膨張宇宙における赤方偏移１

　膨張する宇宙において,膨張因子:ａ(ｔ)を含む,

Robertson-Walker計量を書き下すと,

ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ａ(ｔ)²[ｄｒ²/(1－ｋｒ²)＋ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)

となります。

　そこで,この宇宙の計量(metric)による線素の中で光が伝播するとき,

その振動数が,どのように変化するか？を見てみます。

　謂わゆる赤方偏移(red-shift)と呼ばれる現象について,以下で

記述してみましょう。

　遠方の銀河(ｒ＝ｒ₁)から観測者(ｒ＝0)まで光が伝播するとし,

簡単のために,光の進む方向をθ＝φ＝0 (一定)とします。

　そして光源から光の出る時刻をｔ＝ｔ₁,それが観測者に到達する

時刻をｔ＝ｔ₀とします。

　すると,ｄｓ²＝0 より,(ｃ/ａ)(ｄｔ/ｄｒ)＝±1/(1－ｋｒ²)^1/2

ですが,ｔの増加に対してｒが減少する現象を考えているので,

(－)符号を取って,ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2

となります。

　同様に,ｔ₁＋δｔ₁に発射された光がｔ₀＋δｔ₀に観測者に到達する

とすれば,ｃ∫_t1＋δt1^t0＋δt0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2 

＝ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)です。

　そこで,ａ(ｔ)の変化する時間に比べてδｔが十分小さいなら,

δｔ₀/ａ(ｔ₀)＝δｔ₁/ａ(ｔ₁) なる等式が成立します。

　そこで,もしも光源において,光がδｔ₁の間にｎ回振動していた

なら,光源での振動数をν₁,観測者が観測する振動数をν₀とすると,

　ν₁＝ｎ/δｔ₁, ν₀＝ｎ/δｔ₀ により,

　ν₁/ν₀＝δｔ₀/δｔ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)

となるはずです。

　これを振動数の代わりに波長λ₁,λ₀で表現すれば,

λ₀/λ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁) ですね。

　光の赤方偏移：ｚの定義は,ｚ≡(λ₀－λ₁)/λ₁＝(λ₀/λ₁)－1　

で与えられますから,ｚ＋1＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)です。

　これによって,ａ(ｔ₀)＞ａ(ｔ₁)と宇宙が膨張している場合には,

ｚ＞0 となります。

　また,ｃ∫_t1^t0ｄｔ/ａ(ｔ)＝∫₀^r1ｄｒ/(1－ｋｒ²)^1/2より,

ｒが小さいならｒ₁ ～ c(ｔ₀－ｔ₁)/ａ(ｔ₀) と近似できます。

　一方,ａ(ｔ₁)はａ(ｔ₁)＝ａ(ｔ₀)

－(ｔ₀－ｔ₁)[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]₀/ａ(ｔ₀)＋...

とTaylor展開できて,

　Ｈ₀をHubble定数とすると,Ｈ₀＝[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]₀なので,

1/(1＋ｚ)＝ａ(ｔ₁)/ａ(ｔ₀)＝1－Ｈ₀(ｔ₀－ｔ₁)＋...

となります。

無次元のパラメータｒに対して実際の長さの単位を持つ固有距離；

Ｒ≡ａｒを用いると,ｚが小さい範囲では,

　ｚ ～ Ｈ₀(ｔ₀－ｔ₁)～ ａ(ｔ₀)ｒ₁Ｈ₀/ｃ＝Ｈ₀Ｒ/ｃ,

　すなわち,ｃｚ～ Ｈ₀Ｒ と書けます。

　ここで,赤方偏移を膨張によって光源が遠ざかることによる

Doppler効果の結果であるとみなすこともできます。

　一般にDoppler効果は,ν₁＝ν₀[1－(ｖ・ｅ)]/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2

(ｖは光源の運動速度,ｅは光の進む光線の向き)で与えられます。

　今の,θ＝φ＝0 (一定)の場合には,

ν₁～ν₀(1＋ｖ/ｃ) ⇔ (ν₁/ν₀)－1＝ｖ/ｃ

⇔ (λ₀/λ₁)－1＝ｖ/ｃ,

　すなわち,ｚ～ｖ/ｃ　と書けます。

　　結局,ｖ＝ｃｚ＝Ｈ₀Ｒが得られますが,これはHubbleの膨張則

そのものですね。

　こうして,赤方偏移は一種のDoppler効果と捉えることも

できます。

　この意味が明らかに見えるように,先に求めた式:

　ν₁/ν₀＝δｔ₀/δｔ₁＝ａ(ｔ₀)/ａ(ｔ₁)

を見直してみます。

　すなわち,微小時間間隔Δｔを伝播する間に起こるDoppler効果

による振動数の偏移をΔνとすると,これはΔν＝－(ｖ/ｃ)νです。

　これとHubbleの膨張則:ｖ＝ＨＲ＝[(ｄａ/ｄｔ)/ａ]ｃΔｔから

　Δν/ν＝－Δａ/ａ,

　すなわち,ａ(ｔ)ν(ｔ)＝(一定)という結果が得られます。

　これは,先に計量から求めたのと全く同じ式を表わしていますね。

　この赤方偏移は,観測者が光源に対して運動する座標系から観測

するために光子のエネルギーが減少する(ｈν₀＜ｈν₁)ことを表わ

しています。

　しかし,これを"光子が何らかの作用でエネルギーを失なっている,

と考えるのは,妥当ではありません。

　そもそも粒子の速度は座標系の取り方によって違うので,

座標系が異なればエネルギーも運動量も異なるのです。

　例えば,旅客機の乗客が機内で移動するときの乗客の運動

エネルギーは,旅客機を基準座標系とすれば微々たるものです

が,地上を基準座標系とすれば,かなり大きい値になります。

　光の場合は速度の大きさは座標系に依存しませんが,

エネルギーや運動量は座標系に依存すると考えていいです。

　光子がエネルギーを失なっていると見るならば,そのエネル

ギーが何に転化しているのか?が問題になりますが,

　今の場合は,次々に光のエネルギーが減少していると見える

座標系に移って観測しているだけですね。

(つづく)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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