超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(3)

　前記事の続きです。

　これまでは独立変数をｚとしてきましたが,以下では便宜上,ｚの代わりに独立変数として文字ｘを用いることにして,ｚはｘの従属変数の文字として使用します。

　もちろん,変数名がｘだからといって実数というわけではなく,ここでのｘは一般に複素数を表わします。

ｚ(ｘ)を超幾何微分方程式の１つのｓ関数とします。

このとき,ｓ関数の定義によって超幾何微分方程式:

ｘ(ｘ－1)(ｄ²ｙ/ｄｘ²)＋[(α＋β＋1)ｘ－γ](ｄｙ/ｄｘ)＋αβｙ＝0 の１次独立な解ｙ₁,ｙ₂を適当に選ぶとｚ(ｘ)＝ｙ₁/ｙ₂と書くことができます。

ここで,ｘ₀を 0,1,∞ 以外の複素数として,ｚ₀≡ｚ(ｘ₀)とします。

このときｚ₀＝∞となることも有り得ますが,それはｙ₂(ｘ₀)＝0 のときに限ります。

ｚ'＝ｄｚ/ｄｘ＝(ｙ₁'ｙ₂－ｙ₁ｙ₂')/ｙ₂²であり,ｙ₁,ｙ₂は１次独立ですから,ｘ＝0,1,∞ 以外では,ｙ₁,ｙ₂のWronskian(ロンスキアン)はゼロにはなりません。

つまり,ｙ₁'(ｘ₀)ｙ₂(ｘ₀)－ｙ₁(ｘ₀)ｙ₂'(ｘ₀)≠ 0 です。

そこで,ｚ₀≠∞ ならｙ₂(ｘ₀)≠0 なので,0＜|ｚ'(ｘ₀)|＜∞ です。

また,ｚ₀＝∞ならｙ₂(ｘ₀)＝0 ですが,このとき,もしｙ₂'(ｘ₀)＝ 0 なら恒等的にｙ₂(ｘ)≡ 0 となりますから,１次独立性に矛盾します。

それ故,ｙ₂'(ｘ₀) ≠ 0 でなければなりませんから,ｘ₀は 1/ｚ＝ｙ₂/ｙ₁の１位の零点で,(1/ｚ)'_x=x0≠ 0 です。

以上から,複素ｘ平面のＣ－[{0}∪{1}]を複素ｚ平面のＣ∪{∞}に写す写像ｘ→ｚ(ｘ)は全ての点において１対１です。

したがって,"複素平面上の各点における交角の角度を保存する写像＝等角写像"です。

今後は,超幾何方程式のパラメータα,β,γは全て有理数である場合のみを考えます。

それは,今考えている対象は超幾何微分方程式の全ての解が代数関数である場合で,既に述べたようにこれが成り立つためには,解の分岐点が全て代数分岐点でなければならないため,α,β,γが全て有理数になることが必要だからです。

さらに,簡単のためにλ＝|1－γ|,μ＝|γ－α－β|,ν＝|α－β|は整数ではないとしておきます。

全ｘ平面をΠ,その上半部:Imｘ＞0 をΠ⁺で表わします。

そしてΠ⁺をｓ関数ｚ(ｘ)によって,ｚ平面に写像したらどうなるか？を考えます。

ｚ(ｘ)はｙ₁,ｙ₂がｘの多価関数なので一般にｘの多価関数です。

しかし,ｘがΠ⁺を動く限りでは,それは分岐点 0,1,∞ の周りを１周することができません。

そこで,予め分枝を１つ定めておけば,決して他の分枝に移ることはないので,Π⁺においてはｚ(ｘ)は１価です。

また,ｚ(ｘ)はｘ＝ 0,1,∞ に特異点を持ちますが,

それらは超幾何微分方程式:

ｘ/(ｘ－1)(ｄ²ｙ/ｄｘ²)＋[(α＋β＋1)ｘ－γ](ｄｙ/ｄｘ)＋αβｙ＝ 0 の確定特異点で,しかもλ,μ,νが有理数です。

(λ＝|1－γ|,μ＝|γ－α－β|,ν＝|α－β|です。)

