辞世

　死は決して美しくはないし,生に執着することが醜いとも思わない。

　しかし,多くの飢えたる子らを想えば,この生まれただけで物質的に充足していると言っていい国と時代での私の生は無駄なだけだったかもしれない。

　死が身近に迫っているかもしれないのに何故か落ち着いていられるのは,生還する可能性がかなりあるためかもしれない。

　子孫を残さない生にも何らかの意味があるのだろうか？

　私自身はエゴイストだから生きる目的は,もちろん「自己満足＝自分が幸せになること」です。

　まあ,これが単純なエゴイストと言えないかもしれないのは他人の幸せに尽くすことが自己の幸せである。という部分も含めた自己満足だからですね。

　いつまで経っても青臭いなあ。。。。

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タミフルと異常行動の因果性(仮説検定)

　今日は,今話題となっているインフルエンザの特効薬タミフルと,飛び降りや飛び込みなどの異常行動の間に,有意な因果関係があるかどうか？を判断する１つの統計的手法:仮説検定について述べてみます。

　最近のタミフル服用者の異常行動は,一見では自殺行動と判別できないように感じています。そこで因果関係の有無を調べる手段として,次のような仮説検定が有効ではないかと考えます。

　"タミフル服用者全員という総母数ｎ人に対し,これが原因で自殺行動をしたのではないかと予想される人の人数がｒ人である場合の比率ｐ＝ｒ/ｎが,日本人全員の平均自殺率:ｐ₀と比較して有意な差であると認められるかどうか"という仮説検定です。

　そのため,まず,未知の出現確率ｐを持つある確率事象がｎ回の独立試行中にｒ回起こったものとして,この未知確率ｐが確率が既知のｐ＝ｐ₀の事象と比較して差がないという仮説「Ｈ₀:ｐ＝ｐ₀」(帰無仮説)を検定する一般的問題を設定します。

　これの対立仮説としては「Ｈ₁：ｐ≠ｐ₀」を取ります。

(※この事象は有意な差があるだろう,とかこの薬は他と違って有効だろうとかいう意味のある予想(作業仮説＝対立仮説:Ｈ₁)を否定する(無に帰する)仮説が帰無仮説:Ｈ₀です。※)

　ｎが小さいときには,こうした分布は二項分布で与えられますが,これはｎが大きいときには,中心極限定理により正規分布で近似できます。

　すなわち,母数ｎが大きい場合には,注目している事象が起これば１,起こらなければ 0 とする確率変数をＸ_i(ｉ＝1,2,...,ｎ)として,その平均を＜Ｘ＞≡ΣＸ_i/ｎとすると,仮説「Ｈ₀：ｐ＝ｐ₀」の下で,確率変数:Ｔ≡(＜Ｘ＞－ｐ₀)/[ｐ₀(1－ｐ₀)/ｎ]^1/2は,ほぼ正規分布Ｎ[0,1]に従うはずです。(大数の法則)

　そして,仮説Ｈ₀を真とみなしたとき,Ｔ∈Ｒが成り立つ確率:Ｐr(Ｔ∈Ｒ|Ｈ₀)がαに等しい,すなわち,Ｐr(Ｔ∈Ｒ|Ｈ₀)＝αとなるＴの変域Ｒを定めます。

　変域Ｒは,仮説Ｈ₀が真の場合の分布ならＲに入らない確率が(1－α)(α＝0.05なら95％の範囲)を除く領域に取ります。

　このＲを有意水準α,または危険率αの棄却域と呼びます。

　そして,実際に検定するデータでのＴがＴ^*のとき,Ｔ^*∈Ｒの場合は,仮説Ｈ₀を棄却し,そうでない場合にはＨ₀を採択するというわけです。

　今の場合では,例えばＴ^*∈Ｒのときは,通常の自殺率の範囲内からずれている,ということで「タミフルと異常行動の間に因果関係がない」という仮説は棄却されるわけです。

　具体的な例として,１つのサイコロを500回振ったとき１の目が66回出たとき,この結果から「このサイコロには異常がない」という仮説を有意水準α＝0.05で検定してみましょう。

　「Ｈ₀:ｐ＝1/6」,「Ｈ₁:ｐ≠1/6」とすると,Ｔ≡[＜Ｘ＞－(1/6)]/[{(1/6)×(5/6)}/500]^1/2ですが,この変数Ｔはほぼ正規分布Ｎ[0,1]に従います。

　そして,有意水準α＝0.05に対応して,[1/(2π)^1/2]∫₀^xexp(－ｔ²/2)ｄｔ＝(1－α)/2＝0.475となるｘの値は,ｘ＝1.96で与えられます。そこで,棄却域:ＲはＲ＝(－∞,－1.96)∪(1.96,∞)で与えられます。

　　

そして,「500回投げたとき１の目が66回出た」という事象は,Ｔ^*＝[(66/500)－(1/6)]/[{(1/6)×(5/6)}/500]^1/2＝－2.10となります。

そこで,Ｔ^*＝-2.10∈Ｒが満足されるので,この場合,このサイコロについては仮説"Ｈ₀:ｐ＝1/6"は棄却されます。

すなわち,この検定によれば,「このサイコロは異常なし,とは言えない」という結論となります。

本題に戻ると,日本人の平均自殺率は,2003年のデータによると,10万人当たりで27人です。すなわち,ｐ₀＝27/100000ですね。

一方,タミフルの服用者の総数ｎについては,私はよく知らないし,そのうちの自殺行動者の数ｒについても現在流動的でデータを入手してはいません。

もしも,正確な異常行動者の比率ｐ＝ｒ/ｎのデータが入手できれば,こうした検定は容易に可能です。

すなわち,仮説棄却の有意水準を0.05とした場合,ｐ＝ｒ/ｎを変数Ｔに代入したときのＴの値:Ｔ^*＝(ｐ－ｐ₀)/[ｐ₀(1－ｐ₀)/ｎ]^1/2が,棄却域Ｒ＝(－∞,－1.96)∪(1.96,∞)に入る場合には,「タミフルと異常行動の間に因果関係がない」という仮説は棄却される,つまり微妙な言い方ですが「因果関係がないとは言えない」ということになります。

一方,そうでないならば仮説は採択される,つまり,「タミフルと異常行動の間に因果関係はない」ということになります。

もっとも,平均値ｐ₀としては日本人全体の自殺者数だけではなく,自殺失敗者数も含める必要があるとも考えられ,そうするとｐ₀は倍以上になると予想されます。

また,タミフルを使用するのは,インフルエンザにかかった人だけですから,日本人全体を対象とするのでなく,インフルエンザの罹患者のみを対象とした自殺的異常行動者の比率と,タミフル関係の異常行動者の比率との差異を問題にすべきではないか？とも考えられます。

実際,インフルエンザ脳症などにより,薬の副作用ではなくインフルエンザ自体が原因で精神に異常をきたす例もあるらしいです。

明日,心筋梗塞(心不全)で板橋区加賀の帝京大学病院に入院なので,もしかしたらこれが最後の記事になるかもしれません。キーボードを叩くという作業も心臓(ハート)がおかしいと結構苦しいものですね。

参考文献；藤沢武久 著「確率と統計」(日本理工出版会)

明日朝,緊急入院します。

　どうも前の日曜日から心臓の辺りがキリキリと痛み,ベッドから起きて体を動かすだけでも呼吸が苦しくなるような状態で,まともなブログを書く気力も起きない状況でしたが,なんとかだましだましで夜勤の軽作業の労働をしていました。

　疲れだろうと思って休めば直るだろうと素人判断をしていたのですが,悪くなる一方でそもそも眠ることができないし,食欲も減退して,とうとうほとんど動けなくなり,やむなく今日午後仕事を休むという連絡をした後に帝京大病院内科で診察を受けました。

　結果がなかなか出ないということで,午後２時に行って狭心症だろうということで,いろいろと検査を受けた後,午後５時半まで待たされましたが,心筋梗塞を起こしかけているということでした。

　これから帰宅している最中にも心室細動が起きて倒れて終わりになるかも知れない　状況らしいので,当直の医師に入院するよう言われましたが,

　私は独り身で,給料が出たばかりで家賃も払ってないし,パジャマ,スリッパなど入院の準備をしてくれる人もいないので,その準備をして明日一番で入院します。

　と答えたら,心筋梗塞を起こしていると聞いて即入院せずに帰るという人は非常に珍しいと言われましたが,私は初志を貫いて明朝再び入院手続きをすることになりました。

　プライオリティからすると,命が一番なのかもしれませんが,自分の美学に反するような状況を放置して逝くのは私には我慢できません。

　というわけで,今回はブログの休止が長くなりそうです。

　永久になくなるかもね。。。

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ブログ１周年記念日

　今日は私のブログ「TOSHIの宇宙」の１周年記念の誕生日です。

　結局,今日で366日になりますが,その間にこれも含めて277個の記事を書いたことになり,自分でもよくやったなあと感慨があります。

　過去ログの８割か９割が科学ネタですが,その部分のテーマは私独自の視点からat  randomに取り上げ,,専門的な文章が多いのですが,見る人が見れば,

　この過去ログの科学記事だけでも宝の山である,と自負しております。

　１周年の記念に2006年３月20日のブログ最初の記事である「自己紹介」を再掲しておきます。

　年齢は当時56歳ですが.今は57歳になりましたね。

　とりあえず,１年は続きました。以下,2006年３/20の記事「自己紹介」です。

　(※再掲開始)

