スピンと統計の関係(微視的因果律)

数学,それもPoincare'のトポロジーへの入門とはいえ,解析学的な話題

ばかりが続いたので,ここで物理学に戻って量子論の軽い話題にでも触

れておきたいと思います。

そこで,今日は特にスピンがゼロのBosonとスピンが1/2 のFermion

に対するスピンと統計の間に成立すべき関係を,いくらか詳細に論

じてみます。

Lorentz共変性の要請を満たす,唯１つの"基底状態(ground-state)

＝真空(Vacuum)"を持つ局所的理論において,

"もしも,微視的因果律(microscopic causality)の成立条件を満たす

べきことを要請するなら,

整数スピンの場は"Bose場＝Bose統計に従う場"として,　

半奇数スピンの場は"Fermi場＝Fermi統計に従う場"として,　

量子化されなければならない。"　

という命題を証明します。

"ここで,微視的因果律の成立条件を満たす。"というのは,　

「観測可能な作用素(演算子)Ｏの局所密度をρ(ｘ)＝ρ(ｘ,t),

つまり,Ｏ≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,t)とするとき,

ｘとｙが空間的(space-like)に離れている場合には,

ρ(ｘ)とρ(ｙ)は干渉することが不可能であり,それ故,

交換すること が要求されること」を意味します。

つまり,"(ｘ－ｙ)²＜0 なら[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－＝0 "

なることが微視的因果律の成立条件です。

空間的に離れている:(ｘ－ｙ)²＜0 "というのは,

ｃｔ＝|ｘ⁰－ｙ⁰|と書けば,|ｘ－ｙ|＞ｃｔなることを

意味します。

これは,２つの事象の空間的距離の差が|ｘ－ｙ|,時間座標の差

がｔなので,３次元の空間内の２点ｘ,ｙの一方の点から他方の

点まで,相対論で限界速さとされている光速ｃの信号でも到達

不可能な場合です。

微視的因果律とは「超光速信号が存在しない限り一方が原因で

他方が結果とは成り得ない場合には,両者の観測可能量が作用素

として交換する(＝無関係である)べきこと」を主張します。

ここでは,任意の２つの作用素Ａ,Ｂに対して交換子を,

[Ａ,Ｂ]_－≡ＡＢ－ＢＡで,反交換子を[Ａ,Ｂ]_＋≡ＡＢ＋ＢＡ

で定義します。

粒子場に,この微視的因果律の要請を課せば,それは特に

「スピンがゼロのKlein-Gordon場の反交換子による量子化,および

スピンが1/2のDirac場の交換子による量子化とは相容れない。」

ということを以下で示そうと思います。

電荷密度ρ(ｘ,t)や電流密度ｊ^μ(ｘ,t)のような理論における

観測可能量の密度は,場を表わす作用素(場の演算子)の２次形式

(または双1次形式)で構成されています。

すなわち,粒子場の成分を場の作用素(演算子)としてφ_a(ｘ)etc.

で表現すれば,観測可能量の密度ρ(ｘ)は,

ρ(ｘ)≡φ_a(ｘ)φ_ｂ(ｘ),または,これらの代数和

で与えられます。

そして,これらが空間的に離れた２点ｘ,ｙでは交換すること

を要請すると,これは(ｘ－ｙ)²＜0 なら,

[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－＝[φ_a(ｘ)φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)φ_ｂ(ｙ)]_－＝0

を意味します。

[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－の場の演算子の交換子による表現は,

[φ_a(ｘ)φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)φ_ｂ(ｙ)]_－

＝φ_a(ｘ)[φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)]_－φ_ｂ(ｙ)

＋φ_a(ｘ)φ_a(ｙ)[φ_b(ｘ),φ_ｂ(ｙ)]_－

＋[φ_a(ｘ),φ_a(ｙ)]_－φ_b(ｘ)φ_ｂ(ｙ)

＋φ_a(ｙ)[φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)]_－φ_ｂ(ｘ)

となります。

一方,同じ[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－の場の反交換子による表現は,

[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－＝φ_a(ｘ)[φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)]_＋φ_ｂ(ｙ)

－φ_a(ｘ)φ_a(ｙ)[φ_b(ｘ),φ_ｂ(ｙ)]_＋

＋[φ_a(ｘ),φ_a(ｙ)]_＋φ_b(ｘ)φ_ｂ(ｙ)

－φ_a(ｙ)[φ_ｂ(ｘ),φ_a(ｙ)]_＋φ_ｂ(ｘ)

です。

ここで,φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)をKlein-Gordon場のφ,φ^*の組み合わせ,

