解の一意性のための必要十分条件(2)(岡村博氏による)

　まず前回からの続きです。

　前回の終わりでは解の一意性のための十分条件を拡張することによって,未知関数が１個の場合には一意性のための必要十分条件が得られる,という結論に到達しました。

　しかし,そうした条件,殊に必要条件の形式,および証明について,他にも取ることができるかどうかを改めて考えます。

　まず,先に到達した条件は形式的にはまだまだ拡張できることがすぐわかります。

　実際,関数φの連続性や微分可能性は仮定せず,ただｚ＝0,ｚ＞0 に応じてφ(ｘ,ｚ)＝0,φ(ｘ,ｚ)＞0 であり,さらにφ(ｘ,ｚ)は方程式ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解曲線に沿ってｘの非増加関数である,とのみ仮定しても一意性の十分条件となることは容易にわかります。

　そして,これが一意性の必要条件でもあることは,この場合はきわめて簡単に証明されます。

　実際,ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解が一意であるという条件で,そのようなφを作るには便宜上ｆ(ｘ,ｚ)は領域{0≦ｘ≦ａ,－∞＜ｚ＜∞}にまで定義域が延長されていて,そこで連続かつ有界であるとし,φ(ｘ,ｚ)としては点(ｘ,ｚ)から左に出てくる全ての解ｚ(ｘ)に対する|ｚ(0)|の最小値をとればいいのです。

　こう取れば,ｚ＞0 に対してφ(ｘ,ｚ)＞0 となります。

　これは解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に関する半連続性とｚ＝ｚ(ｘ)の一意性の仮定によってわかります。

　すなわち,ｚ＞0 のときのφ(ｘ,ｚ)の値はｚ＞0 の(ｘ,ｚ)から左に出る(ｘ＞0 かつｚ＞0 の(ｘ,ｚ)を通る)解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に対して|ｚ(0)|で与えられるので,元々φ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|≧0 です。

　そして,解の一意性の仮定によって初期条件がｚ(0)＝0 の解,つまり原点(0,0)を通って右に出る解はｚ≡0 (ｘ軸)しかないという理由から,ｚ＞0 のときはφ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|＞0 となるしかないからです。

　そしてまた,φ(ｘ,ｚ(ｘ))がｘの非増加関数である,ことはφ(ｘ,ｚ(ｘ))≡|ｚ(0)|＝(一定)なので明らかです。

　しかし,これで得られた必要十分条件は先の条件と比較して,あまり意味のない一般化であると言えます。

　むしろ,先に与えた元々の条件ではφに連続微分可能という余計な性質を加えてはいますが,そのために非増加という性質は直接Ｄ_fφ≦0 というｆに関する不等式として表わされるという意味で幾分数学的なものとなっています。

　以上に述べた２種類の必要十分条件は未知関数が１個の場合に対するものですが,一般の連立方程式に対してはどうなるか？を考えます。

　第２の条件は,そのままｎ元連立方程式に拡張するのが容易です。ただｚの代わりに(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)とし,ｚ＝0,ｚ＞0 をｎ次元ベクトルｚ＝(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)のノルム|ｚ|を用いて|ｚ|＝0,|ｚ|＞0 と表現すればいいだけです。

　一方,第１の条件においても,一意性の十分条件としては,そのまま,連立方程式にまで拡張して成り立つことは明らかです。

　しかし,それが一意性の必要条件であることの１変数に対する上述の証明はｎ変数に拡張することが困難です。

　なぜなら,高次元では１つの積分φ＝Ｃは曲線ではないので,それをｄｚ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｚ)の積分として求めるわけにはいかないからです。

　つまり,ｎ変数の連立方程式では,条件に現われるφという連続微分可能な関数をいかにして獲得するかが問題になります。

　著者は,この問題について数年間,解決を求めて得られなかったけれども,あるとき(1940年1月1日)急に新しい理論を思いつき,それによって解の一意性が保証されている方程式に対して条件に合うφが存在することを証明することができた,と書いています。

　そして,このｎ元連立方程式の場合は特にｚ＝0 などという特別な値に頼る必要もなく,初期条件が任意のときに解が一意的に決まる条件として,先に連立方程式の場合の一意性の十分条件として与えた条件を採用し,その際に述べた(2ｎ＋1)変数の関数Φ＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在の必要性が証明されるということで解決に至っています。

　以下ではｎ元連立方程式の場合の必要性の証明について述べます。 

　まず,ｎ次元空間での曲線族Ωを考えます。∀Ｃ∈Ωは,区間Ｉ_Cで定義されたｎ個の微分可能な関数ｙ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,ｎ) によって曲線の方程式ｙ_i＝ｙ_i(ｘ) (ｉ＝1,2,..,ｎ)で表わされるとします。

