クレローの微分方程式２(常微分方程式の解の存在定理の応用)

　前回に続き,クレロー(A.C.Clairaut)の微分方程式:

ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の解法です。

　今日は解法２です。

　※(解法２)：

　ｙ'＝ｐとオけば方程式ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')は,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)と書けます。

　一般に１階常微分方程式がｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')なる形で与えられて

いるとき,ｙ'＝ｐと置けば,これはｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)と書けます。

　そこで,もしも方程式系：ｙ'＝ｐ,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)を満足する

ようなｘの関数ｐ＝ｐ(ｘ)が存在するなら,

　ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))の両辺は,もちろんｘで微分可能なので,

ｄｙ＝ｐｄｘ,かつ,ｄｙ＝ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｐ)ｄｐ

が成立します。

(ここで,ｆ(ｘ,ｐ)はその定義域で連続な偏導関数∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｐ

を持つと仮定しています。)

それ故,ｐｄｘ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｐ)ｄｐ

⇔ ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

が得られます。

∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｐはｘとｐのみの関数ですから,

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)は,

ｘの関数ｐに対する微分方程式になっています。

特に,∂ｆ/∂ｐ≠0 の場合は,容易に正規形；

ｄｐ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｐ)なる形式に変形できます。

逆に,ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)を

満足するｘの関数ｐ＝ｐ(ｘ)が存在するなら,

そのようなｐ(ｘ)を代入して得られる関数：

ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))は,確かにｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')

の解です。

何故なら,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)に対しては,

ｙ'＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ),かつ

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)より,

ｙ'＝ｐが成立するので,明らかにｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)＝ｆ(ｘ,ｙ')

となるからです。

(解法１)と同様な考察から,ｆ(ｘ,ｐ)が連続で,∂ｆ/∂ｐ

もまた連続かつゼロでないような点(ｘ,ｐ)の十分近傍の

領域では,Φ(ｘ,ｙ,ｐ)≡ｙ－ｆ(ｘ,ｐ)＝0 は連続な

陰関数ｐ＝ｐ(ｘ,ｙ)を持ちます。

このとき,∂Φ(ｘ,ｙ,ｐ(ｘ,ｙ))/∂ｙ＝1－(∂ｆ/∂ｐ)(∂ｐ/∂ｙ)

＝0 により,∂ｐ/∂ｙ＝1/(∂ｆ/∂ｐ)です。

そして今の場合,∂ｆ/∂ｐは∂ｆ/∂ｐ≠0 を満たし,かつ連続

と仮定しているので,∂ｐ/∂ｙは点(ｘ,ｐ)の十分近傍の閉領域

で有界となり,ｙ'＝ｐ(ｘ,ｙ)は存在と一意性に保証された

一般解のみを与えます。

すなわち,∂ｆ/∂ｐが連続,かつゼロでないような場合のｐに

対してはｙ＝ｆ(ｘ,ｐ(ｘ))は一般解です。

このとき,ｐ(ｘ)＝ψ(ｘ,Ｃ)なる形でｐに対する解も得られます。

一方,∂Φ/∂ｐ＝－∂ｆ/∂ｐ＝0,∂Φ²/∂ｐ²＝－∂ｆ²/∂ｐ²≠0

でΦ(ｘ,ｙ,ｐ)＝ｙ－ｆ(ｘ,ｐ)＝0 なる点(ｘ₀,ｙ₀,ｐ₀)が存在

すれば,∂Φ/∂ｙ＝1≠0 が常に成立することから,

ｘ₀ に十分近いｘに対して,連続で１階導関数を持ち,

∂ｆ/∂ｐ＝0 かつｙ＝ｆ(ｘ,ｐ)を満足する関数：

ｙ＝ψ(ｘ),ｐ＝ω(ｘ)が存在して,ｙ₀＝ψ(ｘ₀),

ｐ₀＝ω(ｘ₀)を満たします。

そこで,もしψ'(ｘ)＝ω(ｘ)が成立するなら,ｙ＝ψ(ｘ)は

ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の特異解となります。

それ故,∂²ｆ/∂ｐ²≠0 と仮定すれば,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),

かつｙ'＝ｐなる式からｐを消去して,ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')