　はじめまして。。。TOSHIと申します。

　現在56歳,物理学(特に素粒子論）と将棋が趣味で独身の変な（変態？）オジサンです。

　ニフティ,物理フォーラムのサブマネージャーをしていますが,インテリと思われたり言われたりするのは大嫌いです。

　ニフティには前身のパソコン通信（ＴＴＹ）時代に1991年から将棋,サイエンス、後の物理フォーラムetc.に参加していました.。ホームページ時代となり,あまり活動はしていませんでしたが思うところあって,ブログでも書こうと思い,ココログに到着しました。

　URLのマルドロール－デュカスは大好きなロートレアモン（イジドール・デュカス）からとりました。

　とりあえず,簡単に自己紹介まで。。。。(

(再掲終了※)

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虚数(複素数)の起源

　虚数(imaginary),あるいは複素数(complex),

　すなわちａ,ｂを実数(real)としてａ＋ｂ√－1と表わされる

想像上の数が,数学の世界に導入されるようになったきっかけは,

　別に,全ての２次方程式が必ず根を持つようにするため,という

ような理由からではありません。

　例えば,方程式：ｘ²＋１＝0 がｘ＝±√－1という根を持つ

としなければ,この方程式は解を持たない,などという理論的な

不都合と感じられるもの,

　これを無くそうという理由からであった。などと思われがちですが,

実際の歴史的経緯は違います。

実は,16世紀にイタリアで発見された３次方程式の根の公式である

「カルダノ(Gerolamo Cardano)の公式」が,

当時においては,唯一認められていた実数解を実際に表現する

ためには,途中経過として虚数を経由しなければ不可能な

ケースがあったためです。

すなわち,一般の３次方程式はｘ³の係数が１のモニック(monic)

として,ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝0 で与えられます。

これは,ｙ＝ｘ＋ａ/3とおいてｘ＝ｙ－ａ/3を元の方程式に代入して

ｙの方程式にすれば,必ずｙ²の係数がゼロの３次方程式：

ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0

(ｐ≡－ａ²/3＋ｂ,ｑ≡2ａ³/27－ａｂ/3＋ｃ)

に変換されます。

そして,この３次方程式を満たすｙの根を求めるには,これに

ｙ＝ｕ＋ｖを代入します。

(ｕ＋ｖ)³＋ｐ(ｕ＋ｖ)＋ｑ＝0 ,

すなわち,ｕ³＋ｖ³＋(ｕ＋ｖ)(3ｕｖ＋ｐ)＋ｑ＝0

が得られます。

これから,解ｙを求めることは,ｕ³＋ｖ³＝－ｑ,ｕｖ＝－ｐ/3,

を満たすｕ,ｖの組,またはｕ³＋ｖ³＝－ｑ,ｕ³ｖ³＝－ｐ³/27

を満足するｕ³とｖ³の組を求めることに帰着します。

明らかに,このｕ³とｖ³の組を求めるには,

２次方程式ｔ²＋ｑｔ－ｐ³/27＝0 を解けばいいので,

結局３次方程式の根を求めることが,２次方程式の根

を求めることに帰着します。

２次方程式の根の公式によれば,

ｕ³,ｖ³＝－ｑ/2±(ｑ²/4＋ｐ³/27)^1/2です。

したがって,ｕ,ｖ＝[－ｑ/2±(ｑ²/4＋ｐ³/27)^1/2]^1/3が得られますから,

これらをｙ＝ｕ＋ｖに戻せば,これが３次方程式ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0

の１つの根になります。

上に得られた３次方程式の根の公式を「Cardanoの公式」

と呼びます。

現在のわれわれの立場で考えると,ｕ,ｖが１組でも求まれば,

ωを１とは異なる１の立方根：ω²＋ω＋1＝0 の根の１つとすれば,

ｙ＝ｕ＋ｖ,ｕω＋ｖω²,ｕω²＋ｖωが,

３次方程式：ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0 の３つの根の全てを表現する

ものである,

とすぐに理解できます。

しかし,当時は複素数は存在しないという時代であったので,

３次方程式の根であると認められるのは実数解だけでした。

ところが,例えばｙ³－15ｙ－4＝0 という具体的な方程式を

考えると,これは代入すれば明らかなようにｙ＝4 という

実数根を持ちます。

しかし,「Cardanoの根の公式」によれば,これの根は

ｙ＝(2＋√-121)^1/3＋(2－√-121)^1/3と表現されますから,

これの右辺の１つが４に等しい,

つまり,ある３乗根を取れば,

(2＋√-121)^1/3＋(2－√-121)^1/3＝4 である

とせざるを得ません。

現在のわれわれの感覚であれば,ｉを虚数√－1とすれば

√-121＝11iであり,例えば(2±ｉ)³＝2±11i＝2±√-121

ですからｕ,ｖ＝2±ｉ＝ 2±√－1とすれば,ｙ＝ｕ＋ｖ＝4

となって何ら矛盾を感じるようなことはありません。

ところが,当時は想像上の数である虚数√-121＝11ｉの存在を認める

ということは,たとえ計算の途中でも有り得ない。という雰囲気で

あったので,大いに困惑しただろうと想像されます。

結局,３次方程式の根を計算する途中に限って,特別に虚数,

あるいは複素数の存在を認めるということになったのが,

虚数.あるいは複素数を導入するきっかけになったと

考えられます。

ですから,２次方程式が必ず根を持つためとかいう理論的な

経緯から,これ(虚数)が導入されたわけではありません。

参考文献：原田耕一郎 著「群の発見」(岩波書店)

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クレローの微分方程式２(常微分方程式の解の存在定理の応用)

　前回に続き,クレロー(A.C.Clairaut)の微分方程式:

ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の解法です。

　今日は解法２です。

　※(解法２)：

　ｙ'＝ｐとオけば方程式ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')は,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)と書けます。

　一般に１階常微分方程式がｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')なる形で与えられて

いるとき,ｙ'＝ｐと置けば,これはｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)と書けます。

　そこで,もしも方程式系：ｙ'＝ｐ,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)を満足する

ようなｘの関数ｐ＝ｐ(ｘ)が存在するなら,

　ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))の両辺は,もちろんｘで微分可能なので,

ｄｙ＝ｐｄｘ,かつ,ｄｙ＝ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｐ)ｄｐ

が成立します。

(ここで,ｆ(ｘ,ｐ)はその定義域で連続な偏導関数∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｐ

を持つと仮定しています。)

それ故,ｐｄｘ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｐ)ｄｐ

⇔ ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

が得られます。

∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｐはｘとｐのみの関数ですから,

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)は,

ｘの関数ｐに対する微分方程式になっています。

特に,∂ｆ/∂ｐ≠0 の場合は,容易に正規形；

ｄｐ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｐ)なる形式に変形できます。

逆に,ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)を

満足するｘの関数ｐ＝ｐ(ｘ)が存在するなら,

そのようなｐ(ｘ)を代入して得られる関数：

ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))は,確かにｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')

の解です。

何故なら,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)に対しては,

ｙ'＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ),かつ

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)より,

ｙ'＝ｐが成立するので,明らかにｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)＝ｆ(ｘ,ｙ')

となるからです。

(解法１)と同様な考察から,ｆ(ｘ,ｐ)が連続で,∂ｆ/∂ｐ

もまた連続かつゼロでないような点(ｘ,ｐ)の十分近傍の

領域では,Φ(ｘ,ｙ,ｐ)≡ｙ－ｆ(ｘ,ｐ)＝0 は連続な

陰関数ｐ＝ｐ(ｘ,ｙ)を持ちます。

このとき,∂Φ(ｘ,ｙ,ｐ(ｘ,ｙ))/∂ｙ＝1－(∂ｆ/∂ｐ)(∂ｐ/∂ｙ)

＝0 により,∂ｐ/∂ｙ＝1/(∂ｆ/∂ｐ)です。

そして今の場合,∂ｆ/∂ｐは∂ｆ/∂ｐ≠0 を満たし,かつ連続

と仮定しているので,∂ｐ/∂ｙは点(ｘ,ｐ)の十分近傍の閉領域

で有界となり,ｙ'＝ｐ(ｘ,ｙ)は存在と一意性に保証された

一般解のみを与えます。

すなわち,∂ｆ/∂ｐが連続,かつゼロでないような場合のｐに

対してはｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))は一般解です。

このとき,ｐ(ｘ)＝ψ(ｘ,Ｃ)なる形でｐに対する解も得られます。

一方,∂Φ/∂ｐ＝－∂ｆ/∂ｐ＝0,∂Φ²/∂ｐ²＝－∂ｆ²/∂ｐ²≠0

でΦ(ｘ,ｙ,ｐ)＝ｙ－ｆ(ｘ,ｐ)＝0 なる点(ｘ₀,ｙ₀,ｐ₀)が存在

すれば,∂Φ/∂ｙ＝1≠0 が常に成立することから,

ｘ₀ に十分近いｘに対して,連続で１階導関数を持ち,

∂ｆ/∂ｐ＝0 かつｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)を満足する関数：

ｙ＝ψ(ｘ),ｐ＝ω(ｘ)が存在して,ｙ₀＝ψ(ｘ₀),

ｐ₀＝ω(ｘ₀)を満たします。

そこで,もしψ'(ｘ)＝ω(ｘ)が成立するなら,ｙ＝ψ(ｘ)は

ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の特異解となります。

それ故,∂²ｆ/∂ｐ²≠0 と仮定すれば,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),

かつｙ'＝ｐなる式からｐを消去して,ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')

の特異解を求めることができます。

ところが,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),かつｙ'＝ｐは,

ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),かつｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

