運動量演算子のシュレーディンガー表現

　最近,量子力学の出発点として,運動量演算子ｐの代表的な座標表示であるSchrödinger(シュレーディンガー)の表現:に関して,巷でいろいろと話題になっているようです。

　そこでDirac(ディラック)が,その著書「量子力学」において,運動量演算子に関してのSchrödinger表現の妥当性について論じている内容を少し詳細に考察を加えて補足しながら紹介してみます。

Dirac自身のこの分野での業績に関して言及すると,彼は当時の本質的な題材であった古典力学を合理的に量子化するという目標について,次のような動機を持っていたと思われます。

古典力学を記述する解析力学での基本方程式である"質点系の

運動方程式＝正準方程式"は,

　Poisson括弧:[ｕ,ｖ]_P.B.≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)

－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]を用いて,ｄｐ_r/ｄｔ＝[ｐ_r,Ｈ]_P.B.,

ｄｑ_r/ｄｔ＝[ｑ_r,Ｈ]_P.B.と表わされます。

そして,変数ｐ_r,ｑ_sが,正準変換の不変式として知られている,

[ｐ_r,ｑ_s]_P.B.＝－δ_rs,[ｐ_r,ｐ_s]_P.B.＝[ｑ_r,ｑ_s]_P.B.＝0 なる関係式

を全て満たすことが,上記の正準方程式が成り立つための必要十分

条件です。

これに対して,量子力学の基本方程式の１つの表現である

Heeisemberg(ハイゼンベルク)の運動方程式は,

演算子の交換子:[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕにより,

iｈ_c(ｄｐ_r/ｄｔ)＝[ｐ_r,Ｈ],iｈ_c(ｄｑ_r/ｄｔ)＝[ｑ_r,Ｈ]　

と書けます。

(ｈ_ｃはｈをPlanck定数としてｈ_ｃ≡ｈ/(2π)です。)

したがって,量子力学でも量子力学的Poisson括弧というものが定義

できると考えて,[ｕ,ｖ]_P.B.≡[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)とおくと,見掛けの上

ではHeisenbergの運動方程式と古典力学の正準方程式が一致するよ

うにできます。

そして,古典力学では[ｐ_r,ｑ_s]_P.B.＝－δ_rs,[ｐ_r,ｐ_s]_P.B.

＝[ｑ_r,ｑ_s]_P.B.＝0 が正準変数の満たすべき基本的な関係式

でしたから,

これに量子力学の古典力学への対応原理;[ｕ,ｖ]_P.B.

≡[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)を適用すれば,量子力学の基本的関係式

が得られるはずです。

こうして,量子力学での正準交換関係(CCR):

[ｐ_r,ｑ_s]＝－iｈ_cδ_rs,[ｐ_r,ｐ_s]＝[ｑ_r,ｑ_s]＝0

が得られます。

このような量子化の手法を初めて明確に示したのは,Diracで

あったと思います。

さて,本題に入ります。

まず,量子力学における一般的状態|ψ＞の"座標表示＝波動関数"を

＜ｑ₁,ｑ₂,..|ψ＞＝ψ(ｑ₁,ｑ₂,..,ｔ)とします。

省略形では＜ｑ|ψ＞＝ψ(ｑ,ｔ)と書くことにします。

(Schrödinger表示では,固有ベクトル:|ｑ＞自身が一般に時刻ｔに

陽に依存するため,|ｑ＞＝|ｑ,ｔ＞として,

＜ｑ|ψ＞＝＜ｑ,ｔ|ψ＞＝ψ(ｑ,ｔ)のように波動関数を

ｔに陽に依存する形で書きます。)

そして,状態|ψ＞の座標演算子ｑ_rによる偏微分(∂/∂ｑ_r)を,

(∂/∂ｑ_r)＜ｑ₁,ｑ₂,..|ψ＞≡∂ψ(ｑ,ｔ)/∂ｑ_r

≡＜ｑ₁,ｑ₂,..|(∂/∂ｑ_r)|ψ＞によって定義します。

このとき,実際の計算によって,[∂/∂ｑ_r, ｑ_s]ψ＝δ_rsψ

となることがわかります。

それ故,[∂/∂ｑ_r, ｑ_s]＝δ_rsですが,関数ｆ_rをｆ_r(ｐ,ｑ)

≡ｐ_r－(－iｈ_c∂/∂ｑ_r)によって定義すれば,これは全ての座標

ｑ_sと交換します。

すなわち,[ｆ_r,ｑ_s]＝0 です。　

そこで,ｆ_r(ｐ,ｑ)は実はｑだけの関数と考えられるので,

ｆ_r＝ｆ_r(ｑ)と書いてよいことになります。

そして実際の計算から,[∂/∂ｑ_r,ｆ_s]＝∂ｆ_s/∂ｑ_rが成立する

ことがわかりますから,

この両辺に(－iｈ_c)を掛けた後,－iｈ_c∂/∂ｑ_r＝ｐ_r－ｆ_r(ｑ)

を代入すれば,[ｐ_r,ｆ_s]＝－iｈ_c∂ｆ_s/∂ｑ_rを得ます。

一方,∂²/(∂ｑ_r∂ｑ_s)＝∂²/(∂ｑ_s∂ｑ_r)ですから,これの両辺に

(－iｈ_c)²を掛けて,－iｈ_c∂/∂ｑ_r＝ｐ_r－ｆ_r(ｑ),－iｈ_c∂/∂ｑ_s

＝ｐ_s－ｆ_s(ｑ)を代入すると,

ｐ_rｐ_s＝ｐ_sｐ_r,ｆ_rｆ_s＝ｆ_sｆ_r によって[ｐ_r,ｆ_s]＝[ｐ_s,ｆ_r]