ｘがΠ⁺の中から実軸に向かって 0,1 に,あるいは∞ に近づくとき,

ｚ(ｘ)は確定した値(∞も含めます)に近づきます。

そこでこの極限値を0,1,∞ におけるｚ(ｘ)の値であると定めます。

まず,実軸上の3つの区間(－∞,0],[0,1],[1,∞)のｚ(ｘ)による像を定めます。

ｙ₁＝ｘ^1-γＦ(α－γ＋1,β－γ＋1,2－γ;ｘ),ｙ₂＝Ｆ(α,β,γ;ｘ)とし,解の比ｚ(ｘ)としては,γ＜1のときｙ₁/ｙ₂,γ＜1のときｙ₂/ｙ₁を取ることにします。

ただし,Ｆ( , , :ｘ)としては,|ｘ|＜1において超幾何級数で表わされる分枝を取ることにします。ｘ^1-γとしては,ｘが実数でｘ≧0 のときにはｘ^|1-γ|≧0 となる分枝を選びます。

α,β,γは有理数であり,したがって実数なので,

Ｆ(α－γ＋1,β－γ＋1,2－γ;ｘ),Ｆ(α,β,γ;ｘ)はいずれも実係数の２階常微分方程式の解でｘ＝ 0 の近傍では,解とその１階導関数が実数値を取ります。

そこで,それを実軸に沿って解析接続していくと特異点ｘ＝1を超えない範囲－∞≦ｘ≦1ではこれらは実数値を取ります。

したがって,γ＜1のときｚ(ｘ)＝ｙ₁/ｙ₂,γ＜1のとき,

ｚ(ｘ)＝ｙ₂/ｙ₁よりｓ関数＝解の比ｚ(ｘ)は,ｚ(ｘ)

＝ｘ^|1-γ|Ｐ(ｘ)＝ｘ^λＰ(ｘ)(－∞≦ｘ≦1ではＰ(ｘ)∈Ｒ)

のような形を持ちます。

今,ｘが１から実軸に沿って－∞まで動くとき,ｚ(ｘ)はどのように変化するかを見てみます。

ｘ^|1-γ|＝ｘ^λはｘ≧0 のときに負にならない分枝を取っており,さらにＦ( , , :0)＝1なのでｘがゼロに近い正の値を取るとき,ｚ(ｘ)＞0 でｚ(0)＝0 です。

故に,実区間: 0≦ｘ≦1はｚ平面の実軸上の線分:

0＝ｚ(0)≦ｚ≦ｚ(1)に移ります。

ｘがゼロを通過してｘ＜0 の範囲に入ると,arg(ｘ)はπだけ増加するのでｘ^λはｅ^πiλ|ｘ|^λに変化します。

Ｐ(ｘ)は依然,実数値を取り続けるのでｘの区間[0,－∞]はｚ(0)においてｚ平面の実軸と角度λπをなす線分ｚ(0)→ｚ(∞)に移ります。

このとき,もしλ＞2であるとλπ＞2πより,Π⁺の像がｚ平面上で重なり合いｚ平面の１部を２重に覆うようになります。

そこで,こうした場合は今後考えないことにして,λ＝|1－γ|＜2 を仮定しておきます。

今はｚ(ｘ)として特別なｓ関数を選んだわけですが,他の一般のｓ関数ｚ^(ｘ)を選んだ場合には,

ｚ^(ｘ)＝(ａｚ(ｘ)＋ｂ)/(ｃｚ(ｘ)＋ｄ) (ａｄ－ｂｃ≠0 )

が成り立ちます。

ｚ^(ｘ)による－∞≦ｘ≦1 の像は,今求めた図形:

(ｚ(1)→ｚ(0)→ｚ(∞))に１次分数変換を施したもの

になります。

このとき,線分は一般に円弧に移るので求める図形:

