２階線形常微分方程式と確定特異点

線形常微分方程式に関連する話題の続きです。

まず,複素数ｚを独立変数とする２階線形斉次常微分方程式を

ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 と書きます。

ただし,ｐ(ｚ),ｑ(ｚ)はｚの有理関数であると仮定します。

※(注):有理関数とはｚの多項式を分子,分母とするような,ｚの多項式の四

則演算のみから得られる関数のことです。

これに対して,ｚの有理関数のルートやベキ根をとるような関数はｚの

無理関数といわれます。(注終わり)※

そして,ｐ(ｚ),ｑ(ｚ)のいずれか,または両方がｚ＝αに１つの極を持つとします。

このとき,先に述べた定理のｎ＝２のケースに相当して,次の定理が

成立します。

"２階線形斉次常微分方程式:ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 で係数

ｐ(ｚ),ｑ(ｚ)は領域Ｄ＝{ｚ∈Ｃ|0＜|ｚ－α|＜ｒ}で正則とする。

このとき,この微分方程式がｚ＝αを確定特異点とする異なる２つの

独立な解を持つための必要十分条件は,ｐ(ｚ)とｑ(ｚ)がｚ＝αに

それぞれ高々１位と高々２位の極を持つことである。

すなわち,ｐ(ｚ)≡Ｐ(ｚ)/(ｚ－α),ｑ(ｚ)≡Ｑ(ｚ)/(ｚ－α)²とおけば

Ｐ(ｚ),Ｑ(ｚ)がｚ＝αで正則なることが必要十分条件である。

つまり,上記の必要十分条件はＰ(ｚ),Ｑ(ｚ)が|ｚ－α|＜ｒで正則

でΣ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数展開可能なことである。"

という定理ですね。

そして,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の解の解析性を完全に理解するためには,ｐ(ｚ),ｑ(ｚ)が無限遠点ｚ＝∞を極とする場合,つまり解がｚ＝∞ に特異点を取る場合も考慮しなければなりません。

すなわち,対象とする領域は全複素ｚ平面Ｃだけではなく複素関数論で通常考察される全ｚ平面であるところのＣ∪{∞}とします。

ここで,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 においてｚ＝∞ が正則点である,

または特異点であるとは,この方程式をｚ≡1/ｕによってｕの２階方程式

に変換したとき,その方程式において,それぞれｕ＝0 が正則点である,

または特異点であることである。と定義します。

まあ,これは全く妥当な(well-definedな)定義です。

ｚ≡1/ｕとおけばｄｚ＝－ｄｕ/ｕ²より,ｄ/ｄｚ＝－ｕ²(ｄ/ｄｕ)

です。

それ故,ｄ²/ｄｚ²＝ｕ²(ｄ/ｄｕ){ｕ²(ｄ/ｄｕ)}

＝2ｕ³(ｄ/ｄｕ)＋ｕ⁴(ｄ²/ｄｕ²)　となります。

結局,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 は,

(ｄ²ｙ/ｄｕ²)＋[2/ｕ－(1/ｕ²)ｐ(1/ｕ)](ｄｙ/ｄｕ)＋(1/ｕ⁴)ｑ(1/ｕ)

＝0 　と変換されます。

したがって,無限遠点ｚ＝∞ に対しては,上述の定理は,

"ｚ＝∞ がｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の正則点であるための条件は

ｚ{2－ｚｐ(ｚ)}とｚ⁴ｑ(ｚ)がｚ＝∞ で正則であることである。

特に前者はlim_z→∞ｚｐ(ｚ)＝2 が必要条件なることを意味する。

そしてｚ＝∞が確定特異点であるための必要十分条件はｚｐ(ｚ)とｚ²ｑ(ｚ)がｚ＝∞ で正則(有限)であることである。"

となります。

例えば,ｙ"－{2ｚ/(1－ｚ)}ｙ'＋{2/(1－ｚ²)}ｙ＝0 ではｚ＝∞ は確定特異点ですが,Besselの微分方程式ｚ²ｙ"－ｚｙ'＋(ｚ²－ν²)ｙ＝0 ではｚ＝0 は確定特異点ですが,ｚ＝∞ は不確定特異点です。

