頭の体操(円周率：大学入試問題)

　昨日,勤務に向かう電車の中で,ある予備校の宣伝広告の中に

東京大学理科－前期入試問題として解答抜きで数学の入試問題

が１問出題してありました。

　この問題は以前もどこかで見たおぼえがあり気分転換＝頭の体操,

としてほどよいので解いてみました。

　問題は「円周率は3.05より大きいことを証明せよ。」

という簡単なものです。

　そもそも円周率とは,素朴に円周の長さをその円の直径

で割ったものです。

まあ,すぐに思いつくことではありますが,円に内接する正ｎ角形

の周は円周よりも常に短いので,

(2π)＞(内接する正ｎ角形の周)÷(半径),

という不等式が成立します。

ｎ＝ 6,つまり正六角形なら,右辺は丁度 6 なのでπ＞3

が得られます。

そこでｎ＝ 8,つまり正八角形なら π＞3.05 が得られる

ことが予想されます。

実際にそうであることを証明しましょう。

三角形における余弦定理というのは確か,私が習ったのは中学３年

のときだったと記憶していますが,

それは⊿ＡＢＣの辺の長さａ,ｂ,ｃと内角Ａ,Ｂ,Ｃの間に,

ａ²＝ｂ²＋ｃ²－2ｂｃcosＡ etc.の関係式が成立する

という定理です。

　

　これを用いるなら,(半径ｒの円に内接する正ｎ角形の周の長さ)

＝ｎｒ[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2＝2ｎｒsin(π/ｎ)となります。

まあ、最後の形式などは別に余弦定理に頼らずとも得られるもの

ではありますが。。。。

よってπ＞(ｎ/2)[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2ですが,

ｎ＝ 8を代入すると π＞4(2―√2)^1/2が得られます。

(※下図は,円に内接する正八角形です。α＝2π/8＝π/4(45度)です。)

よって,4(2―√2)^1/2≧3.05を示せばいいわけです。

そこで16(2―√2)－3.05²を計算しましょう。

16(2―√2)－3.05²＝32－9.3025－16√2=22.6975－16√2です。

22.69²＝(23－0.31)²＝529－14.26＋0.31² ＞ 514 ＞ 512＝(16√2)²ですから,π²＞16(2―√2)＞3.05²

したがって,π＞3.05 が証明されました。

ちょっと手抜きをしてしまいましたが,まあ息抜きですね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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