(ｚ^(1)→ｚ^(0)→ｚ^(∞))はｚ^(0)で交わる２つの円弧

になります。

そして,その交角は１次分数変換が等角写像なのでやはりλπです。

次には,ｙ₁＝(1－ｘ)^γ-α-βＦ(γ－β,γ－α,γ－α－β＋1;1－ｘ), ｙ₂＝Ｆ(α,β,α＋β－γ＋1;1－ｘ)とし解の比ｚ(ｘ)としては,γ－α－β＜1のときｙ₁/ｙ₂,γ－α－β＜1のときｙ₂/ｙ₁を取ることにします。

そして,0≦ｘ≦∞ のｚ(ｘ)による像を考えると,前と同様にして,これはｚ(1)において角度μπをなして交わる２つの線分になります。

同様にして,ｘ＝∞の周りで展開した２つの超幾何関数解の比:ｚ(ｘ)について考察して,

ｘの実区間[1, ∞]∪[－∞,0]のｚ(ｘ)による像はｚ(∞)において角度νπをなして交わる２つの線分になることもわかります。

そしてｚ(1)において角度μπをなして交わる２つの線分とｚ(∞)において角度νπをなして交わる２つの線分も,他の一般のｓ関数ｚ^(ｘ)を選んだ場合には,それぞれｚ^(1)において角度μπで交わる２つの円弧とｚ^(∞)において角度νπで交わる２つの円弧になります。

以上からｘ平面の実軸全体のｓ関数による像はｚ^(0),ｚ^(1),ｚ^(∞)を頂点とする円弧三角形となることがわかりました。

そしてｚ^(0),ｚ^(1),ｚ^(∞)における頂角は,

それぞれ,λπ,μπ,νπです。

ここで次に挙げる複素関数論の定理を用います。

"複素ｘ平面上の区分的に滑らかな曲線Ｃが単連結な領域Ｄを囲んでいるとする。

関数ｆ(ｘ)が与えられ,これはＤ∪Ｃから有限個の点ａ₁,ａ₂,..,ａ_mを除いたところで正則であり,ａ_jにおいてはｆ(ｘ)＝ｆ(ａ_j)＋(ｘ－ａ_j)^λjφ_j(ｘ),0＜λ_j＜2,φ_j(ｘ)はａ_jにおいて正則でφ_j(ａ_j)≠0 のような形をしているとする。

このとき写像:ｘ→ｚ＝ｆ(ｘ)によってＣがｚ平面上の単純閉曲線:Ｃ~に１対１に写像されるならば,ＤはＣ~によって囲まれる領域Ｄ~に等角写像され,ｆ(ｘ)はＤにおいて単葉である。つまりＤとＤ~の対応は１対１である。"　

という定理です。

この定理については,ここでは証明せずに認めることにします。

そして上述の定理を用いることにより,結局,

"Π⁺から実軸を除いた領域はｓ関数によってｗ平面の円弧三角形の内部に１対１に等角写像される。"

ということがわかります。

ただし,λ＜2,μ＜2,ν＜2は常に仮定されているとしています。

次に,ｓ関数によるΠ全体の像を考えます。 

まず,ｓ関数を１価にするため,ｘ平面上での実軸上の区間 [-∞,0],[1,∞]をΠから除きます。

こうすればｓ関数はこの範囲で１価正則です。

ｚ(ｘ)としては特にｘ平面実軸上の0≦ｘ≦1において実数値を取るものを選んでみます。

そうすれば,Π⁺はｗ平面の実軸上の区間[ｚ(0),ｚ(1)]に対応する線分を１辺とし,２つの円弧を2辺とする三角形に写像されます。

ｚ(ｘ)はΠ⁺－([-∞,0]∪[1,∞])で正則で境界[0,1]で実数値をとるように定義されているので鏡像の原理によってｚ(ｘ^*)＝ｚ^*(ｘ)が成立します。

すなわちｘ平面の下半部のｚ(ｘ)は,ｚ(ｘ)≡ｚ^*(ｘ^*)によって,上記Π⁺－([-∞,0]∪[1,∞])の円弧三角形を,実軸に関して対称な裏返しにした円弧三角形の内部に写像されます。