　そしてΩに属する曲線Ｃ上の(ｎ＋1)次元空間の点(ｘ,ｙ)の全ての集合をＥとし,Ｅ上の各点Ｐにおいて,Ｐを通るΩの曲線が２本以上あるとき,それらはＰで同じ方向を持っていてＰでお互いに接する,つまりｄｙ_i(ｘ)/ｄｘが一致するとします。

　そうすれば点集合Ｅの上でΩによって方向の場が決まるので,それを表わす微分方程式として,例えばｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)のようなものができます。

　しかし,Ωはその微分方程式の一般解,すなわち全ての解を与えるかどうかはわかりません。

　つまり,その微分方程式の解曲線でΩに属さないものがＥ上にあるかもしれないからです。そのような曲線が存在すればそれを包絡線と呼ぶことにします。

　そこで,与えられた微分方程式がpeano点を持たないというのは,一般解をΩとするときにΩがＥを１重に覆い,Ωは包絡線を持たないということです。しかし一般のΩではそうとは言えません。 

ところで,以下で我々はＥの任意の２点がΩに応ずる微分方程式の同一の解曲線上にあるための条件を論じます。

我々れの目的を考えて,今後Ωは次の仮定を満足するとします。

Ωの個々の曲線Ｃの定義域であるｘの区間Ｉ_C はＣ によらず一定であるとします。たとえば,Ｉ_C＝Ｉ(ａ≦ｘ≦ｂ)としＥは閉集合で,かつΩによって決まる方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)において右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)はＥ上で連続かつ有界とします。

　次に,今後の理論に主要となる１つの関数:Ｄ(Ｐ,Ｑ)というものを,以下のように定義します。

　Ｅの任意の２点をＰ(ｘ^P,ｙ^P),Ｑ(ｘ^Q,ｙ^Q) (ｘ^P≦ｘ^Q )とします。

　そして区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分しｘ^P＝ξ₀≦ξ₁≦..≦ξ_k≦..≦ξ_ν＝ｘ^Qとして,Ωの１つの曲線Ｃ_k上でのξ_k-1≦ｘ≦ξ_k に対応する弧をＰ_kＱ_ｋ(左端をＰ_k,右端をＱ_ｋ；ｋ＝1,2,..,ν）とします。

　そして,これらの点Ｐ_k,Ｑ_ｋに対して和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作ります。ただしＱ₀＝Ｐ,Ｐ_ν+1＝Ｑとし|Ｑ_kＰ_k+1|は平面ｘ＝ξ_k上における２点Ｑ_kとＰ_k+1の間の距離を表わしているものとします。 

　点ＰとＱは固定し,それ以外すなわち区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分した分点ξ_ｋとその個数ν,およびその点を通るΩの曲線Ｃ_kについては,あらゆる取り方を許すものとしてＳの取ることが可能な全ての値の下限をＤ(Ｐ,Ｑ)で表わすことにするわけです。

　このとき,もちろんＤ(Ｐ,Ｑ)≧0 です。そしてｘ^P＝ｘ^Q なら明らかにＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|です。このように定義されたＤ(Ｐ,Ｑ)について次の定理が成立します。

(ａ) ２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)がＥ上で方程式:ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)

(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解曲線上にあればＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 である。

(ｂ)Ｅの２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)に対してＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 なら,２点Ｐ,Ｑ

はＥ上で方程式:ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解

曲線上にある。

　まず(ａ)を証明します。

　Ｐ,Ｑが共にその上にある解曲線をΓとしξ_k-1＝ｘ^P＋(ｋ－1)(ｘ^Q－ｘ^P)/ν (ｋ＝1,2,..,ν,ν＋1)に応じたΓ上の点をＰ_kとします。

　そしてＰ_kを通る解曲線の１つをＣ_kとして,和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作れば,これはν→ ∞ のとき,Ｓ→ 0 を満たします。

何故なら,Ｆ_iは有界なので|Ｆ_i|≦Ｍとすれば,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kに応ずるΓ上の点Ｐ_k,Ｐ_k+1もＣ_k上の点Ｑ_kも,全てＰ_kから[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2以下の距離にあり,もちろんν→∞ でゼロになります。

一方、Ｐ_k+1とＱ_kは同じ座標ｘ＝ξ_kに対応するΓの上とＣ_kの上の点であってＰ_k+1,Ｑ_kの座標をそれぞれＰ_k+1＝(ξ_k,ζ_k),Ｑ_k＝(ξ_k,η_k)とすれば,|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|です。

このとき,Ｐ_kの座標は(ξ_k-1,ζ_k-1)であって,たった今述べたようにν→ ∞ のとき|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2→ 0 となります。

(またξ_k＝ξ_k-1＋(ｘ^Q－ｘ^P)/νも成立しています。)