と同値です。

すなわち,ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の解の全ては,ｐに対する微分方程式：

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)から得られる

解ｐ(ｘ)をｆ(ｘ,ｐ)に代入して得られます。

"∂ｆ/∂ｐ＝0,かつｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

⇔ ∂ｆ/∂ｐ＝0 ,かつｐ＝∂ｆ/∂ｘ"ですから,

もしこれらを同時に満足するｐ＝ω(ｘ)が存在すれば,

ｙ＝ｆ(ｘ,ω(ｘ))は確かにｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の特異解

となります。

以上の考察から,Clairautの微分方程式については,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,ｐ＝ｐ＋[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ',

すなわち[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ'＝0 の解ｐ＝ω(ｘ)を代入した

関数ｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))が解となることがわかります。

(1)Clairautの微分方程式では,ｆ(ｘ,ｐ)＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,

∂ｆ/∂ｐ＝ｘ＋φ'(ｐ)ですからｘ＋φ'(ｐ)≠0 に対しては,

[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ'＝0 はｐ'＝0 を意味し,このとき,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)は一般解です。

ｐ'＝0 よりｐ＝Ｃ(Ｃは任意定数)が得られることから,

結局ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が一般解として得られます。

(2)ｆ(ｘ,ｐ)＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,∂ｆ/∂ｘ＝ｐですから,

ｐ＝∂ｆ/∂ｘは如何なる関数ｐ(ｘ)に対しても成立するので,

∂ｆ/∂ｐ＝ｘ＋φ'(ｐ)＝0 ,かつｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)から

ｐを消去すれば,ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の特異解が得られます。

あるいは実際に計算してｘ＋φ'(ｐ)＝0 なるｐ＝ω(ｘ)を代入して

ｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))を作ると,

ｙ'＝ω(ｘ)＋[ｘ＋φ'(ω(ｘ))]ω'(ｘ)＝ω(ｘ)より,

確かにｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))がｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の解

であることがわかります。

(ただ特異解であるかどうかを厳密に判定するには,

やはり∂ｆ/∂ｙ'＝∂ｆ/∂ｐ＝0 となることを確

かめる必要があります。)

Clairautの微分方程式は

"接線が接線自身にのみ関係して接点には関係しないような

与えられた性質を持つ曲線を決定する。"

という幾何学的問題から導かれます。

すなわち,接線の方程式は,その流通座標を(Ｘ,Ｙ)とするとき,

曲線上の任意の点(ｘ,ｙ)において,Ｙ－ｙ＝ｙ'(Ｘ－ｘ)

⇔Ｙ＝ｙ'Ｘ＋(ｙ－ｘｙ')　と表わされます。

直線というのは,一般にその"勾配＝傾き"とｙ切片を与えること

によって完全に決まりますから,接線の性質は全て(ｙ－ｘｙ')

とｙ'の関係として,Φ(ｙ－ｘｙ',ｙ')＝0 と表わされます。

これを(ｙ－ｘｙ')について解けば,ｙ－ｘｙ'＝φ(ｙ'),つまり,

Clairautの微分方程式：ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')が得られるわけです。

(以上,この項終わり)

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クレローの微分方程式１(解の存在定理の応用)

　ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の形の微分方程式をクレロー(Clairaut)の微分方程式(Alexis Claude Clairaut's equation)といいます。

　今日は,これの解法を与えてみます。

　ただし,もちろん,ｙ'はｄｙ/ｄｘを意味します。

　この方程式には代表的な２つの解法が知られていますが,これらを解法１,解法２と呼び,今日は解法1を紹介します。

※(解法１)：

　方程式:ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')にｙ'の代わりに,任意定数Ｃを

代入すると,"方程式の等傾曲線族,つまり傾きがすべて定数Ｃである

曲線族"として直線族：ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が得られます。

　この等傾曲線族は,その傾き:ｙ'＝ｄｙ/ｄｘが各点で.

この"曲線族＝直線"の傾きと一致するので,任意のＣに対して

確かに元の微分方程式の解になっています。

　今,φ(ｙ')がｙ'に関して微分可能であると仮定し,

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙとおけば,

　∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'≠0 ,

かつ,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0 を満足するような

点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')が存在するとき,

　ｙ'は(ｘ₀,ｙ₀)に十分近い全ての点(ｘ,ｙ)に対して,

ｙ'＝ｆ(ｘ,ｙ)なる陰関数という形で得られます。

　ここで,ｆ(ｘ,ｙ)は,もちろんｙ₀'＝ｆ(ｘ₀,ｙ₀)を満足し,

(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で連続です。

　偏導関数;∂ｆ/∂ｙ＝－(∂Φ/∂ｙ)/(∂Φ/∂ｙ')は∂Φ/∂ｙ'≠0

である限り,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で存在します。

　もちろん,∂Φ/∂ｙ,∂Φ/∂ｙ'は,点(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))に

対するものです。

　ここで,∂Φ/∂ｙ,∂Φ/∂ｙ'もΦ(ｘ,ｙ,ｙ')と同様,

それらの点で連続と仮定すると,∂ｆ/∂ｙもまた,

それらの点で連続となります。

　したがって,∂Φ/∂ｙ'≠0 であるような点(ｘ₀,ｙ₀)の近傍の

任意の閉領域では,|∂ｆ/∂ｙ|＜ｋなるｋ＞0 が存在し,

　その領域では「解の存在と一意性の定理」により,領域内の

任意の点を通る解の全てが一意的に存在して唯一の任意定数を

持つ一般解が得られることがわかります。

　Clairautの微分方程式:Φ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0

の場合には,∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ',∂Φ/∂ｙ＝－1

です。

　そこで,ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0 を満足しｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'≠0

であるような点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')が存在するとき,点(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で,

一般解ｙ＝ψ(ｘ,Ｃ)が存在して,しかも一意的であることがわか

ります。

一方,Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝ｘＣ＋φ(Ｃ)－ｙ＝0 ,　

つまり,ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)を考えると,

これが全てのＣに対してΦ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0

の解となることは既に述べましたが,

これが一般解であるかどうかは示していません。

しかし,ある(ｘ₀,ｙ₀)が存在して,

Φ(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)＝ｘ₀Ｃ₀＋φ(Ｃ₀)－ｙ₀＝0 が成立するような

Ｃ₀が存在し∂Φ/∂ｙ'＝∂Φ/∂Ｃ₀＝ｘ₀＋ｄφ(Ｃ₀)/ｄＣ₀≠0

が成立する限り,

前と同様,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍の全ての点で

Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝ｘＣ＋φ(Ｃ)－ｙ＝0 となるようなＣ

が存在することがわかります。

ただし,もちろん∂Φ/∂Ｃは(ｘ,ｙ,Ｃ)に対する

(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)の近傍で連続なので,

∂ｆ/∂ｙ＝1/(∂Φ/∂ｙ')も連続であり,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍での

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の一般解の存在領域と,

Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0 なるＣの存在領域は

全く一致します。

しかも解は１つの点(ｘ,ｙ)に対しては１価ですから,

結局Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0,またはｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が,

その存在領域に対応する一般解であることがわか

ります。

そして,実際にΦ(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)＝ｘ₀Ｃ₀＋φ(Ｃ₀)－ｙ₀＝0

を満足する点(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)は必ず存在します。

何故なら,φ(Ｃ)の定義域の任意の値Ｃ＝ｂを取れば点

(1,ｂ＋φ(ｂ),ｂ)は確かにΦ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0 上の点で

あるからです。

したがって,[ｘ＋ｄφ(Ｃ)/ｄＣ]_{ｘ＝1,Ｃ＝ｂ}

＝1＋[ｄφ(Ｃ)/ｄＣ]_Ｃ＝ｂ≠0 である限り,(1,ｂ＋φ(ｂ))

の近傍で,ｙ＝Ｃ＋φ(Ｃ)は一般解となります。

(Ｃはｂに十分近い値でｄφ/ｄＣはＣ＝ｂで連続であるとします。)

一般には,∂Φ/∂ｙ'＝0,かつΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の近傍でも

ｙ'＝ｆ(ｘ,ｙ),Φ(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))＝0 ,|∂ｆ/∂ｙ|＜ｋなる,

その点を通る関数ｆ(ｘ,ｙ)が存在する場合も多々あります。

しかし,この場合は∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ/ｄｙ'＝0 なので,

Φ(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))＝0 なる,その点を通るｆ(ｘ,ｙ)が存在しても,

両辺をｙで偏微分したとき,

恒等的に∂Φ/∂ｙ＋(∂Φ/∂ｙ')(∂ｆ/∂ｙ)＝0 です。

これから,－1＋0・(∂ｆ/∂ｙ)＝0 となり,これを満たす

有界な(∂ｆ/∂ｙ)は存在しません。

よって,∂Φ/∂ｙ≠0 .かつ∂Φ/∂ｙ'＝0 なる点を初期値とする

ようなΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の解は存在と一意性の定理の仮定によって

保証された解ではない,と考えてよいでしょう。

しかし,もしそのような∂Φ/∂ｙ'＝0,∂Φ/∂ｙ≠ 0 なる点

を通る解上のその近傍の点に対して∂Φ/∂ｙ'≠0 で,

しかも∂Φ/∂ｙ',∂Φ/∂ｙが連続であれば,

その解はやはりΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の一般解であって

∂Φ/∂ｙ'＝0 なる点を通るものであると考えられます。

そこで,∂Φ/∂ｙ'＝0 が常に満足され,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0

も満足されるような解(ただし少なくとも,その上の１点では

∂Φ/∂ｙ'≠0)を特異解として取るべきであると考えられます。

∂Φ/∂ｙ'＝0,∂Φ/∂ｙ≠0,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 なる

１点を(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')とすると,∂²Φ/∂ｙ'²≠0 であり

さえすれば,

(∂Φ/∂ｙ)(∂²Φ/∂ｙ'²)－(∂Φ/∂ｙ')[∂²Φ/(∂ｙ'∂ｙ)]

