クレローの微分方程式１(解の存在定理の応用)

　ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の形の微分方程式をクレロー(Clairaut)の微分方程式(Alexis Claude Clairaut's equation)といいます。

　今日は,これの解法を与えてみます。

　ただし,もちろん,ｙ'はｄｙ/ｄｘを意味します。

　この方程式には代表的な２つの解法が知られていますが,これらを解法１,解法２と呼び,今日は解法1を紹介します。

※(解法１)：

　方程式:ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')にｙ'の代わりに,任意定数Ｃを

代入すると,"方程式の等傾曲線族,つまり傾きがすべて定数Ｃである

曲線族"として直線族：ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が得られます。

　この等傾曲線族は,その傾き:ｙ'＝ｄｙ/ｄｘが各点で.

この"曲線族＝直線"の傾きと一致するので,任意のＣに対して

確かに元の微分方程式の解になっています。

　今,φ(ｙ')がｙ'に関して微分可能であると仮定し,

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙとおけば,

　∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'≠0 ,

かつ,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0 を満足するような

点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')が存在するとき,

　ｙ'は(ｘ₀,ｙ₀)に十分近い全ての点(ｘ,ｙ)に対して,

ｙ'＝ｆ(ｘ,ｙ)なる陰関数という形で得られます。

　ここで,ｆ(ｘ,ｙ)は,もちろんｙ₀'＝ｆ(ｘ₀,ｙ₀)を満足し,

(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で連続です。

　偏導関数;∂ｆ/∂ｙ＝－(∂Φ/∂ｙ)/(∂Φ/∂ｙ')は∂Φ/∂ｙ'≠0

である限り,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で存在します。

　もちろん,∂Φ/∂ｙ,∂Φ/∂ｙ'は,点(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))に

対するものです。

　ここで,∂Φ/∂ｙ,∂Φ/∂ｙ'もΦ(ｘ,ｙ,ｙ')と同様,

それらの点で連続と仮定すると,∂ｆ/∂ｙもまた,

それらの点で連続となります。

　したがって,∂Φ/∂ｙ'≠0 であるような点(ｘ₀,ｙ₀)の近傍の

任意の閉領域では,|∂ｆ/∂ｙ|＜ｋなるｋ＞0 が存在し,

　その領域では「解の存在と一意性の定理」により,領域内の

任意の点を通る解の全てが一意的に存在して唯一の任意定数を

持つ一般解が得られることがわかります。

　Clairautの微分方程式:Φ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0

の場合には,∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ',∂Φ/∂ｙ＝－1

です。

　そこで,ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0 を満足しｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'≠0

であるような点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')が存在するとき,点(ｘ₀,ｙ₀)の近傍で,

一般解ｙ＝ψ(ｘ,Ｃ)が存在して,しかも一意的であることがわか

ります。

一方,Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝ｘＣ＋φ(Ｃ)－ｙ＝0 ,　

つまり,ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)を考えると,

これが全てのＣに対してΦ(ｘ,ｙ,ｙ')≡ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ＝0

の解となることは既に述べましたが,

これが一般解であるかどうかは示していません。

しかし,ある(ｘ₀,ｙ₀)が存在して,

Φ(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)＝ｘ₀Ｃ₀＋φ(Ｃ₀)－ｙ₀＝0 が成立するような

Ｃ₀が存在し∂Φ/∂ｙ'＝∂Φ/∂Ｃ₀＝ｘ₀＋ｄφ(Ｃ₀)/ｄＣ₀≠0

が成立する限り,

前と同様,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍の全ての点で

Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝ｘＣ＋φ(Ｃ)－ｙ＝0 となるようなＣ

が存在することがわかります。

ただし,もちろん∂Φ/∂Ｃは(ｘ,ｙ,Ｃ)に対する

(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)の近傍で連続なので,

∂ｆ/∂ｙ＝1/(∂Φ/∂ｙ')も連続であり,(ｘ₀,ｙ₀)の近傍での

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の一般解の存在領域と,

Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0 なるＣの存在領域は

全く一致します。

しかも解は１つの点(ｘ,ｙ)に対しては１価ですから,

結局Φ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0,またはｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が,

その存在領域に対応する一般解であることがわか

ります。

そして,実際にΦ(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)＝ｘ₀Ｃ₀＋φ(Ｃ₀)－ｙ₀＝0

を満足する点(ｘ₀,ｙ₀,Ｃ₀)は必ず存在します。

何故なら,φ(Ｃ)の定義域の任意の値Ｃ＝ｂを取れば点

(1,ｂ＋φ(ｂ),ｂ)は確かにΦ(ｘ,ｙ,Ｃ)＝0 上の点で

あるからです。

したがって,[ｘ＋ｄφ(Ｃ)/ｄＣ]_{ｘ＝1,Ｃ＝ｂ}

＝1＋[ｄφ(Ｃ)/ｄＣ]_Ｃ＝ｂ≠0 である限り,(1,ｂ＋φ(ｂ))

の近傍で,ｙ＝Ｃ＋φ(Ｃ)は一般解となります。

(Ｃはｂに十分近い値でｄφ/ｄＣはＣ＝ｂで連続であるとします。)