ところが,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kにあるΓとその近傍Ｃ_kでのＦ_iの連続性によってＦ_iはΓの近傍で一様連続です。

よって,任意にε＞0 を与えると,それに対しあるδ＞0 が存在して,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δならξ_k-1≦ｘ≦ξ_kのｘに対して|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)|≦ε/2が成り立つようにできます。

すなわち,Γ上のＰ_kＰ_k+1とＣ_k上のＰ_kＱ_kの両方で,その曲線の傾きＦ_i(ｘ,ｙ)が [Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)－ε/2]≦Ｆ_i(ｘ,ｙ)≦[Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)＋ε/2]の範囲内にあることになります。

それ故,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δなら|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|≦ε[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν]ですからＳ＝Σ_k|ζ_k－η_k|≦ε(ｘ^Q－ｘ^P)です。

したがって,ν→ ∞ のとき,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|→ 0 なのでν→ ∞ のとき,Ｓ → 0 が成立します。

次に(ｂ)を証明します。

ｘ^P＝ｘ^Q ならＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|ですから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)＝0 はＰとＱとが一致することを意味し,ＰとＱは同じ解曲線上にあるのは自明です。

そこで,以下では,ｘ^P＜ｘ^Qとします。

そして,このときＤ(Ｐ,Ｑ)の定義においても,ξ_k-1＜ξ_k (ξ_k-1≠ξ_k)と仮定してもかまわないのでそうします。

仮定によって,Ｓの列{Ｓ^(μ)}_μ＝1,2,..が存在してμ→∞ に対してＳ^(μ)→ 0 です。ただしＳ^(μ)＝Σ_k|Ｑ_k^(μ)Ｐ_k+1^(μ)|です。

そしてｘ^P≦ｘ≦ｘ^Qなるｘに対して,関数Ｙ_i^(μ)(ｘ)を次のように定義します：ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ｘ^PではＰを,ｘ＝ｘ^QではＱを与えｘ^P＜ｘ＜ｘ^Q なるｘでは各区間ξ_k-1^(μ)＜ｘ＜ξ_k^(μ)に対してΩの曲線Ｃ_kを与えるものとします。

このｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)は不連続であるとしても,それはせいぜい

点ｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)においてのみですから,

σ_i^(μ)(ｘ)を不連続点における全ての正負の飛躍の代数和とすれば,

Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)は区間ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q で連続であり,明らかに

|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ) (ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q)です。

ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)以外ではｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解ですから,Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)＝Ｙ_i^(μ)(ｘ^P)－σ_i^(μ)(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ ^(μ)(ｔ))ｄｔです。

ところがＦ_iが有界なので{Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)}_μ＝1,2,..は一様有界,同等連続であり,

したがって,「Ascoli-Arzelaの定理」によって一様収束する部分列を

持ちます。

|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ)でＳ^(μ)→ 0 (μ→∞)ですから,この部分列の極限をＹ_i(ｘ)とすると,極限においてＹ_i(ｘ)＝Ｙ_i(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ(ｔ))ｄｔが得られます。

これによって,ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解曲線ｙ_i＝Ｙ_i(ｘ)が２点Ｐ,Ｑを通ることがわかり,Ｅは閉集合なので,それはＥ上にあります。(以上証明終わり)

ここで,Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義するための和:ＳをＳ_PQと書くことにし,Ｐ,Ｑ,ＲをＥの３点でｘ^P≦ｘ^Q≦ｘ^R とすれば,Ｓ_PQ＋Ｓ_QRは１つのＳ_PRを構成するので,下限を取ることでinfＳ_PR≦infＳ_PQ＋infＳ_QRを得ます。

すなわち,一般にＤ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)が成立します。

このことから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＰを固定して点Ｑがｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の１つの解曲線に沿って動くとき,Ｑのｘ座標ｘ＝ｘ^Qの関数と見てｘの１つの非増加関数です。

そして,一般的に成り立つ不等式:Ｄ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)において,特にｘ^Q ＝ｘ^RとすればＤ(Ｑ,Ｒ)＝|ＱＲ|なので,|Ｄ(Ｐ,Ｑ)－Ｄ(Ｐ,Ｒ)|≦|ＱＲ|＝|ｙ^Q－ｙ^R|と書くことができます。

それ故,Ｐを固定したとき,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＱの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見てLipdchitz条件を満足することがわかります。

さらに,Ｄ(Ｐ,Ｑ)は点Ｑの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見て連続であることもいえるのですが,長くなるのでこれの証明は割愛します。

かくして,

"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)において,Ｆ_i(ｘ,ｙ)

は領域Ｅ＝{0≦ｘ≦ａ,－∞≦ｙ_i≦∞ (ｉ＝1,2,..,ｎ)}で連続かつ

有界とし,この方程式の原点Ｏ(ｘ＝ｙ₁＝ｙ₂＝..＝ｙ_n＝0)から右に

出る解は一意的に決まり,それはｘ軸(ｙ_i≡0)である。

したがってもちろんＦ_i(ｘ,0)＝0 である。"