＝(∂Φ/∂ｙ)(∂²Φ/∂ｙ'²)≠0 です。

そこで,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')と∂Φ/∂ｙ',および,それらの全ての

偏導関数が点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')とその近傍で連続である限り,

ｘ₀に十分近いｘに対してΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0,∂Φ/∂ｙ'＝0

を満足し,連続で１階導関数を持ち(ｘ₀,ｙ₀),および(ｘ₀,ｙ₀')

を通る関数ｙ＝ψ(ｘ),およびｙ'＝ω(ｘ)が存在することが

わかります。

このとき,ｘ＝ｘ₀とその近傍でψ'(ｘ)＝ω(ｘ)が恒等的に

成立すれば,確かにｙ＝ψ(ｘ)はΦ(ｘ,ψ(ｘ),ψ'(ｘ))＝0,

かつ [∂Φ(ｘ,ｙ,ｙ')/∂ｙ']_{y=ψ(x),y'=ψ'(x)}＝0 を満足する

ので特異解となります。

今のClaieautの微分方程式の場合は,

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ,

∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'なので,

全ての点で∂Φ/∂ｙ＝－1≠0 です。

したがって,∂²Φ/∂ｙ'²＝∂²φ/∂ｙ'²が存在して,

しかもゼロではないような点の近傍で,それが連続なら

ｙ＝ψ(ｘ),ｙ'＝ω(ｘ)なるΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ 0,∂Φ/∂ｙ'＝0

を同時に満たす陰関数が必ず存在します。

次に,このｙ＝ψ(ｘ)が確かに微分方程式Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0

の解となることを示しましょう。

ｙ,ｙ'をｘの連続な関数と考えると, 0＝ｄΦ/ｄｘ

＝∂Φ/∂ｘ＋(∂Φ/∂ｙ)(ｄｙ/ｄｘ)＋(∂Φ/∂ｙ')(ｄｙ'/ｄｘ)

です。

ここでｙ'＝ω(ｘ)は∂Φ/∂ｙ'＝0 を満足し,ｙ＝ψ(ｘ),

ｙ'＝ω(ｘ)は確かに有界な導関数を持ちますから,

これらと∂Φ/∂ｘ＝ｙ'＝ω(ｘ),∂Φ/∂ｙ＝－1を代入すると,

0＝ω(ｘ)－ｄψ(ｘ)/ｄｘとなります。

結局,ｄψ(ｘ)/ｄｘ＝ω(ｘ)ですから,

ｙ＝ψ(ｘ)は確かに微分方程式Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の解です。

以上から,ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ'),ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'＝0 から

ｙ'を消去して得られる解ｙ＝ψ(ｘ)が存在すれば,

それはClauraurの微分方程式:ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の特異解

であることが示されました。

今日はここまでとし,解法２については次回に書きます。

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    物理学

TV朝日「オーラの泉」の流す害毒

　TV朝日で"江原啓之"なる得体の知れない人物と"美輪明宏"らの司会により,芸能人をゲストに呼んで人生相談的なトークを展開する「オーラの泉」という番組が今評判で,今度の番組改変でゴールデンタイムに進出するそうです。

　深夜は何とはなくTVをつけっぱなしなので,こうした番組もつい見てしまうのですが,この種のオカルト番組がゴールデンタイムでお茶の間に垂れ流しになることは,いかがなものか？と思います。

　まあ,私には関係ないことなのですが,青少年に対する影響などを考えてみると,少し危険かな。。と思いますね。

　かつて,オカルトとしてユリ・ゲラーなどのブームがありました。

　そして,その延長としてカルト宗教が流行り,洗脳,催眠などを含む社会的に危険なカルトである"麻原＝松本"らのオーム真理教などの出現を見たという経緯があります。

　こうしたことから考えてみても,私は非社会的な人間なので一般社会の人々にとっては大きなお世話かもしれませんが,何か危険な兆候を感じ,この番組を批判したいなという心境になりました。

　"スピリチュアル(スピリチァル)なもの＝精神世界",あるいは超能力,心霊現象など超自然現象の存在については,私は少しでも科学を齧ったことがある人間の端くれとして,実験することもなしに頭から否定するという態度をとるような無粋な人間ではありません。

　むしろ,人間という限りある命しかない実体が宗教のような精神的支柱にすがりたい気持ちになるのは自然なことだと思います。

　私自身もこの歳になって,そろそろ何らかの宗教にすがりたいという気持ちになってきています。

　超能力,心霊現象なども旧ソ連,東欧のように科学として研究対象とする方が科学的態度としてはまともであり,人間の体から"赤外線を含む電磁波＝オーラ？"が発せられているとか,現ロシアにいるとされる超能力少女の存在とか中国の気功とか,現実に有りそうだと信じるに足りるものはたくさんあります。

　UFOにしてもそれが"エイリアン・クラフト"であるというのは,ちょっと信じられないとしても,未確認飛行物体そのものの存在については否定できないのじゃないかと思っています。

　しかし,たかがスピリチュアルなものについて一連の勉強をしてきた一介の人物が"オーラ"という現象などにかこつけて,出演の芸能人が中世などにおける有名,無名の人物と重なるといったような,その人の前世が見える,などという神にも似たカリスマ的発言を行なうこと。。。

　これに対して一部の芸能人を中心にこの"江原啓之"氏の言動を有りがたく受け取って,いたづらにに無自覚に信奉しているという模様をTVで垂れ流しているTV朝日のスタッフに対しては,

　フジTVで問題になった「あるある大事典」という番組の例と同じく,視聴率を稼ぐことのみに奔走して,彼のカルト的な言動が大勢の視聴者を洗脳するのではないか？,という危険な趣きを持つことを顧みることをしていない,

　と感じるのは,私だけでしょうか？

　これは多くの電気メーカーが"マイナスイオン"とかいういかがわしい"謳い文句＝キャッチフレーズ"を出して,明らかに売らんかな。。の思いのみで消費者を惑わす行動と同様,商業的利益に結びつく視聴率の上昇のみに主眼をおいたTV業界の思惑がからんでいるのでは？と思います。

　(2006年４/19の記事「マイナスイオン」,2006年８/26の記事「ホワイトノイズ,1/ｆ ゆらぎ」参照)

　"江原啓之"氏は占い師の"細木数子"氏と同じく,カウンセラーとしての資質に限って見てると,非常に優れた人物である。。と感じています。

　したがって,それだけに専念しているのであれば,私のような部外者が何らクレームをつける筋合いはなく,特に彼に対してのみ個人攻撃を加えるのも潔しとはしません。

　しかし,ゴールデンタイムに公共に電波で流されることの影響に鑑み,スピリチュアル流行の典型例として槍玉に挙げたまです。

　要するに,前世云々という飛躍的な言動については,私はこれはちょっと行き過ぎではないか？と思い,TVでの垂れ流しについて.柄にも無く世間に警鐘を鳴らす必要があるのではないか。。と思ったわけです。

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    物理学

ベクトルと同値類

　今から40年くらい前になりますが,高校の数学や物理で初めてベクトル

というものを習った際,,

,「２つのベクトルが等しい,というのは,その大きさ(長さ)と向きが等しい(平行である)ということと同じである。」,

　と教えられ,空間的には離れている２つのものが等しいという概念に違和

感をおぼえたものでした。

　しかし,大学の初年級の専門数学での集合論で同値関係,同値類

という概念を学んだとき,"これだ!!"という風に

ビビッと来ました。

　すなわち,「大きさと向きが等しいという関係」を同値関係として,その１つ１つの同値類をベクトルと呼べばよいのである,

と考えたのです。

(もちろん,私の発想がオリジナルだなどと主張するものではなく,誰か他人の示唆によるものだったかも知れないし,今となっては記憶も定かではありません。

※：実際オリジナルどころか,誰でも知っている常識でした。※)

　そして通常,明示される有向線分という形の表式の個々のベクトルは,

その同値類の代表元の１つを示しているに過ぎないということです。

　では同値関係,同値類とはどういうものでしょうか？

まず,集合Ａがあって,その任意の２つの元ａ,ｂ∈Ａの間にある関係:

～があるとき,ａ～ｂと書くことにします。

このとき関係:～が次の３つの基準を満たすとき,この関係を同値関係

と呼び,ａ～ｂならａとｂは同値であるといいます。

３つの基準は,

　ａ,ｂ,ｃ∈Ａのとき,

１.ａ～ａ (反射律),

２.ａ～ｂならｂ～ａ (対称律),

３.ａ～ｂ,かつｂ～ｃならａ～ｃ (推移律)

です。

そして,集合：Ｃ(ａ)を,

Ｃ(ａ)≡{ｘ∈Ａ|ｘ～ａ}と定義して,

これをａを代表元とする同値類と呼びます。

そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)であるということ

は,全く同一の意味になります。

同じことですが,ａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)