または,Dirac場のψやψ⁺γ⁰の異なるスピノル成分の組み合わせ

とします。

すると,上述の[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－の表現式から,

空間的に離れた(ｘ－ｙ)²＜0 を満足する２点ｘ,ｙに対して,

[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_－＝0 (Bose条件),または

[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_＋＝0 (Fermi条件)が成立することは,

[ρ(ｘ),ρ(ｙ)]_－＝0 が成立するための十分条件になって

いることがわかります。

もちろん,十分条件ですが,必要十分条件ではないので,これらの

交換関係に基づく統計性の他にも,謂わゆるパラ統計などが成立

する可能性もありますが,

ここでは上記の交換子,あるいは反交換子による定式化の２つ

だけに限定して考えます。

特に,(ｘ－ｙ)²＜0 なら,あるLorentz系ではｘ⁰＝ｙ⁰,ｘ≠ｙと

することができるので,同時刻で(反)交換関係がゼロであるとい

う条件は,

(ｘ－ｙ)²＜0 を満たす任意のｘ,ｙに対し(反)交換関係がゼロ

であるという条件と同等です。

そして,Klein-Gordon場に対しては,通常はLorentz不変性と

同時刻正準交換関係に基づいて正準量子化が実行され,相互作用

が存在するときでも

(ｘ－ｙ)²＜0 の２点ｘ,ｙに対して,[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_－＝0

のBose条件が満足されるとします。

しかし,もしもKlein-Gordon場をFermi場のような反交換子を

基にして定式化しようと試みるなら,

場の反交換子の真空期待値:

Δ₁'(ｘ－ｙ)δ_rs＝＜0|[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_＋|0＞を考える

ことによって,微視的因果律と矛盾することが示されます。

すなわち,この定式化では相互作用のある自由ではない

Klein-Gordon場の不変デルタ関数(反交換子の真空期待値):

Δ₁'(ｘ－ｙ)は,

自由場の不変デルタ関数(反交換子の真空期待値):

Δ₁(ｘ－ｙ)＝∫ｄ³ｋ[1/{(2π)³(2ω_k)}]{ｅ^-ik(x-y)＋ｅ^ik(x-y)}

でスペクトル表示できます。

これは,Δ₁'(ｘ－ｙ)＝ＺΔ₁(ｘ－ｙ)

＋∫_ｍ2ｄσ²ρ(σ²)Δ₁(ｘ－ｙ,σ²)　です。

ただし,Ｚはくりこみ定数の１つです。

また,右辺のΔ₁(ｘ－ｙ,σ²)は,平方質量がσ²のときの

自由反交換子の期待値:Δ₁(ｘ－ｙ)を意味します。

そして,Δ₁(ｘ－ｙ,σ²)(またはΔ₁(ｘ－ｙ))は,もちろん自由場

のKlein-Gordon方程式に従います。

(ｘ－ｙ)²＜0 のとき,通常の交換子による定式化での不変デルタ

関数(交換子の真空期待値):

iΔ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ³ｋ[1/{(2π)³(2ω_k)}{ｅ^-ik(x-y)－ｅ^ik(x-y)}

が確かにゼロになるのに反し,Δ₁(ｘ－ｙ)はゼロとはならない

ことを示すことができます。

具体的表現はΔ₁(ｘ)＝∫ｄ³ｋ[1/{(2π)³(2ω_k)}](ｅ^-ikx＋ｅ^ikx)

＝[－1/(2π²|ｘ|)](∂/∂|ｘ|)[∫₀^∞(cos(ｋｘ)/(ｋ²＋ｍ²)^1/2)

cos{(ｋ²＋ｍ²)^1/2ｔ}ｄｋ]です。

そして,ｘ²＜0 のときのΔ₁(ｘ)はLorentz不変性により,ｔ＝0

を仮定して計算しても同じです。

ｔ＝0 のときには,|ｘ|＝(－ｘ²)^1/2＝(|ｘ|²－ｔ²)^1/2なので,

これを一般化して|ｘ|→(－ｘ²)^1/2とおくことにします。

一方,通常の交換子による定式化でのΔ(ｘ)は,Δ₁(ｘ)の

cos{(ｋ²＋ｍ²)^1/2ｔ}なる因子がsin{(ｋ²＋ｍ²)^1/2ｔ}に

変わるだけなので,ｔ＝0 のLorentz系を取れば,これは確かに

ゼロになることがわかります。

ところが,Δ₁(ｘ)の方は,Ｋ₀(ｚ)を第２種の変形Bessel関数

とすると,

Δ₁(ｘ)＝[－1/{2π²(－ｘ²)^1/2|]{∂/∂(－ｘ²)^1/2}

Ｋ₀[ｍ(－ｘ²)^1/2]

＝[ｍ/{2π²(－ｘ²)^1/2|]Ｋ₀'[ｍ(－ｘ²)^1/2] と表現されます。

Ｋ₀(ｚ)は大きいｚに対しては,

Ｋ₀(ｚ)～{π/(2ｚ)}^1/2exp(－ｚ)と

漸近近似されます。

したがって,その微分係数の漸近近似は

Ｋ₀'(ｚ)～(π/2)^1/2(－ｚ^-3/2/2－ｚ^-1/2)exp(－ｚ)

