量子化された場と調和振動子(パラ統計)

今日は,すぐ前の記事「スピンと統計の関係(微視的因果律）」に深く関わる「量子化された場と調和振動子」という論題について書いてみたいと思います。

１体の粒子を表わす確率波を共変的に記述する際,相互作用があると正負の振動が区別できなくなる状況になったりします。

そこで,状態関数のノルムを確率と解釈すると負振動部分の存在のために,確率が負になるという矛盾が生じたり,負振動部分は負エネルギーに対応するので物理的ではない,

など幾つかの解釈上の困難の原因となるにも関わらず,これら負の振動部分を単に捨て去っていいわけではないことがわかります。

かつて,2006年8月8日のブログ記事「負エネルギー解と相対論的因果律 」では,逆に負振動部分を捨て去ると以下に述べる問題が生じることの証明を書きました。

すなわち,西島和彦氏が著わした「相対論的量子力学」(培風館)においても指摘されていることですが,

"波動方程式の正負の振動数の重ね合わせから成る解から,単に「負振動数＝負エネルギーの部分」を捨てたものが粒子を表わす物理的波動であると解釈して負振動部を捨てると.相対論的因果律が破れてしまう。"

という問題です。

さらに,一般に相互作用がある場合には,１体の粒子という描像そのものが必ずしも適切なものではなく,粒子の吸収,放出や崩壊などの現象,あるいは生成や消滅といった現象を扱う必要が出てきます。

こうして,粒子の生成,消滅をも含むことができるように,相対論的量子論の理論の枠を広げておく必要性が出てきます。

その際には,もちろん負振動数にまつわる困難も回避できた方が望ましいわけですが,幸いにして既に「場の量子論」というこれにぴったりの理論があります。

そして,「この理論＝場の量子論」の場合でも,相互作用が終わって十分時間が経てば,１体の自由粒子として運動するという描像は成り立ちます。

それらの自由粒子の波動場を記述する方程式がPoincare'群の既約表現に対応して決まる,という考え方はそのまま成り立ちます。

量子化された場というのは,電場や磁場などと同じく,単純にそれら自身を確率振幅として採用することはできませんが,

それら電磁場と同じ様に,現実に時空間に実在する"粒子の波＝物質波"が,時空点の関数として表わされて,それを粒子に付随した「局所場の演算子」として表現したものです。

話を簡単にするため,質量がゼロではなく有限な値:ｍ＞0 を持つ粒子のみを考察します。

相互作用のない自由粒子の場合には,スピンがゼロの粒子場:

Ｕ(ｘ)は,時空点の関数としてKlein-Gordon方程式:

(∂^μ∂_μ－ｍ²)Ｕ(ｘ)＝(□－ｍ²)Ｕ(ｘ)＝0 を満足し,

スピンがｎ/2(ｎ≧1でｎは奇数,または偶数)の粒子場:

ψ_[μ1μ2..]n(ｘ)は,Bergman-Wigner方程式:

(iγ^μ(j)∂_μ－ｍ)ψ_[μ1μ2..]n(ｘ)＝0 (ｊ＝1,2,..ｎ)　

に従うとします。

そして,場の量子化(第２量子化)という操作は,

これらＵ(ｘ)やψ_[μ1μ2..]n(ｘ)を量子論的な演算子(作用素)

と見なすこと,

それ故ｘの関数としては,ある種超関数的なものとして

理解することです。

そして,例えばスピンがゼロの粒子場Ｕ(ｘ)が満たす波動方程式は,

全系のエネルギーがHamiltonian:Ｈで与えられるときの

量子論の基本方程式であるHeisenbergの運動方程式:

i∂Ｕ(ｘ)/∂ｔ＝[Ｕ(ｘ),Ｈ]_－

に一致すると考えられます。

※(注):Heisenbergの運動方程式はNoetherの定理からの１つの帰結:

"時間軸原点の平行移動に対して理論が不変であるという対称性(時間の一様性)からエネルギーＨの保存法則が得られる。"という一般原理を

量子論における表現として時間の平行移動に関わる生成子Ｈで表わした

ものに相当します。(注終わり)※

ただし,この記事ではＡ,Ｂの交換子を[Ａ,Ｂ]_－≡ＡＢ－ＢＡなる記号で表わします。

もちろん,スカラーだけではなく,スピノルや,ベクトル,テンソルの場を表わすψ_[μ1μ2..]n(ｘ)についての波動方程式も,Ｈで表現すると,

Heisenbergの運動方程式:　i[∂ψ_[μ1μ2..]n(ｘ)]/∂ｔ

＝[ψ_[μ1μ2..]n(ｘ),Ｈ]_－に一致すると考えることができます。

ここで,Ｈ≡∫ｄ³ｘＨ(ｘ)で定義されるエネルギー密度Ｈ(ｘ)が存在するとすれば,相対論的微視的因果律の要請によって,

"(ｘ－ｙ)²＜0 (空間的:space-like)に離れている)なら,

[Ｕ(ｘ),Ｈ(ｙ)]_－＝0 である。"