(つまりＣ(ａ)とＣ(ｂ)は互いに素)となります。

もちろん,Ａ＝∪_a∈ＡＣ(ａ)ですから,ＡはＡ＝Σ_a∈ＡＣ(ａ)と

Ｃ(ａ)の直和で書けることになります。

このようにＡをＣ(ａ)の和に分解することを同値類別と呼びます。

こうした定義等については今は参考書探すのが面倒なので記憶に

頼って書いているのですが,何分40年近くも昔に習ったことであり,

さすがに記憶が曖昧なので誤認識があるやもしれませんが。。。。

そして物理や数学で普通に学ぶ空間のベクトルについて大きさと向き

が等しいという関係:～は明らかに同値関係です。

それ故,"２つのベクトルが等しい"というのは,実は同値類という

集合として等しいという意味に解釈できる,ということで,

私は昔,すっきりとした感覚を持ったことを最近,あるきっかけ

で思い出しました。

実は量子論でも状態ベクトルというのは係数やその位相が違うものも

同じ状態ベクトルであるとみなすという意味で,ある代表元を持った

射線(ray)と呼ばれる同値類であることがわかっています。

ベクトル演算の線形性,重ね合わせの原理など,すなわち,ベクトルは線形空間の元であるとか,線形写像による種々の変換性を持つとかいう代数的性格を無視して,

ベクトルが等しいという概念だけに着目すれば,自然に同値類,

同値関係という感覚に到達するはずです。

当時は,それから,物理学,特に力学の幾何学化,

すなわち,幾何学の１つとしての定式化を目指し,まずは運動学から着手して１つの空間の位置とベクトルの１対１対応：ユークリッド空間の座標

と位置ベクトルの対応から始めたものでした。

ところが,いつのまにやら興味は数学的定式化からより物理的なもの

へと移行してゆき,結局は中途挫折してしまいました。

アーノルド(V.I.Arnold)著の「古典力学の数学的方法」(岩波書店)とか,

数学の１分野である"力学系"の存在を知ること等により,当時の記憶が

よみがえったのは,それからずっと後のことです。

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    物理学

頭の体操(円周率：大学入試問題)

　昨日,勤務に向かう電車の中で,ある予備校の宣伝広告の中に

東京大学理科－前期入試問題として解答抜きで数学の入試問題

が１問出題してありました。

　この問題は以前もどこかで見たおぼえがあり気分転換＝頭の体操,

としてほどよいので解いてみました。

　問題は「円周率は3.05より大きいことを証明せよ。」

という簡単なものです。

　そもそも円周率とは,素朴に円周の長さをその円の直径

で割ったものです。

まあ,すぐに思いつくことではありますが,円に内接する正ｎ角形

の周は円周よりも常に短いので,

(2π)＞(内接する正ｎ角形の周)÷(半径),

という不等式が成立します。

ｎ＝ 6,つまり正六角形なら,右辺は丁度 6 なのでπ＞3

が得られます。

そこでｎ＝ 8,つまり正八角形なら π＞3.05 が得られる

ことが予想されます。

実際にそうであることを証明しましょう。

三角形における余弦定理というのは確か,私が習ったのは中学３年

のときだったと記憶していますが,

それは⊿ＡＢＣの辺の長さａ,ｂ,ｃと内角Ａ,Ｂ,Ｃの間に,

ａ²＝ｂ²＋ｃ²－2ｂｃcosＡ etc.の関係式が成立する

という定理です。

　

　これを用いるなら,(半径ｒの円に内接する正ｎ角形の周の長さ)

＝ｎｒ[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2＝2ｎｒsin(π/ｎ)となります。

まあ、最後の形式などは別に余弦定理に頼らずとも得られるもの

ではありますが。。。。

よってπ＞(ｎ/2)[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2ですが,

ｎ＝ 8を代入すると π＞4(2―√2)^1/2が得られます。

(※下図は,円に内接する正八角形です。α＝2π/8＝π/4(45度)です。)

よって,4(2―√2)^1/2≧3.05を示せばいいわけです。

そこで16(2―√2)－3.05²を計算しましょう。

16(2―√2)－3.05²＝32－9.3025－16√2=22.6975－16√2です。

22.69²＝(23－0.31)²＝529－14.26＋0.31² ＞ 514 ＞ 512＝(16√2)²ですから,π²＞16(2―√2)＞3.05²

したがって,π＞3.05 が証明されました。

ちょっと手抜きをしてしまいましたが,まあ息抜きですね。

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 物理学

       

カルツァ・クラインの５次元統一場理論(3)

　さて,前回は５次元時空の線素ｄσ²が電磁場Ａ_μと重力場

　ｇ_μνによって,ｄσ²＝ｄｓ²＋(ｄｘ⁴＋αＡ_μｄｘ^μ)²

　と書けるらしい,というところまで論じました。

　ただし,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νは４次元時空の線素です。

　そこで,この線素に基づく測地線(geodesic)の方程式；

　質点の運動方程式が現実の物理的軌道を示すものであるか

　どうか？を検証してみます。

　そのため,ｄσ²≡Ｋ²ｄτ²によって５次元の固有時τを導入し,

　一般相対性理論をまねて,作用積分：

 I≡∫ｄσ

 ＝∫|γ_ij{ｘ(τ)}(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|^1/2ｄτ

　を与えます。

　さらに,Hamiltonの変分原理を適用すると,測地線の方程式：

　(ｄ/ｄτ)(ｄｘⁱ/ｄτ)²＋⁵Γⁱ_mn(ｄｘ^m/ｄτ)(ｄｘⁿ/ｄτ)＝0

　が得られます。

　これは通常の４次元の一般相対性理論の運動学と同じです。

　　ただし,変分に際して,

　|γ_ij(ｘ)(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|＝定数≡Ｋ²という,

　τの定義が保持されるとしています。

　この測地線の方程式に前回最後に計算した接続係数⁵Γⁱ_mnの

　表現を代入して書き換えると５次元の測地線の物理的意味が

　明らかになる,と予想されますが,

　これはかなり面倒なので,作用積分そのものにおいて,

　先に第４成分を分離しておき.変分原理を適用してみます。

　すなわち,作用積分を,

　I≡∫ｄσ

　＝∫|ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＋{(ｄｘ⁴/ｄτ)

　＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}²|^1/2ｄτと書き,

　ｘ⁴ やｘ^μ の変分に対して,Ｉの変分がゼロとなる条件を

　求めます。

　この変分原理を解く微分方程式は,

　もちろん,Euler-Lagrange方程式で与えられます。

　ｘ⁴ の変分に対する方程式は,

 |γ_ij(ｘ)(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|＝定数≡Ｋ²

　を用いて,{(ｄｘ⁴/ｄτ)＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}/Ｋ＝定数

 で与えられます。

　　この右辺の定数をβ/Ｋ,つまり,

　{(ｄｘ⁴/ｄτ)＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}＝βと置けば,

　Ｋ²＝|ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＋β²|

　となります。

　,

　そこでτを一般相対論における固有時と一致させるために,

　ｃ²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－β²±Ｋ²と置きます。

　右辺の正負の符号のいずれを採用するかは後で決めます。

　一方,ｘ^μ の変分に対するEuler-Lagrange方程式は,

　このβを用いて,

　ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

　＝αβｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)という形で得られます。

　ここで,質点の質量ｍと電荷ｅを用いてαβ＝ｅ/ｍと取れば

　求めるスタイルの通常の"重力場を受けながら電磁場の内部

　を運動する荷電粒子の運動方程式"である,ところの

　ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

　＝(ｅ/ｍ)ｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)　が導かれます。

　なお,ｃ²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－β²±Ｋ²

　という要請が,これと矛盾しないことは明らかです。

　また,ξⁱ≡δⁱ₄を用いれば,

　β＝γ₄₄(ｄｘ⁴/ｄτ)＋γ_4μ(ｄｘ^μ/ｄτ)

　＝ξⁱγ_ij(ｄｘ^j/ｄτ)　と書けます。

　そこで,この理論では荷電粒子の速度ベクトル(ｄｘⁱ/ｄτ)

　の大きさは,軌道に沿って一定値Ｋを取り,その方向はｘ⁴ 軸

　に対して常に一定の角度を保っているという描像になって

　います。

　次に場の従う方程式を求めます。

　そのためには,５次元空間の曲率テンソル：

　⁵Ｒⁱ_jmn≡∂_m⁵Γⁱ_nj－∂_n⁵Γⁱ_mj＋⁵Γⁱ_mk⁵Γ^k_nj⁵－Γⁱ_nk⁵Γ^k_mj,

　および,⁵Ｒ_mn＝⁵Ｒ_nm≡⁵Ｒⁱ_mni,⁵Ｒ≡γ^{mn 5}Ｒ_mn

　を,４次元空間の曲率テンソルやｆ_μνを用いて表わす

　ことが必要となります。

　この面倒な計算については,結果だけ書くと,

　⁵Ｒ_μν＝Ｒ_μν＋(α²/2)(Ａ_μ∇_λｆ^λ_ν＋Ａ_ν∇_λｆ^λ_μ)

　＋(α²/2)ｆ_μλｆ^λ_ν－(α²/4)Ａ_μＡ_νｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ_4μ＝(α/2)∇_λｆ^λ_μ－(α²/4)Ａ_μｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ₄₄＝－(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ＝Ｒ＋(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσです。

　ここで,∇_λは,もちろん４次元空間における共変微分です。

　場の方程式は,作用積分：

　Ｉ₅≡－[1/(2κｃ)]∫[(－γ)^{1/2 5}Ｒ]ｄ⁵ｘ＋∫Ｌ_Mｄ⁵ｘ

　にHamiltonの変分原理を適用すれば得られるはずです。

　ここで重力場以外の物質場をφ_Λ(ｘ)(Λ＝1,2,．,Ｎ)とし,

　これから作られる物質場のLagranfianをＬ_Mで表わしています。

 なお,γ≡det(γ_ij)＝ｇγ₄₄＝ｇです。

　γ₄₄＝1という条件付き変分原理とするため,Lagrangeの未定

　乗数法を適用して,－[1/(2κｃ)]∫λ(γ₄₄－1)ｄ⁵ｘという

　項を付加しておきます。

　そしてγ_mnに関する変分をとると,　

　[1/(2κｃ)][(－γ)^1/2{⁵Ｒ^mn－(1/2)γ^mn・⁵Ｒ}－λδ^m₄δⁿ₄]