こうして,２つの互いに対称な円弧三角形を境界[ｚ(0),ｚ(1)]で連結させた円弧四角形がｚ(ｘ)によるΠの像です。もちろん,Πとこの四角形の対応も１対１です。

そして,ｚ(ｘ)として,0≦ｘ≦1において実数値を取るという特別なものではなく,一般のｓ関数を採用すると,それによるΠの像は先のｚ平面の特別な四角形を１次分数変換で移したものになります。

実軸に関する対称変換:ｚ→ｚ^*を一般の円弧について一般化したものは反転という変換に対応します。

反転というのは,中心がＯで半径がｒの円または円弧があって,Ｐをその円の内側または外側にある任意の点とすると,その点ＰにＯＰ・ＯＰ'＝ｒ²を満たすような半直線ＯＰ上の点Ｐ'を対応させる写像のことです。

なお,直線も半径が∞の円の１種であると考え,その際には単に直線に関する対称点をとる写像＝対称変換を反転と定義します。

反転の主な性質は次の３つです。

(ⅰ)反転によって円は円に移る。ただし直線も円の１種とみなす。

(ⅱ)反転により角度は不変に保たれる。

(ⅲ)直線ｌに関する点Ｐの対称点をＰ'とし１次分数変換によって直線ｌが円Ｃに,Ｐ,Ｐ'がＱ,Ｑ'に移ったとすれば,ＱとＱ'は互いに円Ｃに関する反転になっている。

ただし.ａ∈Ｃとし円Ｃが|ｚ－ａ|²＝ｒ²で与えられているとすると,

ｗのＣによる反転をｚ'とすれば,ｚ'＝ａ＋ｒ²/(ｚ^*－ａ^*)

＝(ａｚ^*＋ｒ²－|ａ|²)/(ｚ^*－ａ^*)なので,反転は１次分数変換ではありません。

しかしｚ'＝ａ＋ｒ²/(ｚ^*－ａ^*)という形から明らかなように,反転を２回合成したもの,それ故,偶数回合成したものは１次分数変換です。

Schwarzの目的はｚ(ｘ)が代数関数になる条件を求めることですが,彼はここで関数ｚ(ｘ)そのものではなく,その逆関数ｘ(ｚ)を考えます。

そして代数関数の逆関数も代数関数ですから,ｘ(ｚ)が代数関数となる条件を求めても,その目的は達せられます。

彼は,ここでさらに問題を単純化して,ｘ(ｚ)がｚの１価関数となる場合のみを考えます。

１価の代数関数は有理関数ですから,結局Schwarzはｘ(ｚ)が有理関数となる条件を求めることによって,彼の問題に部分的な解決を与えたわけです。

そこで,ｘ(ｚ)がｚの１価関数となる条件を求めます。

既に示したように,ｘ＝0,1,∞以外ではｘとｚ(ｘ)の対応は１対１なので,それらの点の近傍以外ではｘ(ｚ)はｚの１価関数です。

それ故,ｘ＝0,1,∞ の近傍におけるｘとｚの対応関係のみが問題となります。

ｚ＝0 の近傍での対応は既に述べたように,ｚ(ｘ)＝ｘ^λＰ(ｘ),λ＝|1－γ|と書けて,Ｐ(ｘ)はｘ＝0 の近傍で正則かつＰ(0)≠0 です。

したがって,その逆関数はｚ＝0 の近傍ではｚ^1/λの正則関数となります。そこでｘ＝0 の近傍に関する限り,ｘ(ｚ)がｚの１価関数であるためには1/λが整数である。ということが必要十分です。

同様にｘ＝1の近傍とｘ＝∞ の近傍を考えることにより,

パラメータ:μ＝|γ－α－β|,ν＝|α－β|に関しては,

"ｘ(ｚ)がｚの１価関数であるための条件は1/μ,1/νが整数となることである。"

という結論が得られます。

すなわち,ｘ(ｚ)がｚの１価関数であるための条件は,正の整数ｍ,ｎ,ｐが存在してλ＝1/ｍ,μ＝1/ｎ,ν＝1/ｐとなることである。ということが示されました。

今日はここまでにします。

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャー

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