が成立するべきです。

これは"局所的なエネルギー密度が意味を持つ"という考えに基づくものですから「局所性の条件」とも呼ばれるべきものです。

簡単のために,自由場としてのＵ(ｘ)を考え,それを正振動数部分Ｕ⁽⁺⁾(ｘ)と負振動部分Ｕ^(-)(ｘ)に分解します。

すなわち,Ｕ(ｘ)＝Ｕ⁽⁺⁾(ｘ)＋Ｕ^(-)(ｘ)とします。

Ｕ⁽⁺⁾(ｘ)≡∫ｄ³ｋ{(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2}ｅ^{i(ｋｘ-ωkｔ)}Ａ(ｋ),

Ｕ^(-)(ｘ)≡∫ｄ³ｋ{(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2}ｅ^{-i(ｋｘ-ωkｔ)}Ｂ⁺(ｋ)

です。

時空座標のLorentz変換:ｘ^μ'＝Λ^μ_νｘ^νをｘ'＝Λｘと書くと,

Ｕ(ｘ)はスカラー場なので,変換性がＵ'(ｘ)＝Ｕ(Λ^-1ｘ)であること

により,

Ａ(ｋ),Ｂ(ｋ)の変換性は,

Ａ'(ｋ)＝Ａ(Λ^-1ｋ),Ｂ'(ｋ)＝Ｂ(Λ^-1ｋ)で与えられる

ことがわかります。

ここで,記号Λ^-1ｋは,ｋ＝(ｋ⁰,ｋ)に対するΛ^-1ｋの空間部分を

表わしています。

Heisenbergの運動方程式:i∂Ｕ(ｘ)/∂ｔ＝[Ｕ(ｘ),Ｈ]_－は,

任意のｘ^μに対して成り立ち,しかも明らかに,

ｄＨ/ｄｔ＝[Ｈ,Ｈ]_－＝0 でもありＨは運動の恒量です。

そこで,この運動方程式から,ω_kＡ(ｋ)＝[Ａ(ｋ),Ｈ]_－,

ω_kＢ(ｋ)＝[Ｂ(ｋ),Ｈ]_－が得られます。

それ故,エネルギーＨの固有値Ｅに属する固有状態を|Ｅ＞と書くと,

Ａ(ｋ)|Ｅ＞,Ｂ(ｋ)|Ｅ＞もＨの固有状態であり,これらの固有値は

共に (Ｅ－ω_k)です。

また,方程式の両辺のHermite共役を取って,

－ω_kＡ⁺(ｋ)＝[Ａ⁺(ｋ),Ｈ]_－,－ω_kＢ⁺(ｋ)＝[Ｂ⁺(ｋ),Ｈ]_－

も成立します。

前と同様,Ａ⁺(ｋ)|Ｅ＞,Ｂ⁺(ｋ)|Ｅ＞もＨの固有状態ですが,

これらの固有値は今度の場合は,共に(Ｅ＋ω_k)となります。

つまり,Ａ⁺(ｋ)とＢ⁺(ｋ),またはＡ(ｋ)とＢ(ｋ)は,それぞれＨの固有値をω_kだけ増加,または減少させることがわかります。

その意味でＡ⁺(ｋ)とＢ⁺(ｋ)を生成演算子,Ａ(ｋ)とＢ(ｋ)を消滅演算子と呼ぶことにします。

また,"真空＝エネルギー準位が最低の状態"を|0＞と書けば,この最低レベルという真空の定義によって,Ａ(ｋ)|0＞＝Ｂ(ｋ)|0＞＝0 が満たされる必要があります。

これらのことから,Ｕ(ｘ)の量子化というのは,実は,

これを異なるｋに対応する無限個の調和振動子の集まりと解釈することを意味すると考えられます。

スピンがゼロとは限らない一般の粒子場:ψ_[μ1μ2..]n(ｘ)についても,

それの量子化から今のω_kＡ(ｋ)＝[Ａ(ｋ),Ｈ]_－,ω_kＢ(ｋ)

