カルツァ・クラインの５次元統一場理論(2)

　前回のつづきです。

　前記事では,無限小な局所的平行移動に対する全物理量の不変性

　を要求しましたが,

　実際には我々の時空の４次元座標(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)はそのままで,

　５番目軸であるｘ⁴軸に対してのみ平行移動をしたときの不変性

　を要求するのが妥当であると思われます。

　実際,あらゆる物理量がｘ⁴に依存しないなら,我々はその存在

　に気付かないからです。

　　そこで,平行移動:ｘⁱ→ ｘⁱ＋εξⁱ(ｘ)において,

　　ξⁱ(ｘ)≡δⁱ₄とします。

　　そして,これが ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 の解であるとします。

　　まず,ξ_i(ｘ)＝γ_ik(ｘ)δ^k₄＝γ_i4(ｘ)ですから,これを上の

　方程式に代入すると,∂γ_ij(ｘ)/∂ｘ⁴＝ 0 が得られます。

　つまり,計量(metric)γ_ijはｘ⁴ 軸には依存しないという帰結

　になります。

　また,ベクトル:ξの大きさが１,つまり,γ_ijξⁱξ^j＝1より,

　γ₄₄(ｘ)＝1を得ます。

　この余計なｘ⁴座標を分離すると,計量は

　ｄσ²＝γ₄₄(ｄｘ⁴)²＋2γ_μ4ｄｘ^μｄｘ⁴＋(γ_μ4ｄｘ^μ)²

　＋(γ_μν－γ_μ4γ_ν4)ｄｘ^μｄｘ^νとなります。

　ここで,まだ未定の定数αを用いてαＡ_μ≡γ_μ4＝γ_4μ,

　ｇ_μν≡γ_μν－γ_μ4γ_ν4と置きます。

　すると,γ₄₄＝1より,

　ｄσ²＝(ｄｘ⁴＋αＡ_μｄｘ^μ)²＋ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν

　と書けます。

　ここで見やすいように,改めてγ_μν＝ｇ_μν＋α²Ａ_μＡ_ν,

　γ_μ4＝γ_4μ＝αＡ_μ,γ₄₄＝1　と書きます。

　そして,γ_ijの逆行列γ^ijは,γ^ikγ_kj＝δⁱ_jより,

　γ^μν＝ｇ^μν,γ^μ4＝γ^4μ＝－αＡ^μ,γ⁴⁴＝1＋α²Ａ_μＡ^μ

　となることがわかります。ここにＡ^μ≡ｇ^μνＡ_νです。

　条件∂γ_ij(ｘ)/∂ｘ⁴＝0 ,およびγ₄₄(ｘ)＝1を保持する

　一般座標変換(＝微分同相写像)ｘⁱ → ｘ'ⁱは,ｆⁱを

　ｘ'^μ(μ＝0,1,2,3)の任意関数として,

　ｘⁱ＝ｘ'ⁱ＋ｆⁱ(ｘ'⁰,ｘ'¹,ｘ'²,ｘ'³)

　という形に限られます。

　これに対し,γ_ijは

　γ'_ij(ｘ')＝(∂ｘ^m/∂ｘ'ⁱ)(∂ｘⁿ/∂ｘ'^j)γ_mn(ｘ)

　と変換されます。

　これを分離すると,

　ｇ'_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)ｇ_ρσ(ｘ),Ａ'_μ

 ＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)Ａ_ρ＋(∂ｆ⁴/∂ｘ'^μ)/α,

　γ'₄₄＝γ₄₄＝1となります。

　ここで,この変換をｘ^μ＝ｘ'^μ,ｆ⁴＝－αλ(ｘ'⁰,ｘ'¹,ｘ'²,ｘ'³)

　とすれば,上述の変換性はｇ'_μν＝ｇ_μν,Ａ'_μ

　＝Ａ_μ－∂λ/∂ｘ^μ,γ₄₄＝1 となり,これはいわゆるゲージ変換

　と同じ形をしています。

　そこで,KaluzaはＡ_μを電磁場のポテンシャル,ｇ_μνを重力場の

　計量テンソルと同一視しました。

　それが妥当であるかどうかは場の方程式や荷電粒子の運動方程式

　を調べることによって判明するはずです。

　そのために,まず接続係数(特に:Christoffel's symbol)Γを

　求めてみます。

　計算結果だけ書くと,

　⁵Γ^λ_μν＝Γ^λ_μν－(α²/2)(ｆ^λ_μＡ_ν＋ｆ^λ_νＡ_μ),

　⁵Γ⁴_μν＝－αＡ_λ⁵Γ^λ_μν＋(α/2)Ｓ_μν,

⁵Γ^λ_4μ＝⁵Γ^λ_μ4＝－(α/2)ｆ^λ_μ,⁵Γ⁴_4μ＝⁵Γ⁴_μ4

　＝－(α²/2)(ｆ_μρＡ^ρ),⁵Γ^λ₄₄＝0,⁵Γ⁴₄₄＝0

　となります。

　ただしｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ,Ｓ_μν≡∂_μＡ_ν＋∂_νＡ_μです。

　今日はここまでとします。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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 物理学

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店) 

参考文献:内山龍雄 著「一般ゲージ場論序説」(岩波書店)