となります。

それ故,－ｘ²＞1/ｍ²のような大きく離れた空間的距離

では,Δ₁(ｘ)＝Δ₁(ｘ,ｔ,ｍ²)～[ｍ^1/2/(2π)^3/2}

ｅxp[－ｍ(|ｘ|²－ｔ²)^1/2]/(|ｘ|²－ｔ²)^3/4となり,

大きい|ｘ|に対して

Δ₁'(ｘ,0)

～Ｚｅ^－ｍ|ｘ|/|ｘ|^3/2＋∫_ｍ2ｄσ²ρ(σ²)ｅ^－σ|ｘ|/|ｘ|^3/2

となります。

そこで,(ｘ－ｙ)²＜0 となる空間的なｘ,ｙに対し,

Δ₁'(ｘ－ｙ)≡＜0|[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_＋|0＞がゼロには

なりません。

これは,この定式化での微視的因果律成立の条件である,

(ｘ－ｙ)²＜ 0 で[φ_r(ｘ),φ_s(ｙ)]_＋＝0 になるという

ことに矛盾するため,正当な定式化とは成り得ません。

一方,スピンが1/2のFermi場を通常の反交換子によって定式化

すると,考察すべきLorentz不変な関数

(＝場の反交換子の真空期待値)は,

Ｓ_αβ'(ｘ－ｙ)＝＜0|[ψ_α(ｘ),(ψ⁺γ⁰)_β(ｙ)]_＋|0＞ですが,

これは,∫₀^∞ｄＭ²{ρ₁(Ｍ²)(iγ^μ∂_μ)＋ρ₂(Ｍ²)}_αβ

×Δ(ｘ－ｙ；Ｍ)なるスペクトル表示で表現されます。

しかし,もしもスピンが 1/2 のFermi場を交換子で表現しよう

とするなら,その定式化で考察すべき場の交換子の真空期待値

の表現は,

上に与えた場の反交換子の真空期待値の表式で

反交換子:[ψ_α(ｘ),(ψ⁺γ⁰)_β(ｙ)]_＋を交換子:

[ψ_α(ｘ),(ψ⁺γ⁰)_β(ｙ)]_－に置き換える必要があります。

これによって,スペクトル表示はΔ(ｘ－ｙ；Ｍ)を

Δ₁(ｘ－ｙ；Ｍ)

に変えた表式に変更されます。

それ故,微視的因果律成立の条件である,(ｘ－ｙ)²＜ 0 なる

ｘ,ｙに対して [ψ_α(ｘ),(ψ⁺γ⁰)_β(ｙ)]_－＝0 となるべき

ことに矛盾するという結果が得られます。

スピンが1/2より大きい粒子場は,全てスピン1/2の粒子場の直積

で表わされ,こうしたスピンの大きい自由粒子は,いわゆる

Berdman-Wignerの方程式に従う場で記述されます。

このうち,スピンが整数の場合は,この方程式はFieltz-Pauli

の方程式というKlein-Gordon方程式を高次元に一般化したもの

にゲージ条件を加えたものへと変換されます。

一方,スピンが半奇数の場合は,Dirac方程式を高次元に一般化

して,ガンマ行列による拘束条件を付加した謂わゆるスピンが

(ｎ＋1/2)のRarita-Schwingerの方程式に従う場となります。

いずれにしても,場の交換子,反交換子の真空期待値を表わす

不変デルタ関数は,スピンが整数の場合に反交換子で定式化したり

スピンが半奇数の場合に交換子で定式化すると微視的因果律に

矛盾する結果となります。

それ故,微視的因果律の要請を認める局所場の理論では,粒子の

統計を表わす同時刻の正準関係が交換子,または反交換子のみで

表現される,というような二者択一的な定式化に従うことを前提

とする場合,

粒子のスピンが整数の場合にはBose統計に,粒子のスピンが半奇数

の場合にはFermi統計に従うものしか観測可能量を表現する物理的

粒子として存在できない,という結論が得られます。

理論が局所的対称性(つまり大域的だけではなく位置座標に依存

する対称性)を持つために,ゲージ不変性を有する場合には,共変

的量子化を行うためにゲージを共変ゲージに固定する必要があり

ます。

このときは,通常要求されるＦＰゴースト(Fadeev-Popov Ghost)

を記述する粒子はスピンが1/2なのにBose統計に従うものがあり

ます。

それ故,これらゴースト粒子は微視的因果律の要請を満たしません

が,ゴーストは補助場として理論に関係するのみで現実の観測可能

量を記述する際には埋没してしまう非物理的粒子なので,これらは

矛盾の種にはなり得ません。

参考文献：J.D.Bjorken S.D.Drell ｢Relativistic Quantum Fields｣ (McGraw-Hill)　大貫義郎 著「ポアンカレ群と波動方程式」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

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