＝[Ｂ(ｋ),Ｈ]_－によく似た式が得られます。

したがって,調和振動子の量子論を分析することが全ての種類の量子化された場の基本構造を論じることになります。

最も簡単な場合の古典的な１次元調和振動子:ｄ²ｘ/ｄｔ²＝－ω²ｘの量子論を考察します。

量子論ではｘは１つのHermite演算子と考えます。さらに,方程式を２つに分解して,ｄｘ/ｄｔ＝ωｐ,ｄｐ/ｄｔ＝－ωｘとします。

HamiltonianＨの存在を仮定するとこれらがHeisenbergの運動方程式:

i(ｄｘ/ｄｔ)＝[ｘ,Ｈ]_－,i(ｄｐ/ｄｔ)＝[ｐ,Ｈ]_－

に一致すべきなので,iωｐ＝[ｘ,Ｈ]_－,－iωｘ＝[ｐ,Ｈ]_－

となります。 

そこで,ａ^≡(ｘ＋iｐ)/√2,ａ^^＋≡(ｘ－iｐ)/√2と置けば,

ωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－,および－ωａ^⁺＝[ａ^⁺,Ｈ]_－なるよく知られた

調和振動子の量子論での運動の表現が得られます。

これらは,一見しただけで,それぞれω_kＡ(ｋ)＝[Ａ(ｋ),Ｈ]_－,

ω_kＢ(ｋ)＝[Ｂ(ｋ),Ｈ]_－,および－ω_kＡ⁺( ｋ )＝[ Ａ⁺( ｋ ), Ｈ]_－,

－ω_kＢ⁺(ｋ)＝[Ｂ⁺(ｋ),Ｈ]_－に対応することは明らかです。

したがって,Ａ(ｋ),Ｂ(ｋ)はそれぞれのｋに応じ１組の調和振動子を記述していることになります。

しかも,ｋは無限個の値を取り得るのでω_kＡ(ｋ)＝[Ａ(ｋ),Ｈ]_－,

ω_kＢ(ｋ)＝[Ｂ(ｋ),Ｈ]_－を満足するＡ(ｋ),Ｂ(ｋ)が無限個の

調和振動子の系であることがわかります。

そして,「場の量子論において生成,消滅演算子を記述するＡ⁺(ｋ),Ｂ⁺(ｋ)とＡ(ｋ),Ｂ(ｋ)に対応する１次元調和子ａ^⁺,ａ^の性質としては,

取り合えずωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－と－ωａ^⁺＝[ａ^⁺,Ｈ]_－が成立しさえ

すれば十分です。

通常の量子力学のように,ｘとｐの間に正準交換関係:[ｘ,ｐ]_－＝ｉ

が成立することを初めから仮定する必要はありません。 

ここでのｘ,ｐは２階方程式を１階方程式にするために導入された補助変数に過ぎないわけで,ここでのｐに,特にｘを位置座標の演算子と考えたときの運動量というイメージを付与する必要はないことに注意すべきです。

そして,方程式ωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－,－ωａ^⁺＝[ａ^⁺,Ｈ]_－は形式的には

ｄａ^/ｄｔ＝－iωａ^,ｄａ^⁺/ｄｔ＝－iωａ^⁺を示しています。

Ｈが運動の恒量:ｄＨ/ｄｔ＝0 であることから,これは

(ａ^⁺)^ｎａ^^ｎ,または,ａ^^ｍ(ａ^⁺)^ｍ (ｍ,ｎ＝1,2,..)の関数で与えられるだろうと考えられます。

しかし,これだけではあまりにも一般的過ぎてこれ以上の議論を進めていくことがむずかしいので,Ｈの具体的な形はａ^⁺,ａ^の２次形式で与えられるという最も簡単な場合を想定します。

すなわち,ＨとしてはＨ＝Ｈ_A≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_－,

またはＨ＝Ｈ_S≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_＋であるとします。

ただし,[Ａ,Ｂ]_＋≡ＡＢ＋ＢＡは反交換子を表わす記号です。

しかし,これでも以下で示すように多くの解が存在します。

まず,Ｈ＝Ｈ_A≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_－の場合:

ωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－,－ωａ^⁺＝[ａ^⁺,Ｈ]_－は,それぞれ

2ａ^＝[ａ^,[ａ^⁺,ａ^]_－]_－,－2ａ^⁺＝[ａ^⁺,[ａ^⁺,ａ^]_－]_－

となります。

ところで,この式は回転群の生成子Ｓの満たす式と同一であること

に気付きます。

すなわち,３次元回転群では[Ｓ_i,Ｓ_j]_－＝iε_ijkＳ_kですが,

これはＳ^(±)＝Ｓ₁±iＳ₂と置いたとき,交換関係:

