膨張宇宙における赤方偏移２(視角半径)

半径ｄの大きさの天体が遠方(ｒ₁,θ₁,φ₁)にあったとき,

ｒ＝0 の原点Ｏにいる観測者には,その天体の大きさは

どのように見えるでしょうか？

以下,これを 考えてみます。　

φ₁＝一定の面で"その天体の大きさ＝視角直径"が 2Δθ₁に

見えたとします。

ｄが宇宙のスケール因子ａに比べて小さいとすると,

その天体のθ方向の固有長さは天体から光が発せられた

時刻ｔ＝ｔ₁にはｄ＝ｒ₁ａ(ｔ₁)Δθ₁です。

(※これは前記事のRobertson-Walker計量でｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ｄσ²

として空間部分ｄσ²を分離し,

この空間計量ｄσ²についてｄｒ＝ｄφ＝0 とした後,

ａ(ｔ)にａ(ｔ₁),ｒにｒ₁を代入し,ｄθをΔθ₁とおいて,

天体の半径ｄがｄσで与えられるすれば得られます。※)

すなわち,観測者が天体像を認識するのは現在時刻ｔ₀に,

彼の目に到達する天体からの光によるものですが,

それで見る天体の姿は過去に光が天体上で発せられた時刻

ｔ＝ｔ₁におけるものです。

その光が観測者に届くまでの行路の長さはｒ₁ａ(ｔ₁)ですから,

該当観測者の見る半径がｄの天体の視野角はｄ/ｒ₁ａ(ｔ₁)で

与えられ,これを視角半径Δθ₁と呼ぶのですね。

　現在時刻ｔ₀には,その天体までの距離はＲ＝ｒ₁ａ(ｔ₀)ですが,

天体の半径ｄを現在の距離Ｒで評価すると,

　ｄ＝ｒ₁ａ(ｔ₀)[ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)]Δθ₁

　＝Ｒ{ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)}Δθ₁となります。

　膨張係数を赤方偏移ｚで表わすと,ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)＝1＋ｚにより,

　Δθ₁＝ｄ(1＋ｚ)/Ｒとなります。

　ｄはｚによらず一定ですから,ｚ＜＜１では天体までの現在距離Ｒ

が遠方になるに従って,Δθ₁はＲに反比例して減少します。

　これは静止宇宙(ｚ＝0)を想定したときの通常の視角半径の様子と

一致しています。

　しかし,ｚが大きくなるに従って,視角半径Δθ₁は,必ずしもＲが

大きくなったからといって単純な反比例の関係では

減少しなくなります。

　より詳細に検討してみましょう。

我々の想定した宇宙の計量(metric)でのｒとａとの厳密な

関係式は∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2＝∫_t1^t0ｃｄｔ/ａ(ｔ)

＝∫_a(t1)^a(t0)[ｃ/ａ(ｔ)](ｄｔ/ｄａ)ｄａ で与えられます。

ここで,膨張因子ａの満足するEinstein方程式の１つは,

(ｄａ/ｄｔ)²＝－ｋｃ²＋(8πＧρａ²/3)です。

そこで,ｋ＝0,－1の平坦な宇宙,または空間曲率が負の宇宙では

右辺が正となるので,最初に膨張しているという初期条件が

与えられれば常に(ｄａ/ｄｔ)＞0 となり,このまま永久に

膨張を続けます。

一方,この宇宙がｋ＝１の空間曲率が正の宇宙であるなら,

どこかのｔで,(ｄａ/ｄｔ)＝0 となる瞬間があるので,

そこで膨張から収縮に転じるはずです。

　３つのパラメータ,Hubble係数：Ｈ≡(ｄａ/ｄｔ)/ａ,

減速係数:ｑ≡－(ｄ²ａ/ｄｔ²)/(ａＨ²),密度係数：σ≡4πＧρ/(3Ｈ²)

を導入します。

　もう１つのEinstein方程式は,

　2ａ(ｄ²ａ/ｄｔ²)＋(ｄａ/ｄｔ)²＋ｋｃ²＝－(8πＧＰａ²/ｃ²)

ですが,これにおいて右辺の圧力ＰをＰ～ 0 と近似します。

　それに,先の第一の方程式(ｄａ/ｄｔ)²＝－ｋｃ²＋(8πＧρａ²/3)

を代入すると,ｋｃ²/ａ²＝4πＧρ＋(ｄ²ａ/ｄｔ²)/ａ－[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]²

が得られます。

　ｋｃ²/ａ²＝Ｈ²(3σ－ｑ－1)であり,σ＝ｑが成立しますから,

結局ｋｃ²/ａ²＝Ｈ²(2ｑ－1)を得ます。

　そして,これらのパラメータの我々の位置での現在時刻ｔ₀の値に

ついては特にｑ₀＝－(ｄ²ａ/ｄｔ²)₀/(ａＨ₀²)のように下添字の 0

をつけて表現すれば,ｋｃ²/ａ₀²＝Ｈ₀²(2ｑ₀－1)です。

　それ故,平坦な宇宙(ｋ＝ 0)なら,ｑ₀＝1/2,負曲率(ｋ＝－1)なら

ｑ₀＜1/2,正曲率(ｋ＝＋1)ならｑ₀＞1/2です。

　Einstein方程式の１つは[(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀]²＋Ｈ₀²(2ｑ₀－1)