の特異解を求めることができます。

ところが,ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),かつｙ'＝ｐは,

ｙ＝ｆ(ｘ,ｐ),かつｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

と同値です。

すなわち,ｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の解の全ては,ｐに対する微分方程式：

ｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)から得られる

解ｐ(ｘ)をｆ(ｘ,ｐ)に代入して得られます。

"∂ｆ/∂ｐ＝0,かつｐ＝(∂ｆ/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｐ)(ｄｐ/ｄｘ)

⇔ ∂ｆ/∂ｐ＝0 ,かつｐ＝∂ｆ/∂ｘ"ですから,

もしこれらを同時に満足するｐ＝ω(ｘ)が存在すれば,

ｙ＝ｆ(ｘ,ω(ｘ))は確かにｙ＝ｆ(ｘ,ｙ')の特異解

となります。

以上の考察から,Clairautの微分方程式については,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,ｐ＝ｐ＋[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ',

すなわち[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ'＝0 の解ｐ＝ω(ｘ)を代入した

関数ｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))が解となることがわかります。

(1)Clairautの微分方程式では,ｆ(ｘ,ｐ)＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,

∂ｆ/∂ｐ＝ｘ＋φ'(ｐ)ですからｘ＋φ'(ｐ)≠0 に対しては,

[ｘ＋φ'(ｐ)]ｐ'＝0 はｐ'＝0 を意味し,このとき,

ｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)は一般解です。

ｐ'＝0 よりｐ＝Ｃ(Ｃは任意定数)が得られることから,

結局ｙ＝ｘＣ＋φ(Ｃ)が一般解として得られます。

(2)ｆ(ｘ,ｐ)＝ｘｐ＋φ(ｐ)より,∂ｆ/∂ｘ＝ｐですから,

ｐ＝∂ｆ/∂ｘは如何なる関数ｐ(ｘ)に対しても成立するので,

∂ｆ/∂ｐ＝ｘ＋φ'(ｐ)＝0 ,かつｙ＝ｘｐ＋φ(ｐ)から

ｐを消去すれば,ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の特異解が得られます。

あるいは実際に計算してｘ＋φ'(ｐ)＝0 なるｐ＝ω(ｘ)を代入して

ｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))を作ると,

ｙ'＝ω(ｘ)＋[ｘ＋φ'(ω(ｘ))]ω'(ｘ)＝ω(ｘ)より,

確かにｙ＝ｘω(ｘ)＋φ(ω(ｘ))がｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')の解

であることがわかります。

(ただ特異解であるかどうかを厳密に判定するには,

やはり∂ｆ/∂ｙ'＝∂ｆ/∂ｐ＝0 となることを確

かめる必要があります。)

Clairautの微分方程式は

"接線が接線自身にのみ関係して接点には関係しないような

与えられた性質を持つ曲線を決定する。"

という幾何学的問題から導かれます。

すなわち,接線の方程式は,その流通座標を(Ｘ,Ｙ)とするとき,

曲線上の任意の点(ｘ,ｙ)において,Ｙ－ｙ＝ｙ'(Ｘ－ｘ)

⇔Ｙ＝ｙ'Ｘ＋(ｙ－ｘｙ')　と表わされます。

直線というのは,一般にその"勾配＝傾き"とｙ切片を与えること

によって完全に決まりますから,接線の性質は全て(ｙ－ｘｙ')

とｙ'の関係として,Φ(ｙ－ｘｙ',ｙ')＝0 と表わされます。

これを(ｙ－ｘｙ')について解けば,ｙ－ｘｙ'＝φ(ｙ'),つまり,

Clairautの微分方程式：ｙ＝ｘｙ'＋φ(ｙ')が得られるわけです。

(以上,この項終わり)

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