈ₀₀＝{κｃ²/(4π)}∫[(ρ(ｘ',ｙ',ｚ')/|ｘ

－ｘ'|]ｄＶ',ｈ_i0＝ 0 ,ｈ_ij＝δ_ijｈ₀₀

となります。

静的なので,ρはｔを含まず,そこで重力ポテンシャルも,

普通のNewtonの重力ポテンシャル;φ＝－ｃ²ｈ₀₀/2

＝－Ｇ∫[(ρ(ｘ',ｙ',ｚ')/|ｘ－ｘ'|]ｄＶ'

で与えられます。

そして,計量(metric)は,ｄｓ²＝(1＋2φ/ｃ²)ｃ²ｄｔ²

－(1－2φ/ｃ²)(ｄｘ²＋ｄｙ²＋ｄｚ²)となります。

特に,ある１箇所Ｘに質点Ｍ₀だけがあるときには,これは,

ｒ≡|ｘ－Ｘ|として,ｄｓ²＝{1＋2ＧＭ₀/(ｃ²ｒ)}ｃ²ｄｔ²

－{1－2ＧＭ₀/(ｃ²ｒ)}(ｄｘ²＋ｄｙ²＋ｄｚ²)

となります。

全く同様にして,物質の流れが定常的に分布する場合も,

Einsteinの近似式:ｈ_μν＝{κ/(2π)}∫[(Ｔ'_μν－Ｔ'/2)/ｒ]ｄＶ'

で扱うことができます。

例えば,Thirring-Lense(ティリングとレンズ)は,

"中心原点にある天体の自転が重力場に及ぼす影響,あるいはこの影響

の結果がさらに衛星の運動に及ぼす影響"を計算しましたが,

そうした影響は観測にはかからないほど小さいものでした。

しかし,この種の計算が重要な意味を持つ場合が存在します。

それは,回転系自体を準拠系とした場合に現われる遠心力やCoriolis力

の本性や起源についての観点を与えることです。

一般相対性理論は"あらゆる座標系が対等である"という,Mach(マッハ)原理に必ずしも従うものではない,ことは既にわかっています。

例えば数理論理学(数学基礎論)の不完全性定理,完全性定理で有名な

数学者:Gödel(ゲーデル)による,一般相対性理論に基づく

「ゲーデル宇宙」ではマッハ原理が成立しない,らしいです。

しかし,より一般的な宇宙でMach原理が成立するか否かは,

未だに未解決な問題です。

例えば,自転する地球が実は自転していなくて,

逆に周りの宇宙全体が同じ角速度で逆向きに回転している,

という回転座標系も慣性系と対等である,というような

Mach原理が成立すると仮定してみます。

上記の,地球が自転してないという回転系をも慣性系と対等な基準系

として採用することもできるわけです。

これを準拠系とすると,地球上で我々が受ける遠心力やCoriolis力

というような重力'の源を,地球からはるか遠方で回転している星

たちに求めることになります。

これら,遠方にある天体の質量の効果を,直接,弱い場に対する近似解

を用いて評価することは許されませんが,

一様な密度を持つ球殻が回転しているとするとき,

球殻の内部には遠方の天体の質量の回転と同様な効果が現われる

であろうと考えられます。

そして,こうした定常的な一様球殻の回転を仮定したモデルに

ついては,弱い場に対するのと同じ近似解を適用してもいい

と思われます。

この球殻が回転せず静止しているときには,

φ＝－Ｇ∫[(ρ(ｘ',ｙ',ｚ')/|ｘ－ｘ'|]ｄＶ'

で与えられるφは球殻内で一定で,

φ＝－ＧＭ₀/Ｒまたは,2φ/ｃ²＝－{κｃ²/(4π))(Ｍ₀/Ｒ)

です。

ここに,Ｍ₀は球殻の全質量,Ｒはその半径で,

φの値は球殻の厚さには無関係です。

計量:ｄｓ²＝(1＋2φ/ｃ²)ｃ²ｄｔ²－(1－2φ/ｃ²)(ｄｘ²＋ｄｙ²＋ｄｚ²)