[Ｓ⁽⁺⁾,Ｓ₃]_－＝－Ｓ⁽⁺⁾,[Ｓ^(-),Ｓ₃]_－＝Ｓ^(-)を満たします。

そこで,ａ^⁺をＳ⁽⁺⁾に,ａ^をＳ^(-)に,そして(1/2)[ａ^⁺,ａ^]_－をＳ₃に

対応させることで,ａ^,ａ^⁺の系はａ^⁺,ａ^,(1/2)[ａ^⁺,ａ^]_－を独立

な３個の生成子とする回転群と同じ構造を持つことがわかります。

これによって,回転群の既約表現からａ^の示す行列要素が容易に

わかります。

すなわち,全ての既約表現は'角運動量'がｒ/2 (ｒ＝0,1,2,..)に対応する(ｒ＋1)次元表現で与えられます。

そして,Ｈ＝Ｈ_A ≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_－はωＳ₃に対応していて,

負でない整数ｒが決まっているとき,

Ｓ₃は－ｒ/2,－ｒ/2＋1,..,ｒ/2－1,ｒ/2という(ｒ＋1)個

の固有値を取りますから,Ｈ＝Ｈ_A の取り得る固有値はそれらの

ω倍になります。

それ故,最低固有状態を|0＞とすれば,ａ^|0＞＝0,Ｈ|0＞

＝－(ωｒ/2)|0＞となるはずです。

また,|ｎ＞≡(ａ^⁺)ⁿ|0＞とすれば,

ａ^⁺|ｎ＞＝[(ｒ－ｎ)(ｎ＋1)]^1/2|ｎ＋1＞,

ａ^|ｎ＞＝[ｎ(ｒ－ｎ＋1)]^1/2|ｎ－1＞　

となります。

ところで,これによれば,ａ^⁺|ｒ＞＝0 となりますから,

|0＞にａ^⁺を次々に作用させてエネルギーをωずつｒ個まで生成

させることはできても,(ｒ＋1)個以上の生成は不可能です。

特に,ｒ＝１の場合は,真空|0＞から生成されるωは高々１個です。

このとき,この調和振動子は１次元のFermi統計に従うといいます。

ａ^⁺|ｎ＞＝[(ｒ－ｎ)(ｎ＋1)]^1/2|ｎ＋1＞,

ａ^|ｎ＞＝[ｎ(ｒ－ｎ＋1)]^1/2|ｎ－1＞は,

ａ^⁺|0＞＝|1＞,ａ^^＋|1＞＝0,ａ^|1＞＝|0＞

に帰着します。

これとａ^|0＞＝0,Ｈ|0＞＝(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_－|0＞＝－(ω/2)|0＞

を合わせると,よく知られた[ａ^,ａ^⁺]＝1,(ａ^⁺)²＝ａ^²＝0 なる

関係が得られます。

なお,ｒ＝0 は回転群の１次元表現に対応しますが,

この場合はａ^|0＞＝ａ^⁺|0＞＝0 で恒等的にａ^＝ａ^⁺＝0 なので,

調和振動子そのものが無くなり系に物理的な意味がありません。

次に,Ｈ＝Ｈ_S≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_＋の場合はωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－,

－ωａ^⁺＝[ａ~⁺,Ｈ]_－は,それぞれ 2ａ^＝[ａ^,[ａ^⁺,ａ^]_＋]_－,

－2ａ^⁺＝[ａ^⁺,[ａ^⁺,ａ^]_＋]_－となります。

このとき,任意の状態:|ψ＞のエネルギー期待値は

＜ψ|Ｈ_S|ψ＞＝(ω/2)[|ａ^|ψ＞|²＋|ａ^⁺|ψ＞|²]≧0

を満足しますから,エネルギー期待値は常に非負です。

すなわち,行列は正値ですからωａ^＝[ａ^,Ｈ]_－によって

消滅演算子ａ^の作用でエネルギー固有値はωずつ減少するにも

関わらず,固有値が最低の状態|0＞が存在して最低固有値(ω/2)ｒ'