一般には,∂Φ/∂ｙ'＝0,かつΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の近傍でも

ｙ'＝ｆ(ｘ,ｙ),Φ(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))＝0 ,|∂ｆ/∂ｙ|＜ｋなる,

その点を通る関数ｆ(ｘ,ｙ)が存在する場合も多々あります。

しかし,この場合は∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ/ｄｙ'＝0 なので,

Φ(ｘ,ｙ,ｆ(ｘ,ｙ))＝0 なる,その点を通るｆ(ｘ,ｙ)が存在しても,

両辺をｙで偏微分したとき,

恒等的に∂Φ/∂ｙ＋(∂Φ/∂ｙ')(∂ｆ/∂ｙ)＝0 です。

これから,－1＋0・(∂ｆ/∂ｙ)＝0 となり,これを満たす

有界な(∂ｆ/∂ｙ)は存在しません。

よって,∂Φ/∂ｙ≠0 .かつ∂Φ/∂ｙ'＝0 なる点を初期値とする

ようなΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の解は存在と一意性の定理の仮定によって

保証された解ではない,と考えてよいでしょう。

しかし,もしそのような∂Φ/∂ｙ'＝0,∂Φ/∂ｙ≠ 0 なる点

を通る解上のその近傍の点に対して∂Φ/∂ｙ'≠0 で,

しかも∂Φ/∂ｙ',∂Φ/∂ｙが連続であれば,

その解はやはりΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の一般解であって

∂Φ/∂ｙ'＝0 なる点を通るものであると考えられます。

そこで,∂Φ/∂ｙ'＝0 が常に満足され,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0

も満足されるような解(ただし少なくとも,その上の１点では

∂Φ/∂ｙ'≠0)を特異解として取るべきであると考えられます。

∂Φ/∂ｙ'＝0,∂Φ/∂ｙ≠0,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 なる

１点を(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')とすると,∂²Φ/∂ｙ'²≠0 であり

さえすれば,

(∂Φ/∂ｙ)(∂²Φ/∂ｙ'²)－(∂Φ/∂ｙ')[∂²Φ/(∂ｙ'∂ｙ)]

＝(∂Φ/∂ｙ)(∂²Φ/∂ｙ'²)≠0 です。

そこで,Φ(ｘ,ｙ,ｙ')と∂Φ/∂ｙ',および,それらの全ての

偏導関数が点(ｘ₀,ｙ₀,ｙ₀')とその近傍で連続である限り,

ｘ₀に十分近いｘに対してΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0,∂Φ/∂ｙ'＝0

を満足し,連続で１階導関数を持ち(ｘ₀,ｙ₀),および(ｘ₀,ｙ₀')

を通る関数ｙ＝ψ(ｘ),およびｙ'＝ω(ｘ)が存在することが

わかります。

このとき,ｘ＝ｘ₀とその近傍でψ'(ｘ)＝ω(ｘ)が恒等的に

成立すれば,確かにｙ＝ψ(ｘ)はΦ(ｘ,ψ(ｘ),ψ'(ｘ))＝0,

かつ [∂Φ(ｘ,ｙ,ｙ')/∂ｙ']_{y=ψ(x),y'=ψ'(x)}＝0 を満足する

ので特異解となります。

今のClaieautの微分方程式の場合は,

Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ｘｙ'＋φ(ｙ')－ｙ,

∂Φ/∂ｙ'＝ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'なので,

全ての点で∂Φ/∂ｙ＝－1≠0 です。

したがって,∂²Φ/∂ｙ'²＝∂²φ/∂ｙ'²が存在して,

しかもゼロではないような点の近傍で,それが連続なら

ｙ＝ψ(ｘ),ｙ'＝ω(ｘ)なるΦ(ｘ,ｙ,ｙ')＝ 0,∂Φ/∂ｙ'＝0

を同時に満たす陰関数が必ず存在します。

次に,このｙ＝ψ(ｘ)が確かに微分方程式Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0

の解となることを示しましょう。

ｙ,ｙ'をｘの連続な関数と考えると, 0＝ｄΦ/ｄｘ

＝∂Φ/∂ｘ＋(∂Φ/∂ｙ)(ｄｙ/ｄｘ)＋(∂Φ/∂ｙ')(ｄｙ'/ｄｘ)

です。

ここでｙ'＝ω(ｘ)は∂Φ/∂ｙ'＝0 を満足し,ｙ＝ψ(ｘ),

ｙ'＝ω(ｘ)は確かに有界な導関数を持ちますから,

これらと∂Φ/∂ｘ＝ｙ'＝ω(ｘ),∂Φ/∂ｙ＝－1を代入すると,

0＝ω(ｘ)－ｄψ(ｘ)/ｄｘとなります。

結局,ｄψ(ｘ)/ｄｘ＝ω(ｘ)ですから,

ｙ＝ψ(ｘ)は確かに微分方程式Φ(ｘ,ｙ,ｙ')＝0 の解です。

以上から,ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ'),ｘ＋ｄφ(ｙ')/ｄｙ'＝0 から

ｙ'を消去して得られる解ｙ＝ψ(ｘ)が存在すれば,

それはClauraurの微分方程式:ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の特異解

であることが示されました。

今日はここまでとし,解法２については次回に書きます。

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