カルツァ・クラインの５次元統一場理論(3)

　さて,前回は５次元時空の線素ｄσ²が電磁場Ａ_μと重力場

　ｇ_μνによって,ｄσ²＝ｄｓ²＋(ｄｘ⁴＋αＡ_μｄｘ^μ)²

　と書けるらしい,というところまで論じました。

　ただし,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νは４次元時空の線素です。

　そこで,この線素に基づく測地線(geodesic)の方程式；

　質点の運動方程式が現実の物理的軌道を示すものであるか

　どうか？を検証してみます。

　そのため,ｄσ²≡Ｋ²ｄτ²によって５次元の固有時τを導入し,

　一般相対性理論をまねて,作用積分：

 I≡∫ｄσ

 ＝∫|γ_ij{ｘ(τ)}(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|^1/2ｄτ

　を与えます。

　さらに,Hamiltonの変分原理を適用すると,測地線の方程式：

　(ｄ/ｄτ)(ｄｘⁱ/ｄτ)²＋⁵Γⁱ_mn(ｄｘ^m/ｄτ)(ｄｘⁿ/ｄτ)＝0

　が得られます。

　これは通常の４次元の一般相対性理論の運動学と同じです。

　　ただし,変分に際して,

　|γ_ij(ｘ)(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|＝定数≡Ｋ²という,

　τの定義が保持されるとしています。

　この測地線の方程式に前回最後に計算した接続係数⁵Γⁱ_mnの

　表現を代入して書き換えると５次元の測地線の物理的意味が

　明らかになる,と予想されますが,

　これはかなり面倒なので,作用積分そのものにおいて,

　先に第４成分を分離しておき.変分原理を適用してみます。

　すなわち,作用積分を,

　I≡∫ｄσ

　＝∫|ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＋{(ｄｘ⁴/ｄτ)

　＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}²|^1/2ｄτと書き,

　ｘ⁴ やｘ^μ の変分に対して,Ｉの変分がゼロとなる条件を

　求めます。

　この変分原理を解く微分方程式は,

　もちろん,Euler-Lagrange方程式で与えられます。

　ｘ⁴ の変分に対する方程式は,

 |γ_ij(ｘ)(ｄｘⁱ/ｄτ)(ｄｘ^j/ｄτ)|＝定数≡Ｋ²

　を用いて,{(ｄｘ⁴/ｄτ)＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}/Ｋ＝定数

 で与えられます。

　　この右辺の定数をβ/Ｋ,つまり,

　{(ｄｘ⁴/ｄτ)＋αＡ_μ(ｄｘ^μ/ｄτ)}＝βと置けば,

　Ｋ²＝|ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＋β²|

　となります。

　,

　そこでτを一般相対論における固有時と一致させるために,

　ｃ²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－β²±Ｋ²と置きます。

　右辺の正負の符号のいずれを採用するかは後で決めます。

　一方,ｘ^μ の変分に対するEuler-Lagrange方程式は,

　このβを用いて,

　ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

　＝αβｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)という形で得られます。

　ここで,質点の質量ｍと電荷ｅを用いてαβ＝ｅ/ｍと取れば

　求めるスタイルの通常の"重力場を受けながら電磁場の内部

　を運動する荷電粒子の運動方程式"である,ところの

　ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

　＝(ｅ/ｍ)ｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)　が導かれます。

　なお,ｃ²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－β²±Ｋ²

　という要請が,これと矛盾しないことは明らかです。

　また,ξⁱ≡δⁱ₄を用いれば,

　β＝γ₄₄(ｄｘ⁴/ｄτ)＋γ_4μ(ｄｘ^μ/ｄτ)

　＝ξⁱγ_ij(ｄｘ^j/ｄτ)　と書けます。

　そこで,この理論では荷電粒子の速度ベクトル(ｄｘⁱ/ｄτ)

　の大きさは,軌道に沿って一定値Ｋを取り,その方向はｘ⁴ 軸

　に対して常に一定の角度を保っているという描像になって

　います。

　次に場の従う方程式を求めます。

　そのためには,５次元空間の曲率テンソル：

　⁵Ｒⁱ_jmn≡∂_m⁵Γⁱ_nj－∂_n⁵Γⁱ_mj＋⁵Γⁱ_mk⁵Γ^k_nj⁵－Γⁱ_nk⁵Γ^k_mj,

　および,⁵Ｒ_mn＝⁵Ｒ_nm≡⁵Ｒⁱ_mni,⁵Ｒ≡γ^{mn 5}Ｒ_mn

　を,４次元空間の曲率テンソルやｆ_μνを用いて表わす

　ことが必要となります。

　この面倒な計算については,結果だけ書くと,

　⁵Ｒ_μν＝Ｒ_μν＋(α²/2)(Ａ_μ∇_λｆ^λ_ν＋Ａ_ν∇_λｆ^λ_μ)

　＋(α²/2)ｆ_μλｆ^λ_ν－(α²/4)Ａ_μＡ_νｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ_4μ＝(α/2)∇_λｆ^λ_μ－(α²/4)Ａ_μｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ₄₄＝－(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσ,