次に,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の確定特異点ｚ＝αの近傍における解は,ｙ(ｚ)＝(ｚ－α){ｆ(ｚ)＋ｇ(ｚ)log(ｚ－α)}(ｆ(ｚ),ｇ(ｚ)はｚ＝αで正則な関数)という一般式で与えられますから,

Frobenius(フロベニウス)の方法に基づき,確定特異点ｚ＝αの近傍においてｆ(ｚ),ｇ(ｚ)が(ｚ－α)の正ベキの級数に展開できることを用いて微分方程式を具体的に解くことを試みます。

一般性を失うことなく,特異点はｚ＝0 であるとします。

先の定理によって,ｚｐ(ｚ)とｚ²ｑ(ｚ)はｚ＝0 で正則であるはずです

から,Ｐ(ｚ)≡ｚｐ(ｚ),Ｑ(ｚ)≡ｚ²ｑ(ｚ)として,これらをｚのベキ

級数で展開したものを,Ｐ(ｚ)≡Σ_k=0^∞Ｐ_kｚ^k,Ｑ(ｚ)≡Σ_k=0^∞Ｑ_kｚ^kと

表現しておきます。

また,元の方程式をＬ(ｙ)≡ｚ²ｙ"＋ｚＰ(ｚ)ｙ'＋ Ｑ(ｚ)ｙ＝0 と書き直しておきます。

このとき,Ｌ(ｚ^ρ)＝ρ(ρ－1)ｚ^ρ＋ρＰ(ｚ)ｚ^ρ＋Ｑ(ｚ)ｚ^ρ

＝φ(ｚ,ρ)ｚ^ρ,ただしφ(ｚ,ρ)≡ρ(ρ－1)＋ρＰ(ｚ)＋Ｑ(ｚ)

であり,これはφ(ｚ,ρ)＝φ₀(ρ)＋φ₁(ρ)ｚ＋φ₂(ρ)ｚ²＋..と

展開できるはずです。

未定係数法が適用できるとして,両辺のｚの各ベキの係数を比較することにより,φ₀(ρ)＝ρ(ρ－1)＋ρＰ₀＋Ｑ₀,φ_k(ρ)＝ρＰ_k＋Ｑ_k

(ｋ＝1,2,...)なる等式群が得られます。

まず,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の解でlogｚに関わる項が現われ

ない場合を想定してｙ(ｚ)≡ｚ^ρΣ_k=0^∞ａ_kｚ^kと置きます。

ここでρはｙ(ｚ)のｚ＝0 における指数と呼ばれます。

ｙ(ｚ)≡ｚ^ρΣ_k=0^∞ａ_kｚ^kという形式解をＬ(ｙ)≡ｚ²ｙ"＋ｚＰ(ｚ)ｙ'

＋ Ｑ(ｚ)ｙ＝0 に代入すると,

Ｌ(ｙ)＝Σ_k=0^∞ａ_kＬ(ｚ^ρ+k)

＝ｚ^ρΣ_k=0^∞ａ_k[φ₀(ρ＋ｋ)＋φ₁(ρ＋ｋ)ｚ＋φ₂(ρ＋ｋ)ｚ²＋..]ｚ^k

＝0 となります。

したがって,再び未定係数法を適用してａ₀φ₀(ρ)＝0,

ａ₁φ₀(ρ＋1)＋ａ₀φ₁(ρ)＝0...＋ａ_kφ₀(ρ＋ｋ)＋ａ₀φ₁(ρ＋ｋ－1)＋...＋ａ₀φ_k(ρ)＝0 が得られます。

まず,ａ₀φ₀(ρ)＝0 においてａ₀＝任意の定数≠0 なのでφ₀(ρ)