－(8πＧρ₀ａ²/3ａ₀²)＝0 となり,

　さらに,[(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀]²＝Ｈ₀²[1－2ｑ₀＋2ｑ₀(ａ₀/ａ)]

となります。

ｘ≡ａ(ｔ)/ａ₀と置けば,先に挙げた積分は

∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2＝∫_a(t1)^a(t0)[ｃ/ａ(ｔ)](ｄｔ/ｄａ)ｄａ

＝[ｃ/(ａ(ｔ₀)Ｈ₀)]∫_1/(1+z)¹[1－2ｑ₀－2ｑ₀(ａ/ａ₀)²]^-1/2ｘ^-1ｄｘ

となります。

これを計算すると,ｋ＝0,±1 によらず,

Ｒ＝ｒ₁ａ₀＝[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]ｃ/[Ｈ₀ｑ₀²(1＋ｚ)]

が得られます。

したがって,Δθ₁＝ｄ(1＋ｚ)/Ｒ＝ｄＨ₀/[ｃψ(ｚ)],

ただしψ(ｚ)≡[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]/[ｑ₀²(1＋ｚ)²]

となります。

この式によれば,ｚ＜＜１では,ψ(ｚ)～ｚ/(1＋ｚ)² ～ｚにより,

ｚが大きくなるとΔθ₁は減少しますが,

ｚ＞＞１ではψ(ｚ)～1/(ｑ₀ｚ)なのでΔθ₁はｚと共に

増大します。

そこで,あるｚ＝ｚ_c(ｑ₀)でΔθ₁は最小値を取ることになります。

特に,平坦な宇宙ｑ₀＝1/2ではｚ_c(ｑ₀)＝5/4です。

このようにある距離より遠方にある天体の視角が距離が大きくなる

につれて大きくなるという効果は,ｑ₀＝1/2の平坦空間の場合にも

同様に生じることからもわかるように,

３次元空間の曲率によるものではなく,膨張の影響によるものです。

遠方の物体から現在の我々に光が到達するには,宇宙が今より

収縮している遠い過去に光が出発していなければなりません。

すなわち,遠方の天体からのものは我々からの距離が近かった

過去に光が発射されたものですから,大きく見えるのはこの

近距離のせいであると考えられます。

このことを,平坦な宇宙:ｑ₀＝1/2の場合により詳しく見てみます。

まず,ｋ＝ 0 なので∫_r^r1ｄｒ＝∫_t1^tｃｄｔ/ａ(ｔ)です。

このとき,Einstein方程式は,(ｄａ/ｄｔ)/ａ₀＝－Ｈ₀(ａ₀/ａ)^1/2で,

ａ(ｔ)＝ａ(ｔ₀)(ｔ/ｔ₀)^2/3と解けますから,

ｒ₁－ｒ(ｔ)＝(3ｃｔ₀^2/3/ａ₀)(ｔ^1/3－ｔ₁^1/3)

となります。

それ故,各時刻での距離；ａ(ｔ)ｒ(ｔ)は,

ａ(ｔ)ｒ(ｔ)＝3ｃｔ^2/3ｔ₀^1/3－3ｃｔ,ｄ(ａｒ)/ｄｔ

＝ｃｔ^-1/3(2ｔ₀^1/3－3ｔ^1/3)を満たします。

ｄ(ａｒ)/ｄｔ＝0 となる時刻は,ｔ＝8ｔ₀/27ですから,

距離はｔ＝8ｔ₀/27を境にして増加から減少に転じること

がわかります。

あるいは,時刻ｔ＝8ｔ₀/27には,ａ(ｔ)/ａ(ｔ₀)＝(ｔ/ｔ₀)^2/3＝4/9

であり,これは1/(1＋ｚ)＝ａ(ｔ)/ａ(ｔ₀)によって,

ｚ＝ｚ_c(1/2)＝5/4に相当します。

そこで,ｚ＝5/4の時期以前では接近しつつある光の距離が大きく

なりつつあることになります。

この時期には,視角Δθ₁はｚの増加と共に増加しつつある時期

と一致しています。

すなわち,ｒが大きい遠方の天体でも大きく見えるというのは,

ｚ＞5/4の時期に出発した光は,実はその固有距離ａ(ｔ)ｒが,

より小さいところにあったためである,と考えられます。

そういう場所(ｚ＞5/4)から出発して観測者に"接近しつつある光"は,

一旦は距離が大きくなって観測者から離れていき,一方ｚ＝5/4以後

(ｚ＜5/4)に出発した光では距離が小さくなることが"接近"となり,

通常の常識的状況に一致してきます。

ｒ₁＝Ｒ/ａ₀＝[ｑ₀ｚ－(ｑ₀－1){(2ｑ₀ｚ＋1)^1/2－1}]ｃ/[Ｈ₀ａ₀ｑ₀²

(1＋ｚ)]でｚ→ ∞ とした場合の値は地平線と呼ばれます。

何故なら,現在までに観測できる一番遠方の地点だからです。

そのｒ₁をｒ_Hと書けば,観測可能な最遠方(＝最過去)の天体の

我々からの固有距離はｒ_Hａ₀＝(ｃ/Ｈ₀ｑ₀)となります。

参考文献；佐藤文隆、原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)　

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