　⁵Ｒ＝Ｒ＋(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσです。

　ここで,∇_λは,もちろん４次元空間における共変微分です。

　場の方程式は,作用積分：

　Ｉ₅≡－[1/(2κｃ)]∫[(－γ)^{1/2 5}Ｒ]ｄ⁵ｘ＋∫Ｌ_Mｄ⁵ｘ

　にHamiltonの変分原理を適用すれば得られるはずです。

　ここで重力場以外の物質場をφ_Λ(ｘ)(Λ＝1,2,．,Ｎ)とし,

　これから作られる物質場のLagranfianをＬ_Mで表わしています。

 なお,γ≡det(γ_ij)＝ｇγ₄₄＝ｇです。

　γ₄₄＝1という条件付き変分原理とするため,Lagrangeの未定

　乗数法を適用して,－[1/(2κｃ)]∫λ(γ₄₄－1)ｄ⁵ｘという

　項を付加しておきます。

　そしてγ_mnに関する変分をとると,　

　[1/(2κｃ)][(－γ)^1/2{⁵Ｒ^mn－(1/2)γ^mn・⁵Ｒ}－λδ^m₄δⁿ₄]

　－[1/(2ｃ)] ⁵I ^mn＝0 となります。

　ただし,⁵I ^mn≡－2ｃ(δＬ_M/δγ_mn)です。

　また,λで変分をとれば,γ₄₄－1＝0 が得られます。

　これらは15個の方程式ですが,未知関数は15個のγ_ij(ｘ)に

　λ(ｘ)を加えた16個です。

　しかし,γ₄₄＝1 なので,実際には15個であり,その中でｍ＝ｎ＝4

　という式はλ(ｘ)の定義式です。

　残りの14個のうち,10個は重力場の方程式,４個はMaxwellの方程式

　であるはずです。

　しかし,これをこのままで調べるのははなはだ面倒です。

　出発点の５次元作用積分を４次元量で書き直した方がわかり

　やすいということで,そうします。

　結果は,Ｉ₅＝∫Ｉ₄ｄｘ⁴,

　Ｉ₄≡－[1/(2κｃ)]∫[(－ｇ)^1/2{Ｒ＋(α²/4)ｆ_ρσｆ^ρσ}]ｄ⁴ｘ

　＋∫Ｌ_Mｄ⁴ｘとなって,

　Ｉ₄の各項は,全てｘ⁴に無関係な量で与えられます。

　このＩ₄から,ｇ_μν,Ａ_μとφ_Λについて変分を取れば,

　求める場の方程式が導かれるはずです。

　ここで,特にα²≡2κ/μ₀ (μ₀ は真空の透磁率)とおくと,

　Ｉ₄は一般相対論に出てくる作用積分と完全に一致します。

　δＩ₄/δｇ_μν＝0 からは,(－ｇ)^1/2{Ｒ^μν－(1/2)ｇ^μνＲ}

　＝κ[{(－ｇ)^1/2/μ₀}(－ｆ^μ_αｆ^να＋ｇ_μνｆ_ρσｆ^ρσ)＋Ｍ_μν],

　Ｍ_μν≡－2ｃ(δＬ_M/δｇ_μν)＝⁵I ^μν

　が得られます。

　また,δＩ₄/δＡ_μ＝0 からは,∂{(－ｇ)^1/2ｆ^μν}＝μ₀Ｊ^μ

　なる方程式が導かれます。

 Ｊ^μ/ｃは物質場の作る４次元電流密度です。

　これは,煩雑なので明示しませんが,重力場とは無関係に

　電流の保存法則：∂_μＪ^μ＝0 を満足します。

ところで未定であった定数α,βに対してαβとα²が明示的に与えら

れたので,β²＝ｅ²/(ｍ²α²)＝ｅ²μ₀ｃ⁴/(16πＧｍ²),

すなわち,2β²/ｃ²～(1/137)(λ_c/ａ)です。

(1/137)は,謂わゆる無単位の微細構造常数の近似値であり,

λ_cとａはそれぞれ粒子のCompton波長とSchwarzschildの

重力半径を示しています。

例えば,荷電粒子が電子であれば,β²/ｃ² ～ 10⁴⁵という大きな数

になります。

この場合は,ｃ²＝β²±Ｋ²の±はｃ²＝β²－Ｋ² とする必要があると

考えられます。

以上のようにKaluza-Kleinの理論は全ての点で電磁場と重力場

を時空の幾何学(geometry of space-time)として統一的に表現

することに一見成功しているように見えます。

しかし,実は電磁場が存在する場合の粒子の運動方程式：

ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_αβ(ｄｘ^α/ｄτ)(ｄｘ^β/ｄτ)

＝αβｆ^μ_ν(ｄｘ^ν/ｄτ)は,

φ_ΛとＡ_μの結合に関して具体的知識がなくても,

Ｌ_Mがスカラー密度でありさえすれば必ず得られる方程式

なので,理論からこの運動方程式が導かれたとしても直ちに

理論がφ_ΛとＡ_μの正しい結合を表現しているとは言えません。

　この理論は量子論ではなくて古典論にすぎず,また,強い相互作用

や弱い相互作用をも包摂して記述するには５次元では次元が小さ過ぎ

るとも言えます。

　重力場と電磁場のポテンシャルを計量テンソルを用いて統一的

に記述できたとしても,それだけでは単に重力場と電磁場をまとめて

便利な形に書き表わしたというに過ぎないという見方もできます。

　例えばこうした統一的記述のおかげで,素電荷ｅの存在理由とか,

Ｇとｅの間の未知であった新しい関係などが発見されるようなこと,

が少なくとも１つは表現されて,はじめて統一理論が真に実現され

たというべきだ,という批判もあろうと思われます。

(この項終わり)

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店) 

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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