　－[1/(2ｃ)] ⁵I ^mn＝0 となります。

　ただし,⁵I ^mn≡－2ｃ(δＬ_M/δγ_mn)です。

　また,λで変分をとれば,γ₄₄－1＝0 が得られます。

　これらは15個の方程式ですが,未知関数は15個のγ_ij(ｘ)に

　λ(ｘ)を加えた16個です。

　しかし,γ₄₄＝1 なので,実際には15個であり,その中でｍ＝ｎ＝4

　という式はλ(ｘ)の定義式です。

　残りの14個のうち,10個は重力場の方程式,４個はMaxwellの方程式

　であるはずです。

　しかし,これをこのままで調べるのははなはだ面倒です。

　出発点の５次元作用積分を４次元量で書き直した方がわかり

　やすいということで,そうします。

　結果は,Ｉ₅＝∫Ｉ₄ｄｘ⁴,

　Ｉ₄≡－[1/(2κｃ)]∫[(－ｇ)^1/2{Ｒ＋(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσ}]ｄ⁴ｘ

　＋∫Ｌ_Mｄ⁴ｘとなって,

　Ｉ₄の各項は,全てｘ⁴に無関係な量で与えられます。

　このＩ₄から,ｇ_μν,Ａ_μとφ_Λについて変分を取れば,

　求める場の方程式が導かれるはずです。

　ここで,特にα²≡2κ/μ₀ (μ₀ は真空の透磁率)とおくと,

　Ｉ₄は一般相対論に出てくる作用積分と完全に一致します。

　δＩ₄/δｇ_μν＝0 からは,(－ｇ)^1/2{Ｒ^μν－(1/2)ｇ^μνＲ}

　＝κ[{(－ｇ)^1/2/μ₀}(－ｆ^μ_αｆ^να＋ｇ_μνｆ_ρσｆ^ρσ)＋Ｍ_μν],

　Ｍ_μν≡－2ｃ(δＬ_M/δｇ_μν)＝⁵I ^μν

　が得られます。

　また,δＩ₄/δＡ_μ＝0 からは,∂{(－ｇ)^1/2ｆ^μν}＝μ₀Ｊ^μ

　なる方程式が導かれます。

 Ｊ^μ/ｃは物質場の作る４次元電流密度です。

　これは,煩雑なので明示しませんが,重力場とは無関係に

　電流の保存法則：∂_μＪ^μ＝0 を満足します。

ところで未定であった定数α,βに対してαβとα²が明示的に与えら

れたので,β²＝ｅ²/(ｍ²α²)＝ｅ²μ₀ｃ⁴/(16πＧｍ²),

すなわち,2β²/ｃ²～(1/137)(λ_c/ａ)です。

(1/137)は,謂わゆる無単位の微細構造常数の近似値であり,

λ_cとａはそれぞれ粒子のCompton波長とSchwarzschildの

重力半径を示しています。

例えば,荷電粒子が電子であれば,β²/ｃ² ～ 10⁴⁵という大きな数

になります。

この場合は,ｃ²＝β²±Ｋ²の±はｃ²＝β²－Ｋ² とする必要があると

考えられます。

以上のようにKaluza-Kleinの理論は全ての点で電磁場と重力場

を時空の幾何学(geometry of space-time)として統一的に表現

することに一見成功しているように見えます。

しかし,実は電磁場が存在する場合の粒子の運動方程式：

ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

＝αβｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)は,

φ_ΛとＡ_μの結合に関して具体的知識がなくても,

Ｌ_Mがスカラー密度でありさえすれば必ず得られる方程式

なので,理論からこの運動方程式が導かれたとしても直ちに

理論がφ_ΛとＡ_μの正しい結合を表現しているとは言えません。

　この理論は量子論ではなくて古典論にすぎず,また,強い相互作用

や弱い相互作用をも包摂して記述するには５次元では次元が小さ過ぎ

るとも言えます。

　重力場と電磁場のポテンシャルを計量テンソルを用いて統一的

に記述できたとしても,それだけでは単に重力場と電磁場をまとめて

便利な形に書き表わしたというに過ぎないという見方もできます。

　例えばこうした統一的記述のおかげで,素電荷ｅの存在理由とか,

Ｇとｅの間の未知であった新しい関係などが発見されるようなこと,

が少なくとも１つは表現されて,はじめて統一理論が真に実現され

たというべきだ,という批判もあろうと思われます。

(この項終わり)

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店) 

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 物理学

カルツァ・クラインの５次元統一場理論(2)

　前回のつづきです。

　前記事では,無限小な局所的平行移動に対する全物理量の不変性

　を要求しましたが,

　実際には我々の時空の４次元座標(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)はそのままで,

　５番目軸であるｘ⁴軸に対してのみ平行移動をしたときの不変性

　を要求するのが妥当であると思われます。

　実際,あらゆる物理量がｘ⁴に依存しないなら,我々はその存在

　に気付かないからです。

　　そこで,平行移動:ｘⁱ→ ｘⁱ＋εξⁱ(ｘ)において,

　　ξⁱ(ｘ)≡δⁱ₄とします。

　　そして,これが ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 の解であるとします。

　　まず,ξ_i(ｘ)＝γ_ik(ｘ)δ^k₄＝γ_i4(ｘ)ですから,これを上の

　方程式に代入すると,∂γ_ij(ｘ)/∂ｘ⁴＝ 0 が得られます。

　つまり,計量(metric)γ_ijはｘ⁴ 軸には依存しないという帰結

　になります。

　また,ベクトル:ξの大きさが１,つまり,γ_ijξⁱξ^j＝1より,

　γ₄₄(ｘ)＝1を得ます。

　この余計なｘ⁴座標を分離すると,計量は

　ｄσ²＝γ₄₄(ｄｘ⁴)²＋2γ_μ4ｄｘ^μｄｘ⁴＋(γ_μ4ｄｘ^μ)²

　＋(γ_μν－γ_μ4γ_ν4)ｄｘ^μｄｘ^νとなります。

　ここで,まだ未定の定数αを用いてαＡ_μ≡γ_μ4＝γ_4μ,

　ｇ_μν≡γ_μν－γ_μ4γ_ν4と置きます。

　すると,γ₄₄＝1より,

　ｄσ²＝(ｄｘ⁴＋αＡ_μｄｘ^μ)²＋ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν

　と書けます。

　ここで見やすいように,改めてγ_μν＝ｇ_μν＋α²Ａ_μＡ_ν,

　γ_μ4＝γ_4μ＝αＡ_μ,γ₄₄＝1　と書きます。

　そして,γ_ijの逆行列γ^ijは,γ^ikγ_kj＝δⁱ_jより,

　γ^μν＝ｇ^μν,γ^μ4＝γ^4μ＝－αＡ^μ,γ⁴⁴＝1＋α²Ａ_μＡ^μ

　となることがわかります。ここにＡ^μ≡ｇ^μνＡ_νです。

　条件∂γ_ij(ｘ)/∂ｘ⁴＝0 ,およびγ₄₄(ｘ)＝1を保持する

　一般座標変換(＝微分同相写像)ｘⁱ → ｘ'ⁱは,ｆⁱを

　ｘ'^μ(μ＝0,1,2,3)の任意関数として,

　ｘⁱ＝ｘ'ⁱ＋ｆⁱ(ｘ'⁰,ｘ'¹,ｘ'²,ｘ'³)

　という形に限られます。

　これに対し,γ_ijは

　γ'_ij(ｘ')＝(∂ｘ^m/∂ｘ'ⁱ)(∂ｘⁿ/∂ｘ'^j)γ_mn(ｘ)

　と変換されます。

　これを分離すると,

　ｇ'_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)ｇ_ρσ(ｘ),Ａ'_μ

 ＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)Ａ_ρ＋(∂ｆ⁴/∂ｘ'^μ)/α,

　γ'₄₄＝γ₄₄＝1となります。

　ここで,この変換をｘ^μ＝ｘ'^μ,ｆ⁴＝－αλ(ｘ'⁰,ｘ'¹,ｘ'²,ｘ'³)

　とすれば,上述の変換性はｇ'_μν＝ｇ_μν,Ａ'_μ

　＝Ａ_μ－∂λ/∂ｘ^μ,γ₄₄＝1 となり,これはいわゆるゲージ変換

　と同じ形をしています。

　そこで,KaluzaはＡ_μを電磁場のポテンシャル,ｇ_μνを重力場の

　計量テンソルと同一視しました。

　それが妥当であるかどうかは場の方程式や荷電粒子の運動方程式

　を調べることによって判明するはずです。

　そのために,まず接続係数(特に:Christoffel's symbol)Γを

　求めてみます。

　計算結果だけ書くと,

　⁵Γ^λ_μν＝Γ^λ_μν－(α²/2)(ｆ^λ_μＡ_ν＋ｆ^λ_νＡ_μ),

　⁵Γ⁴_μν＝－αＡ_λ⁵Γ^λ_μν＋(α/2)Ｓ_μν,

⁵Γ^λ_4μ＝⁵Γ^λ_μ4＝－(α/2)ｆ^λ_μ,⁵Γ⁴_4μ＝⁵Γ⁴_μ4

　＝－(α²/2)(ｆ_μρＡ^ρ),⁵Γ^λ₄₄＝0,⁵Γ⁴₄₄＝0

　となります。

　ただしｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ,Ｓ_μν≡∂_μＡ_ν＋∂_νＡ_μです。

　今日はここまでとします。

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 物理学

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店) 

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店) 

カルツァ・クラインの５次元統一場理論(１)

