カルツァ・クラインの５次元統一場理論(１)

　今日は量子論ではなく古典論ですが。。。

　現在では,素粒子論'(量子論)のモデルとしての超弦理論

(Superstring theory)などにおいて,26次元や10次元,11次元

など当たり前とされている,４次元より大きい時空の,

　余剰次元を想定する理論のはしりとなった1920年代の

Kaluza- Klein(カルツァ・クライン)による５次元統一場理論

の内容を紹介します。 

　その昔,私がM２のときに何ヶ月間か,毎週１回,一般相対性理論

の集中講義を受けた故内山龍雄先生の著わした

「一般ゲージ場論序説」(岩波書店)に基づいて,これを紹介したい

と思います。

　まず,４次元時空よりも大きい５次元の擬Riemann空間

の中に,適当な座標を設けて,その空間内の位置座標が,

ｘⁱ(ｉ＝0,1,2,3,4)で与えられるとします。

　以下,ラテン文字の添字は 0～4を示し,

ギリシャ文字の添字μ,ν,λ,etc.は通常の時空座標 0～3

を示すとします。

　隣接した２点間ｘⁱとｘⁱ＋Δｘⁱの距離は,

　Δσ²(ｘ)≡γ_ij(ｘ)ΔｘⁱΔｘ^jで与えられるとします。

　そして,この５次元時空においては局所対称性があり,

全ての物理量は無限小な平行移動：ｘⁱ→ ｘⁱ＋εξⁱ(ｘ)

に対して,その値を変えないとします。

　ただし,ξⁱは大きさ１の５次元ベクトル成分(γ_ijξⁱξ^j＝１),

εは無限小の任意パラメータです。

　それ故,Δσ²(ｘ＋εξ)＝Δσ²(ｘ),

　　すなわち,γ_ij(ｘ＋εξ)Δ(ｘⁱ＋εξⁱ)Δ(ｘ^j＋εξ^j)

　＝γ_ij(ｘ)ΔｘⁱΔｘ^jが成立します。

　　この等式は,εの１次までの近似では,Δξⁱ＝ξⁱ,_kΔｘ^kより

　γ_ij,kξ^k＋γ_kjξ^k,_j＋γ_kjξ^k,_j＝0,

　または, ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 　となります。

　　ただし,ξⁱ,_k≡∂ξⁱ/∂ｘ^k, γ_ij,k≡∂γ_ij/∂ｘ^k,

　 ⁵∇_iξ_j≡∂ξⁱ/∂ｘ^j－⁵Γ^k_ijξ_k, ⁵Γ^k_ij

 ≡γ^kl(γ_li,j＋γ_lj,i－γ_ij,l)/2≡γ^kl・⁵Γ^k_k,ij

　です。

　そして. ⁵∇_iξ_j＋⁵∇_jξ_i＝0 は一般相対論でよく

知られたKillingの方程式であり,ξⁱ(ｘ)はKillingのベクトル

と呼ばれます。

　今日も夜勤の仕事のため時間がないので,これまでとして,

　続きは後日書きます。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

 物理学