＝ρ(ρ－1)＋ρＰ₀＋Ｑ₀＝0 が成立します。

これはρに関する２次方程式であり,ρの決定方程式と呼ばれます。

そして,その２根をρ＝ρ₁,ρ₂とするとき,ρ₁－ρ₂が整数であるかどうかによって方程式の解き方が異なります。

① ρ₁－ρ₂≠(整数)のとき

　ρ＝ρ_i (ｉ＝1,2)とします。

　Ｌ(ｙ)＝0 のベキｚ^ρ+kについての未定係数法による第２式:ａ₁φ₀(ρ_i＋1)＋ａ₀φ₁(ρ_i)＝0 から,ａ₁＝－ａ₀φ₁(ρ_i)/φ₀(ρ_i＋1) となり,ａ₀＝任意の定数≠0 を与えることによりａ₁も決まります。

　これはρ₁－ρ₂≠(整数)なので,φ₀(ρ_i)＝0 なら確実にφ₀(ρ_i＋1)≠0 がいえるからです。

　同様に,第3,4,..式から漸化式により順にａ₂,ａ₃,..が決まります。

今の場合ρ₁－ρ₂≠(整数)なので,ａ_kφ₀(ρ_i＋ｋ)＋ａ_k-1φ₁(ρ_i＋ｋ－1)＋..＋ａ₀φ_k(ρ_i)＝0 (ｋ＝1,2,..)においてａ_kの係数φ₀(ρ_i＋ｋ)が決して 0 にはならないので,ａ₀＝任意の定数≠0 を与えれば原理的には全てのａ_kが決まります。

そこで,ρ＝ρ₁,ρ₂ のそれぞれに対してａ_kの列:{ａ⁽¹⁾_k},{ａ⁽²⁾_k}が得ら

れるので,これに対応して,ｙ¹＝ｚ^ρ1Σ_k=0^∞ａ⁽¹⁾_kｚ^k,

ｙ²＝ｚ^ρ2Σ_k=0^∞ａ⁽²⁾_kｚ^k が得られます。

これら２つの解は明らかに互いに1次独立なので,

ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の１組の基本解です。

②ρ₁－ρ₂＝(整数)のとき

　 決定方程式の根をρ＝ρ₁,ρ_2,ただし,ρ₂＝ρ₁－ｍ (ｍは 0 ,または

　正の整数)とします。

　ρ₁についてはρ₁≧ρ₂ですから,ｋ＝1,2,..に対してφ₀(ρ₁＋ｋ)＝0

　となることはないので,

　上の①の方法に従ってｙ¹＝ｚ^ρ1Σ_k=0^∞ａ⁽¹⁾_k ｚ^kが求まります。

　一方ρ＝ρ₂に対しては,φ₀(ρ₂＋ｍ)＝0 となるので,

　ａ_kφ₀(ρ₂＋ｋ)＋ａ_k-1φ₁(ρ₂＋ｋ－1)＋..＋ａ₀φ_k(ρ₂)＝0 において,

　ｋ＝ｍとしたときにａ_mが決まりません。

　それ故,ｋ≧ｍの全てのｋに対しａ_kを求めることができません。

　そこで,ａ₀φ₀(ρ)＝0 ,ａ₁φ₀(ρ＋1)＋ａ₀φ₁(ρ)＝0 ,..,

　ａ_kφ₀(ρ＋ｋ)＋ａ_k-1φ₁(ρ＋ｋ－1)＋．．＋ａ₀φ_k(ρ)＝0 において,

　ρ＝ρ₂ としないで,ρはａ₀φ₀(ρ)≠0 の未知パラメータのまま残して

　おきます。

　そして,元々ａ₀はゼロでなければ何でもいいわけですから,ａ₀をρの関数としてａ₀＝ａ₀(ρ)≡φ₀(ρ＋ｍ)としておきます。

　ａ₀φ₀(ρ)≠0 ではありますが,とりあえずａ₀＝ａ₀(ρ)≡φ₀(ρ＋ｍ)は与えられていますから,第２式以下,ａ₁φ₀(ρ＋1)＋ａ₀φ₁(ρ)＝0,...,ａ_kφ₀(ρ＋ｋ)＋ａ_k-1φ₁(ρ＋ｋ－1)＋...＋ａ₀φ_k(ρ)＝0 は普通に成立するとします。