　今日は量子論ではなく古典論ですが。。。

　現在では,素粒子論'(量子論)のモデルとしての超弦理論

(Superstring theory)などにおいて,26次元や10次元,11次元

など当たり前とされている,４次元より大きい時空の,

　余剰次元を想定する理論のはしりとなった1920年代の

Kaluza- Klein(カルツァ・クライン)による５次元統一場理論

の内容を紹介します。 

　その昔,私がM２のときに何ヶ月間か,毎週１回,一般相対性理論

の集中講義を受けた故内山龍雄先生の著わした

「一般ゲージ場論序説」(岩波書店)に基づいて,これを紹介したい

と思います。

　まず,４次元時空よりも大きい５次元の擬Riemann空間

の中に,適当な座標を設けて,その空間内の位置座標が,

ｘⁱ(ｉ＝0,1,2,3,4)で与えられるとします。

　以下,ラテン文字の添字は 0～4を示し,

ギリシャ文字の添字μ,ν,λ,etc.は通常の時空座標 0～3

を示すとします。

　隣接した２点間ｘⁱとｘⁱ＋Δｘⁱの距離は,

　Δσ²(ｘ)≡γ_ij(ｘ)ΔｘⁱΔｘ^jで与えられるとします。

　そして,この５次元時空においては局所対称性があり,

全ての物理量は無限小な平行移動：ｘⁱ→ ｘⁱ＋εξⁱ(ｘ)

に対して,その値を変えないとします。

　ただし,ξⁱは大きさ１の５次元ベクトル成分(γ_ijξⁱξ^j＝１),

εは無限小の任意パラメータです。

　それ故,Δσ²(ｘ＋εξ)＝Δσ²(ｘ),

　　すなわち,γ_ij(ｘ＋εξ)Δ(ｘⁱ＋εξⁱ)Δ(ｘ^j＋εξ^j)

　＝γ_ij(ｘ)ΔｘⁱΔｘ^jが成立します。

　　この等式は,εの１次までの近似では,Δξⁱ＝ξⁱ,_kΔｘ^kより

　γ_ij,kξ^k＋γ_kjξ^k,_j＋γ_kjξ^k,_j＝0,

　または, ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 　となります。

　　ただし,ξⁱ,_k≡∂ξⁱ/∂ｘ^k, γ_ij,k≡∂γ_ij/∂ｘ^k,

　 ⁵∇_iξ_j≡∂ξⁱ/∂ｘ^j－⁵Γ^k_ijξ_k, ⁵Γ^k_ij

 ≡γ^kl(γ_li,j＋γ_lj,i－γ_ij,l)/2≡γ^kl・⁵Γ^k_k,ij

　です。

　そして. ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 は一般相対論でよく

知られたKillingの方程式であり,ξⁱ(ｘ)はKillingのベクトル

と呼ばれます。

　今日も夜勤の仕事のため時間がないので,これまでとして,

　続きは後日書きます。

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 物理学

膨張宇宙における赤方偏移２(視角半径)

半径ｄの大きさの天体が遠方(ｒ₁,θ₁,φ₁)にあったとき,

ｒ＝0 の原点Ｏにいる観測者には,その天体の大きさは

どのように見えるでしょうか？

以下,これを 考えてみます。　

φ₁＝一定の面で"その天体の大きさ＝視角直径"が 2Δθ₁に

見えたとします。

ｄが宇宙のスケール因子ａに比べて小さいとすると,

その天体のθ方向の固有長さは天体から光が発せられた

時刻ｔ＝ｔ₁にはｄ＝ｒ₁ａ(ｔ₁)Δθ₁です。

(※これは前記事のRobertson-Walker計量でｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ｄσ²

として空間部分ｄσ²を分離し,

この空間計量ｄσ²についてｄｒ＝ｄφ＝0 とした後,

ａ(ｔ)にａ(ｔ₁),ｒにｒ₁を代入し,ｄθをΔθ₁とおいて,

天体の半径ｄがｄσで与えられるすれば得られます。※)

すなわち,観測者が天体像を認識するのは現在時刻ｔ₀に,

彼の目に到達する天体からの光によるものですが,

それで見る天体の姿は過去に光が天体上で発せられた時刻

ｔ＝ｔ₁におけるものです。

その光が観測者に届くまでの行路の長さはｒ₁ａ(ｔ₁)ですから,

該当観測者の見る半径がｄの天体の視野角はｄ/ｒ₁ａ(ｔ₁)で

与えられ,これを視角半径Δθ₁と呼ぶのですね。

　現在時刻ｔ₀には,その天体までの距離はＲ＝ｒ₁ａ(ｔ₀)ですが,

天体の半径ｄを現在の距離Ｒで評価すると,

　ｄ＝ｒ₁ａ(ｔ₀)[ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)]Δθ₁

　＝Ｒ{ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)}Δθ₁となります。

　膨張係数を赤方偏移ｚで表わすと,ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)＝1＋ｚにより,

　Δθ₁＝ｄ(1＋ｚ)/Ｒとなります。

　ｄはｚによらず一定ですから,ｚ＜＜１では天体までの現在距離Ｒ

が遠方になるに従って,Δθ₁はＲに反比例して減少します。

　これは静止宇宙(ｚ＝0)を想定したときの通常の視角半径の様子と

一致しています。

　しかし,ｚが大きくなるに従って,視角半径Δθ₁は,必ずしもＲが

大きくなったからといって単純な反比例の関係では

減少しなくなります。

　より詳細に検討してみましょう。

我々の想定した宇宙の計量(metric)でのｒとａとの厳密な

関係式は∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2＝∫_t1^t0ｃｄｔ/ａ(ｔ)

＝∫_a(t1)^a(t0)[ｃ/ａ(ｔ)](ｄｔ/ｄａ)ｄａ で与えられます。

ここで,膨張因子ａの満足するEinstein方程式の１つは,

(ｄａ/ｄｔ)²＝－ｋｃ²＋(8πＧρａ²/3)です。

そこで,ｋ＝0,－1の平坦な宇宙,または空間曲率が負の宇宙では

右辺が正となるので,最初に膨張しているという初期条件が

与えられれば常に(ｄａ/ｄｔ)＞0 となり,このまま永久に

膨張を続けます。

一方,この宇宙がｋ＝１の空間曲率が正の宇宙であるなら,

どこかのｔで,(ｄａ/ｄｔ)＝0 となる瞬間があるので,

そこで膨張から収縮に転じるはずです。

　３つのパラメータ,Hubble係数：Ｈ≡(ｄａ/ｄｔ)/ａ,

減速係数:ｑ≡－(ｄ²ａ/ｄｔ²)/(ａＨ²),密度係数：σ≡4πＧρ/(3Ｈ²)

を導入します。

　もう１つのEinstein方程式は,

　2ａ(ｄ²ａ/ｄｔ²)＋(ｄａ/ｄｔ)²＋ｋｃ²＝－(8πＧＰａ²/ｃ²)

ですが,これにおいて右辺の圧力ＰをＰ～ 0 と近似します。

　それに,先の第一の方程式(ｄａ/ｄｔ)²＝－ｋｃ²＋(8πＧρａ²/3)

を代入すると,ｋｃ²/ａ²＝4πＧρ＋(ｄ²ａ/ｄｔ²)/ａ－[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]²

が得られます。

　ｋｃ²/ａ²＝Ｈ²(3σ－ｑ－1)であり,σ＝ｑが成立しますから,

結局ｋｃ²/ａ²＝Ｈ²(2ｑ－1)を得ます。

　そして,これらのパラメータの我々の位置での現在時刻ｔ₀の値に

ついては特にｑ₀＝－(ｄ²ａ/ｄｔ²)₀/(ａＨ₀²)のように下添字の 0

をつけて表現すれば,ｋｃ²/ａ₀²＝Ｈ₀²(2ｑ₀－1)です。

　それ故,平坦な宇宙(ｋ＝ 0)なら,ｑ₀＝1/2,負曲率(ｋ＝－1)なら

ｑ₀＜1/2,正曲率(ｋ＝＋1)ならｑ₀＞1/2です。

　Einstein方程式の１つは[(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀]²＋Ｈ₀²(2ｑ₀－1)

－(8πＧρ₀ａ²/3ａ₀²)＝0 となり,

　さらに,[(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀]²＝Ｈ₀²[1－2ｑ₀＋2ｑ₀(ａ₀/ａ)]

となります。

ｘ≡ａ(ｔ)/ａ₀と置けば,先に挙げた積分は

∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2＝∫_a(t1)^a(t0)[ｃ/ａ(ｔ)](ｄｔ/ｄａ)ｄａ

＝[ｃ/(ａ(ｔ₀)Ｈ₀)]∫_1/(1+z)¹[1－2ｑ₀－2ｑ₀(ａ/ａ₀)²]^-1/2ｘ^-1ｄｘ

となります。

これを計算すると,ｋ＝0,±1 によらず,

Ｒ＝ｒ₁ａ₀＝[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]ｃ/[Ｈ₀ｑ₀²(1＋ｚ)]

が得られます。

したがって,Δθ₁＝ｄ(1＋ｚ)/Ｒ＝ｄＨ₀/[ｃψ(ｚ)],

ただしψ(ｚ)≡[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]/[ｑ₀²(1＋ｚ)²]