には,(1＋2φ/ｃ²)や(1－2φ/ｃ²)という係数があっても,

これらは単なる定数なので空間や時間のスケールを変えるだけで,

これらの係数は除去できます。

そこで,この場合は線素は特殊相対論と同じです。

また,球殻が等速直線運動をしていても,Lorentz変換で静止の場合

に帰するので,特殊相対論の場合と同じですから,

遠方の天体質量が一様直線運動をしていても慣性系内に

重力場を作ることはないでしょう。

ところが,ThirringとLenseは,球殻状の物質が回転している場合

には,□χ_μν＝－2κＴ_μνから計算された球殻内の重力場が,

回転している座標系内の力場に似ていて,

普通の遠心力やCoriolis力に似た重力場が作られるという

興味深い結果を発見しました。

ここでは,少し簡略化した場合について考えてみます。

それは静止質量がＭ₀,半径がＲの環状物質が,ｘｙ面内で時計回り

に角速度ωで回転しているという場合です。

環状の１点の座標を(ｘ',ｙ',0)とすれば,

Ｒ²＝ｘ'²＋ｙ'²,Ｔ_ij＝Ｔ^ij＝ρ⁰ｕⁱｕ^j/(1－Ｒ²ω²/ｃ²),

Ｔ_i0＝Ｔ_0i＝－Ｔⁱ⁰＝－ρ⁰ｕⁱｃ/(1－Ｒ²ω²/ｃ²),　

Ｔ₀₀＝ρ⁰ｃ²/(1－Ｒ²ω²/ｃ²),Ｔ＝Ｔ₀₀－Ｔ_ii＝ρ⁰ｃ²

となります。

密度ρ⁰は,物体が瞬間的に静止しているときの密度ですが,

運動系での微小体積ΔＶは,静止系での同じ微小体積をΔＶ⁰

とすると,運動系ではΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,

ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰より,ρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

となります。

それ故,Ｍ₀＝∫ρｄＶ＝(1－Ｒ²ω²/ｃ²)^-1/2∫ρ⁰ｄＶ

です。

これらから計算した結果のうち,力学的ポテンシャルを

決めるのに必要な成分:ｇ_μ0＝η_μ0＋ｈ_μ0

だけを書き下します。

Ｒに対して"原点＝実は自転している地球のような天体の中心"から

の距離が小さい点の座標を(ｘ,ｙ,ｚ)とし,ｘ/Ｒ,ｙ/Ｒ,ｚ/Ｒ

の３次以上を無視しすれば,

ｇ₁₀＝{Ｍκｃ²/(4πＲ)}(ωｙ/ｃ),

ｇ₂₀＝{Ｍκｃ²/(4πＲ)}(－ωｘ/ｃ),ｇ₃₀＝ 0,

ｇ₀₀＝1－{Ｍκｃ²/(4πＲ)}{1＋(ｘ²＋ｙ²－2ｚ²)/(4Ｒ²)＋Ｒ²ω²/ｃ²}

－{Ｍκω²/(16πＲ)}(ｘ²＋ｙ²－2ｚ²)

となります。

ただし,Ｍは,Ｍ＝Ｍ⁰/(1－Ｒ²ω²/ｃ²)^1/2で与えられる

環状物質の相対論的質量です。

これらの式はＲω/ｃ＜１を満たすあらゆるωについて成立します。

環が回転している場合に,あまり重要ではない定数項を別にすれば,

力学ポテンシャルは,γ_i＝{Ｍκｃ²/(4πＲ)}(ω/ｃ)(ｙ,－ｘ,0),

φ＝－{Ｍκｃ²/(16πＲ)}(ω²/2)(ｘ²＋ｙ²－2ｚ²)となります。

ところで,回転円筒系の計量は,

ｄｓ²＝(1－ｒ²ω²/ｃ²)ｃ²ｄｔ²－2ω(－ｙｄｘ＋ｘｄｙ)ｄｔ－ｄｘ²

－ｄｙ²－ｄｚ²より,

γ_i＝(ω/ｃ)(ｙ,－ｘ,0),φ＝－(ω²/2)(ｘ²＋ｙ²),

ｒ²≡ｘ²＋ｙ²です。

もしも,宇宙の全質量Ｍと天体の質量分布の平均半径Ｒが,

{Ｍκｃ²/(4πＲ)}～１を満足する程度であれば,

回転する環の中の重力場と角速度の関係が,

回転円筒系内の重力場と全く同じになることは

興味深いことです。

そして,この環の中でCoriolis力を与えると思われる

ベクトル・ポテンシャルの形も回転系のそれと一致

しています。

ただ,スカラー・ポテンシャルφは(ｘ²＋ｙ²)による普通

の遠心力に類似した項の他に,ｚ² による項を含んでいます。

この項は,遠心力に軸方向の成分を与えることになり,

物体を回転する環の平面の方に引き戻す働きを与えます。

こうした予期しない力が現われたのは,質量分布が特殊であるため

と考えることもできますが,Thirringによれば回転する一様球殻

の場合にも同様な項が現われるので,近似式が適切でないのかも

しれません。

まあ,いずれにしても遠心力やColiolis力に"Mach原理"が適用できる

と考えるのは,私見ですが少々無理であろう,と思います。

一般相対性理論では,座標系は全く対等であるとはいうものの,

この宇宙は１つの４次元の時空多様体であることはほぼ真実

なのですから,

その幾何学を否定するような座標系には疑問を感じますね。

参考文献；メラー「相対性理論」(みすず書房)　

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学