が得られます。

そこで,[ｐ_r,ｆ_s]＝－iｈ_c∂ｆ_s/∂ｑ_rから∂ｆ_s/∂ｑ_r＝∂ｆ_r/∂ｑ_s

となります。

これは,ｒに無関係なあるｑの関数Ｆ(ｑ)が存在してｆ_r＝∂Ｆ/∂ｑ_r

と書けることを意味します。

こうして,座標表示での運動量演算子ｐ_rは,最も一般的な形では

ｐ_r＝(－iｈ_c∂/∂ｑ_r)＋∂Ｆ(ｑ)/∂ｑ_rとなることがわかりま

した。

これまでの表示は確かに座標について対角的ですが,勝手な位相因

子(phase factor)を含んでいてもいいので,新しい基底ブラが＜ｑ^*|

＝＜ｑ₁,ｑ₂,..^*|≡ｅ^iγ(ｑ)＜ｑ₁,ｑ₂,..|で与えられるとします。

すると,＜ｑ^*|ψ＞＝ｅ^iγ(ｑ)＜ｑ|ψ＞ですから,この新しい基底に

よる同一の状態|ψ＞の新しい波動関数をψ^*(ｑ,ｔ)≡＜ｑ^*|ψ＞で

定義すると,ψ^*(ｑ,ｔ)＝ｅ^iγ(ｑ)ψ(ｑ,ｔ)です。

そして,逆にψ(ｑ,ｔ)＝ｅ^－iγ(ｑ)ψ^*(ｑ,ｔ)と書けます。

このとき,ψ^*(ｑ,ｔ)＝ｅ^iγ(ｑ)ψ(ｑ,ｔ)の両辺を座標ｑ_rで

偏微分すれば,

(∂/∂ｑ_r)ψ^*(ｑ,ｔ)

＝ｅ^iγ(ｑ){∂/∂ｑ_r＋i(∂γ/∂ｑ_r)}ψ(ｑ,ｔ)

＝ｅ^iγ(ｑ){∂/∂ｑ_r＋i(∂γ/∂ｑ_r)}ｅ^－iγ(ｑ)ψ^*(ｑ,ｔ)

となります。

ここで,先に得られた一般的な座標表示での運動量の表現:

ｐ_r＝(－iｈ_c∂/∂ｑ_r)＋∂Ｆ(ｑ)/∂ｑ_rを思い起こして,

Ｆ(ｑ)≡ｈ_cγ(ｑ)＋(定数)とおけば,

ｐ_r＝(－iｈ_c∂/∂ｑ_r)＋ｈ_c(∂γ/∂ｑ_r)

＝(－iｈ_c){∂/∂ｑ_r＋i(∂γ/∂ｑ_r)}　となります。

これを用いると,上式は－iｈ_c∂ψ^*/∂ｑ_r＝ｅ^iγ(ｑ)ｐ_rｅ^－iγ(ｑ)ψ^*

と変形されます。

したがって,通常の基底の変更に伴う演算子のユニタリ変換として,

変換ｐ_r^*≡ｅ^iγ(ｑ)ｐ_rｅ^－iγ(ｑ)によって,新基底＜ｑ^*|に対する新

しい運動量演算子ｐ_r^*を定義すれば,上に示した式から座標表示で

ｐ_r^*＝－iｈ_c∂/∂ｑ_rと表現したことに相当します。

,結局,ユニタリ変換で運動量に対するSchrödinger表現が得られる

ことがわかりました。

ｐ_r^*とｐ_rはユニタリ同値であり,元の座標表示|ｑ＞での運動量

演算子ｐ_rの期待値は,

＜ψ|ｐ_r|ψ＞＝＜ψ|ｅ^－iγ(ｑ)ｐ_r^*ｅ^iγ(ｑ)|ψ＞ ですが,

基底ブラの変換は＜ｑ^*|ψ＞＝ｅ^iγ(ｑ)＜ｑ|ψ＞＝＜ｑ|ψ^*＞

となるように新しいケット|ψ^*＞を取って,

ψ^*(ｑ,ｔ)＝＜ｑ|ψ^*＞とすることと同値です。

それ故,この変換で確かに＜ψ|ｐ_r|ψ＞＝＜ψ^*|ｐ_r^*|ψ^*＞

となって運動量の期待値は保存されます。

そして,さらにこの変換で得られた新しい基本変数の組ｑ_r,ｐ_r^*も

確かに正準交換関係:[ｐ_r^*,ｑ_s]＝－iｈ_cδ_rs,

[ｐ_r^*,ｐ_s^*]＝[ｑ_r,ｑ_s]＝0 を満足することがわかります。

こうして,座標表示では,理論に無関係な状態ベクトルの位相を調節

すれば,運動量演算子ｐ_rをいつでもｐ_r＝－iｈ_c∂/∂ｑ_rなる

Schrödinger表現の形に書けるという結論が得られました。

参考文献：P.A.M.Dirac著(朝永振一郎,玉木英彦,木庭二郎,大塚益比古,伊藤大介 共訳)「量子力学」(みすず書房)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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