　これから,ａ₁(ρ)＝－ａ₀(ρ)φ₁(ρ)/φ₀(ρ_i＋1),..．以下,ａ_k(ρ)を全て決めることができて,これらによるベキ級数:ｕ(ｚ,ρ)をｕ(ｚ,ρ)≡ｚ^ρΣ_k=0^∞ａ_k(ρ)ｚ^kで定義します。

　これを微分方程式の左辺に代入することによって,Ｌ[ｕ(ｚ,ρ)]＝ａ₀(ρ)φ₀(ρ)ｚ^ρ＝φ₀(ρ＋ｍ)φ₀(ρ)ｚ^ρが成立します。

　この等式で両辺をρで偏微分し,その後でρ＝ρ₁－ｍ＝ρ₂と置くことにします。

　φ₀(ρ_i)＝0 (ｉ＝1,2)なので,Ｌ[∂ｕ(ｚ,ρ)/∂ρ|_ρ＝ρ2]＝[φ₀'(ρ₁)φ₀(ρ₂)＋φ₀(ρ₁)φ₀'(ρ₂)＋φ₀(ρ₁)φ₀(ρ₂)logｚ]＝0 が成立します。すなわちｙ＝∂ｕ(ｚ,ρ)/∂ρ|_ρ＝ρ2 はＬ(ｙ)≡ｚ²ｙ"＋ｚＰ(ｚ)ｙ'＋ Ｑ(ｚ)ｙ＝0 の解であることがわかりました。

　ｕ(ｚ,ρ)＝ｚ^ρΣ_k=0^∞ａ_k(ρ)ｚ^kなので,ｙ＝∂ｕ(ｚ,ρ)/∂ρ|_ρ＝ρ2＝ｚ^ρ2Σ_k=0^∞[ａ_k(ρ)'|_ρ＝ρ2＋ａ_k(ρ₂)logｚ]ｚ^kですが,ａ₀(ρ₂)＝φ₀(ρ₁)＝0 です。

　明らかにａ_k(ρ₂)∝ａ₀(ρ₂)ですから,ａ_k(ρ₂)＝0 (ｋ＝0,1,2,..,ｍ－1)であり,そこで[ ]の中の第２項に関わる項はｚ^ρ2Σ_k=ｍ^∞ａ_k(ρ₂)ｚ^klogｚ＝ｚ^ρ1Σ_k=0^∞ａ_ｍ+k(ρ₂)ｚ^klogｚとなります。

　ところで,実はａ₀(ρ₂)＝φ₀(ρ₁)＝0,ａ_k(ρ₂)＝0 (ｋ＝0,1,2,．．ｍ－1)を用いた後で,ａ_ｍ+k(ρ₂)＝ａ_ｍ+k(ρ₁－ｍ) (ｋ＝0,1,2,..,ｍ－1)を求める漸化式はａ_k(ρ₁)を求める式と完全に一致します。

　そこで,ａ_ｍ+k(ρ₂)＝ｃａ_k(ρ₁)となり,結局第２項はｚ^ρ2Σ_k=ｍ^∞ａ_k(ρ₂)ｚ^klogｚ＝ｚ^ρ1Σ_k=0^∞ａ_ｍ+k(ρ₂)ｚ^klogｚ＝ｃｙ¹(ｚ)logｚとなることがわかりました。

　以上の結果をまとめると,結局ρ＝ρ₁,ρ₂＝ρ₁,ρ₁－ｍ（ｍは0または正の整数の場合には,ｙ"＋ｐ(ｚ)ｙ'＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 の２つの独立な解はｙ¹(ｚ)＝ｚ^ρ1Σ_k=0^∞ａ¹_k ｚ^k,ｙ²(ｚ)＝ｚ^ρ2Σ_k=0^∞ａ_k(ρ)'|_ρ＝ρ2ｚ^k＋ｃｙ¹(ｚ)logｚで与えられることが示されました。

　以上が決定方程式から指数ρを定めてｚ^ρとｚ^ρlogｚの係数であるｚの正則関数をｚの正のベキ級数に展開してその係数を未定係数法によって決定するFrobeniusの方法です。

今日はここまでとします。これらについては帝京大病院で入院から１週間くらいまでに勉強して得られた成果の一部です。

参考文献:稲見武雄 著「常微分方程式」(岩波書店)

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