は非負です。

すなわち,ａ^|0＞＝0 ,Ｈ|0＞＝(ω/2)ｒ'|0＞ (ｒ'≧0)と表わすことができます。

ａ^|0＞＝0,Ｈ|0＞＝(ω/2)ｒ'|0＞,Ｈ＝Ｈ_S≡(ω/2)[ａ^⁺,ａ^]_＋

なので,ａ^ａ^⁺|0＞＝ｒ'|0＞です。

ここでもｒ'＝0 の場合は,恒等的にａ^＝ａ^⁺＝0 となって物理的意味がないと考えられるので,以下ではｒ'＞0 とします。

－2ａ^⁺＝[ａ^⁺,[ａ^⁺,ａ^]_＋]_－よりａ^(ａ^⁺)²＝(ａ^⁺)²ａ^＋2ａ^⁺

であり,ａ^|0＞＝0,ａ^ａ^⁺|0＞＝ｒ'|0＞なので,

Ｈ_Sａ^⁺|0＞＝(ω/2)(ｒ'＋2)ａ^⁺|0＞,Ｈ_S(ａ^⁺)²|0＞＝(ω/2)(ｒ'＋4)(ａ^⁺)²|0＞,..,Ｈ_S(ａ^⁺)ⁿ|0＞＝(ω/2)(ｒ'＋2ｎ)(ａ^⁺)ⁿ|0＞

となります。

このことから,Ｈ＝Ｈ_S の固有状態は常に(ａ^⁺)ⁿ|0＞という形に書けて,その固有値はω(ｎ＋ｒ'/2)であることがわかります。

ここで,質量の平方が負のタキオン(tachyon)という超光速の仮想的粒子を記述する３次元Lorentz群Ｏ(3,1)の生成子Ｈ≡{Ｈ⁽⁺⁾,Ｈ^(-),Ｈ⁰}を思い起こします。

すると,(1/2)(ａ^⁺)²をＨ⁽⁺⁾に,(1/2)ａ²をＨ^(-)に,そして(1/4)[ａ^⁺,ａ^]_＋をＨ⁰に対応させることにより,このモデルの系の交換関係が上記３次元Lorentz群の生成子のそれと一致することがわかります。

これによって計算される行列要素については,結果だけ書くと,

ａ^⁺|ｎ＞＝(ｎ＋ｒ')^1/2|ｎ＋1＞(ｎが偶数),

ａ^⁺|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2|ｎ＋1＞ (ｎが奇数),および,

ａ^|ｎ＞＝ｎ^1/2|ｎ－1＞(ｎが偶数),

ａ^|ｎ＞＝(ｎ－１＋ｒ')^1/2|ｎ－1＞(ｎが奇数)

となります。

それ故,[ａ^,ａ^⁺]_－|ｎ＞＝ｒ'|ｎ＞(ｎが偶数),

[ａ^,ａ^⁺]_－|ｎ＞＝(ｒ'－2)|ｎ＞(ｎが奇数)　となります。

ただし,ｒ'＝１のときのみ,ｎが偶数,奇数であるに関係なく

[ａ^,ａ^⁺]_－＝1とすることができます。

このときには,系は１次元のBose統計に従うといいます。

ここで,ｘ＝(ａ^＋ａ^⁺)/√2,ｐ＝i(ａ^⁺－ａ^)/√2で与えられる

ｘやｐをその記号通りに位置や運動量と見なすことはできません。

もし,文字通りにこれらを位置,運動量とみなすなら,座標原点の取り方を変えてもｘとｐの関係式は不変でなければなりませんが,

これが満たされるものは,2ａ^＝[ａ^,[ａ^⁺,ａ^]_－]_－,

－2ａ^⁺＝[ａ^⁺,[ａ^⁺,ａ^]_－]_－に従うものの中には存在しません。

2ａ^＝[ａ^,[ａ^⁺,ａ^]_＋]_－,－2ａ^⁺＝[ａ^⁺,[ａ^⁺,ａ^]_＋]_－に従うも

の中で[ｘ,ｐ]_－＝ｉという通常の正準交換関係:([ａ^,ａ^⁺]_－＝１に相当)を満たすものに限られることがわかります。

調和振動子のエネルギーの単位ωが添字ｎを付けたω_nで与えられる

ような多数の調和振動子の系についても,以上の議論を一般化するこ

とができます。

実際の量子化された場は無数の調和振動子の系から成っているわけですからそうした扱いが必要ですが,内容は本質的に１つの１次元調和振動子の話と変わらないと思われるので割愛します。

ただ,Fermi統計やBose統計はｒやｒ'を１とした特殊解であって,上述のような一般の１よりも大きいｒ,ｒ'に対して生成・消滅演算子が要求される交換関係を満たす場合の解は,

order:ｒのPara-Fermi(パラ・フェル)ミ統計,あるいはorder:ｒ'の

Para-Bose(パラ・ボーズ)統計に従う,あるいは,総称してパラ統計に

従うといいます。

参考文献：大貫義郎 著「ポアンカレ群と波動方程式」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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