という前提が成立しているとき,次の命題が成り立ちます。

"Ｅにおけるｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の全ての解曲線は全区間

0≦ｘ≦ａまで延長される。この解曲線の族をΩとする。

そして,このときＰ＝(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)として関数:

φ(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)＝φ(Ｐ)≡Ｄ(Ｏ,Ｐ)を作ると,φ(Ｐ)は

Ｏから出てくる解の一意性の仮定によってＰがｘ 軸上にあるとき

にのみφ(Ｐ)＝0 を満たし,それ以外ではφ(Ｐ)＞0 となる。

さらにφ(Ｐ)＝Ｄ(Ｏ,Ｐ)は１つの解曲線の上で非増加関数,かつ

連続関数であり,しかもLipschitz条件をも満たす。"

ということになります。

そして,Lipschitz条件を満たすということは,Ｄ⁺φ(ｘ,ｙ(ｘ))

≡limsup_h→0[{φ(ｘ＋ｈ,ｙ(ｘ＋ｈ))－φ(ｘ,ｙ(ｘ))}/ｈ]が,

その点におけるｙ_i(ｘ)の方向比ｄｙ_i/ｄｘのみから完全に確定

することを意味します。

実際,２曲線ｙ_i＝ｙ_i(ｘ),ｙ_i＝ｚ_i(ｘ)に対して,考えている点ｘで

ｙ_i(ｘ)＝ｚ_i(ｘ)はもちろん,ｄｙ_i/ｄｘ＝ｄｚ_i/ｄｘも成立して

いるとすると,

そのｘで,(ｄ/ｄｘ){φ(ｘ,ｙ(ｘ))－φ(ｘ,ｚ(ｘ))}＝0 ,

つまり,そのｘの近傍で恒等的に,φ(ｘ,ｙ(ｘ))＝φ(ｘ,ｚ(ｘ))が

成り立つことが,Lipschitz条件から従う,ことになるからです。

そこで,Ｄ⁺φは(ｘ,ｙ)における方向比Ｆ_i(ｘ,y)に対して決まり,

かくしてφが解曲線に沿ってｘの非増加関数であるということは

Ｄ⁺φ≦0 に置き換えられます。

この不等式は方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に対して,その解ｙに

依存することなく,単にＦ_iに関する条件となっています。 

これらを総合して,方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に関する条件が

得られましたが,この条件は解の一意性のための必要条件であり,

しかも十分条件でもあることがわかります。

上記の関数φと性質が同じで連続微分可能なものは,いわゆる積分平均の方法などで作ることが可能です。

そのとき条件Ｄ⁺φ≦0 は,Ｄ_Fφ≡∂φ/∂ｘ＋Σ_i (∂φ/∂ｙ_i)Ｆ_i≦0 になります。

あとは必要十分条件のもう１つの表現,つまり別の関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)による表現を明確に証明するのみです。

"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)は,ある領域Ｄで連続とし,Ｄの各点(ｘ,ｙ)から右に出る方程式の解が一意的に決まるとき,Ｄの内部の任意の点に対しその近傍Ｖ上の２点(ｘ,ｙ),(ｘ,ｚ)について定義され,以下の性質を満たす関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)が存在する。

Φは連続微分可能,かつ,|ｙ－ｚ｜＝0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＝0 ,|ｙ－ｚ｜＞0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＞0 を満たし,さらにＤ_FΦ≡∂Φ/∂ｘ＋Σ_i(∂Φ/∂ｙ_i)Ｆ_i(ｘ,ｙ)＋Σ_j(∂Φ/∂ｚ_j)Ｆ_j(ｘ,ｚ)≦0 という不等式を実現する。"というものです。

これは,点Ｐ,Ｑ,...を座標が(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n,ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)などで与えられる(2ｎ＋1)次元空間の点であると見なして,前と同じように関数Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義し,φ(Ｑ)=φ(ｘ,ｙ,ｚ)≡inf_Ｐ∈ＥＤ(Ｐ,Ｑ)とおくことから出発して最終的に連続微分可能で条件を満たすΦ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在を証明する,というプロセスです。

そこで,これを具体的に述べればいい,ということになりますが,まあ,本質的な部分ではないと思うので,これを割愛し,この項についてはここで終わりにします。

しかし,昔からある程度の知見があって既に何度も考えたことのある

トピックについて書くのとは異なり,ちょっと本屋で買った書物を読

んだだけでそれを理解してその解説をブログに書くには,それを読んだり理解したりする時間も必要なので,

いくら暇だからといっても,四六時中ブログを書くという作業だけ

やってるというわけにもいきませんね。

参考文献：岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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