となります。

この式によれば,ｚ＜＜１では,ψ(ｚ)～ｚ/(1＋ｚ)² ～ｚにより,

ｚが大きくなるとΔθ₁は減少しますが,

ｚ＞＞１ではψ(ｚ)～1/(ｑ₀ｚ)なのでΔθ₁はｚと共に

増大します。

そこで,あるｚ＝ｚ_c(ｑ₀)でΔθ₁は最小値を取ることになります。

特に,平坦な宇宙ｑ₀＝1/2ではｚ_c(ｑ₀)＝5/4です。

このようにある距離より遠方にある天体の視角が距離が大きくなる

につれて大きくなるという効果は,ｑ₀＝1/2の平坦空間の場合にも

同様に生じることからもわかるように,

３次元空間の曲率によるものではなく,膨張の影響によるものです。

遠方の物体から現在の我々に光が到達するには,宇宙が今より

収縮している遠い過去に光が出発していなければなりません。

すなわち,遠方の天体からのものは我々からの距離が近かった

過去に光が発射されたものですから,大きく見えるのはこの

近距離のせいであると考えられます。

このことを,平坦な宇宙:ｑ₀＝1/2の場合により詳しく見てみます。

まず,ｋ＝ 0 なので∫_r^r1ｄｒ＝∫_t1^tｃｄｔ/ａ(ｔ)です。

このとき,Einstein方程式は,(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀＝－Ｈ₀(ａ₀/ａ)^1/2で,

ａ(ｔ)＝ａ(ｔ₀)(ｔ/ｔ₀)^2/3と解けますから,

ｒ₁－ｒ(ｔ)＝(3ｃｔ₀^2/3/ａ₀)(ｔ^1/3－ｔ₁^1/3)

となります。

それ故,各時刻での距離；ａ(ｔ)ｒ(ｔ)は,

ａ(ｔ)ｒ(ｔ)＝3ｃｔ^2/3ｔ₀^1/3－3ｃｔ,ｄ(ａｒ)/ｄｔ

＝ｃｔ^-1/3(2ｔ₀^1/3－3ｔ^1/3)を満たします。

ｄ(ａｒ)/ｄｔ＝0 となる時刻は,ｔ＝8ｔ₀/27ですから,

距離はｔ＝8ｔ₀/27を境にして増加から減少に転じること

がわかります。

あるいは,時刻ｔ＝8ｔ₀/27には,ａ(ｔ)/ａ(ｔ₀)＝(ｔ/ｔ₀)^2/3＝4/9

であり,これは1/(1＋ｚ)＝ａ(ｔ)/ａ(ｔ₀)によって,

ｚ＝ｚ_c(1/2)＝5/4に相当します。

そこで,ｚ＝5/4の時期以前では接近しつつある光の距離が大きく

なりつつあることになります。

この時期には,視角Δθ₁はｚの増加と共に増加しつつある時期

と一致しています。

すなわち,ｒが大きい遠方の天体でも大きく見えるというのは,

ｚ＞5/4の時期に出発した光は,実はその固有距離ａ(ｔ)ｒが,

より小さいところにあったためである,と考えられます。

そういう場所(ｚ＞5/4)から出発して観測者に"接近しつつある光"は,

一旦は距離が大きくなって観測者から離れていき,一方ｚ＝5/4以後

(ｚ＜5/4)に出発した光では距離が小さくなることが"接近"となり,

通常の常識的状況に一致してきます。

ｒ₁＝Ｒ/ａ₀＝[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]ｃ/[Ｈ₀ａ₀ｑ₀²

(1＋ｚ)]でｚ→ ∞ とした場合の値は地平線と呼ばれます。

何故なら,現在までに観測できる一番遠方の地点だからです。

そのｒ₁をｒ_Hと書けば,観測可能な最遠方(＝最過去)の天体の

我々からの固有距離はｒ_Hａ₀＝(ｃ/Ｈ₀ｑ₀)となります。

参考文献；佐藤文隆、原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)　

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    物理学

膨張宇宙における赤方偏移１

　膨張する宇宙において,膨張因子:ａ(ｔ)を含む,

Robertson-Walker計量を書き下すと,

ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ａ(ｔ)²[ｄｒ²/(1－ｋｒ²)＋ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)

となります。

　そこで,この宇宙の計量(metric)による線素の中で光が伝播するとき,

その振動数が,どのように変化するか？を見てみます。

　謂わゆる赤方偏移(red-shift)と呼ばれる現象について,以下で

記述してみましょう。

　遠方の銀河(ｒ＝ｒ₁)から観測者(ｒ＝0)まで光が伝播するとし,

簡単のために,光の進む方向をθ＝φ＝0 (一定)とします。

　そして光源から光の出る時刻をｔ＝ｔ₁,それが観測者に到達する

時刻をｔ＝ｔ₀とします。

　すると,ｄｓ²＝0 より,(ｃ/ａ)(ｄｔ/ｄｒ)＝±1/(1－ｋｒ²)^1/2

ですが,ｔの増加に対してｒが減少する現象を考えているので,

(－)符号を取って,ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2

となります。

　同様に,ｔ₁＋δｔ₁に発射された光がｔ₀＋δｔ₀に観測者に到達する

とすれば,ｃ∫_t1＋δt1^t0＋δt0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2 

＝ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)です。

　そこで,ａ(ｔ)の変化する時間に比べてδｔが十分小さいなら,

δｔ₀/ａ(ｔ₀)＝δｔ₁/ａ(ｔ₁) なる等式が成立します。

　そこで,もしも光源において,光がδｔ₁の間にｎ回振動していた

なら,光源での振動数をν₁,観測者が観測する振動数をν₀とすると,

　ν₁＝ｎ/δｔ₁, ν₀＝ｎ/δｔ₀ により,

　ν₁/ν₀＝δｔ₀/δｔ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)

となるはずです。

　これを振動数の代わりに波長λ₁,λ₀で表現すれば,

λ₀/λ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁) ですね。

　光の赤方偏移：ｚの定義は,ｚ≡(λ₀－λ₁)/λ₁＝(λ₀/λ₁)－1　

で与えられますから,ｚ＋1＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)です。

　これによって,ａ(ｔ₀)＞ａ(ｔ₁)と宇宙が膨張している場合には,

ｚ＞0 となります。

　また,ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2より,

ｒが小さいならｒ₁ ～ c(ｔ₀－ｔ₁)/ａ(ｔ₀) と近似できます。

　一方,ａ(ｔ₁)はａ(ｔ₁)＝ａ(ｔ₀)

－(ｔ₀－ｔ₁)[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]₀/ａ(ｔ₀)＋...

とTaylor展開できて,

　Ｈ₀をHubble定数とすると,Ｈ₀＝[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]₀なので,

1/(1＋ｚ)＝ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)＝1－Ｈ₀(ｔ₀－ｔ₁)＋...

となります。

無次元のパラメータｒに対して実際の長さの単位を持つ固有距離；

Ｒ≡ａｒを用いると,ｚが小さい範囲では,

　ｚ ～ Ｈ₀(ｔ₀－ｔ₁)～ ａ(ｔ₀)ｒ₁Ｈ₀/ｃ＝Ｈ₀Ｒ/ｃ,

　すなわち,ｃｚ～ Ｈ₀Ｒ と書けます。

　ここで,赤方偏移を膨張によって光源が遠ざかることによる

Doppler効果の結果であるとみなすこともできます。

　一般にDoppler効果は,ν₁＝ν₀[1－(ｖ・ｅ)]/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2

(ｖは光源の運動速度,ｅは光の進む光線の向き)で与えられます。

　今の,θ＝φ＝0 (一定)の場合には,

ν₁～ν₀(1＋ｖ/ｃ) ⇔ (ν₁/ν₀)－1＝ｖ/ｃ

⇔ (λ₀/λ₁)－1＝ｖ/ｃ,

　すなわち,ｚ～ｖ/ｃ　と書けます。

　　結局,ｖ＝ｃｚ＝Ｈ₀Ｒが得られますが,これはHubbleの膨張則

そのものですね。

　こうして,赤方偏移は一種のDoppler効果と捉えることも

できます。

　この意味が明らかに見えるように,先に求めた式:

　ν₁/ν₀＝δｔ₀/δｔ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)

を見直してみます。

　すなわち,微小時間間隔Δｔを伝播する間に起こるDoppler効果

による振動数の偏移をΔνとすると,これはΔν＝－(ｖ/ｃ)νです。

　これとHubbleの膨張則:ｖ＝ＨＲ＝[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]ｃΔｔから

　Δν/ν＝－Δａ/ａ,

　すなわち,ａ(ｔ)ν(ｔ)＝(一定)という結果が得られます。

　これは,先に計量から求めたのと全く同じ式を表わしていますね。

　この赤方偏移は,観測者が光源に対して運動する座標系から観測

するために光子のエネルギーが減少する(ｈν₀＜ｈν₁)ことを表わ

しています。

　しかし,これを"光子が何らかの作用でエネルギーを失なっている,

と考えるのは,妥当ではありません。

　そもそも粒子の速度は座標系の取り方によって違うので,

座標系が異なればエネルギーも運動量も異なるのです。

　例えば,旅客機の乗客が機内で移動するときの乗客の運動

エネルギーは,旅客機を基準座標系とすれば微々たるものです

が,地上を基準座標系とすれば,かなり大きい値になります。

　光の場合は速度の大きさは座標系に依存しませんが,

エネルギーや運動量は座標系に依存すると考えていいです。

　光子がエネルギーを失なっていると見るならば,そのエネル

ギーが何に転化しているのか?が問題になりますが,

　今の場合は,次々に光のエネルギーが減少していると見える

座標系に移って観測しているだけですね。

(つづく)

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    物理学

貧乏ひま無し

　仕事で全国の300余りの会社の健康保険組合関係の書類,データの仕分けをしているので,この２月から３月にかけての月末月初は普段の何倍も忙しくて,平日にはまともで長めのブログを書く余裕がありません。

　今日も昨晩からの夜勤から朝帰りで即歯医者に行って食事,買い物の後,これを書いています。

　また今晩20時から明朝７時前後までの勤務があるので,それにそなえて,これから寝るところです。

　18時30分には出勤していかなければなりません。

　貧乏ひま無しです。

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