超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(4)

　Fuchs型微分方程式(超幾何微分方程式)についてのSchwarz(シュワルツ)の理論の続きです。

　今までの議論ではｚ(ｘ)の１つの分枝だけを考え,それによるｘ→ｚの写像を考えてきましたが,ｘ(ｚ)の性質を完全に調べるには,これだけでは不十分です。

ｚ(ｘ)が１つの分枝から他の分枝へ移るとき,ｘ→ｚによるｘ平面の像{ｚ(ｘ)}がどのように変わるか？を詳細に調べる必要があります。

ｙ₁,ｙ₂を超幾何微分方程式の１次独立な解として,ｓ関数:

ｚ(ｘ)＝ｙ₁/ｙ₂を考えます。

そして,Ｃ^－≡Ｃ－{0}∪{1}とおいてＣ^－の中に点ｘ₀を取りＣ^－の基本群＝π₁(Ｃ^－,ｘ₀)を考えます。

ここで,Ｃ^－の基本群＝π₁(Ｃ^－,ｘ₀)とは何か？ということを説明しておきます。

まず,

　"ｘ₀∈Ｃ^－から出発してｘ₀に戻る有向閉曲線の集合をΓ₀とするときγ₁,γ₂∈Γ₀に対して,γ₁,γ₂がhomoiopic(ホモトピックまたはホモトープ)であるとき,γ₁～γ₂である。"

と定めることによって１つの同値関係: ～を定義します。

それによって作られる"同値類＝homotopy類(homotopy^class)"において,γ∈Γ₀を代表元とするものをγ~で表わします。

※(注):ここで,２つの有向曲線:α,βが互いにhomotopicであるとは,

"これらの曲線が定義されている平面上で,αを移動させてβに重ねることができる連続写像(homotopy)が存在する。"

ことを意味します。

(有向曲線:α,βは閉曲線とは限りませんが互いの始点同士,終点同士は一致しています。)

　　　　　

　故に,もしも移動:α→β,またはα←βの際に,移動する有向曲線が掃く平面領域:Ｓに特異点があるなら,この移動(homotopy写像)は連続写像とは見なされず,両者はhomotopicではない,ことになります。

(注終わり※)

そして,∀γ₁,γ₂∈Γ₀に対して,ｘ₀∈Ｃ^－から出発して,まずγ₁を１周し,続いてγ₂を１周することによって得られる閉曲線をγ₁とγ₂の積:γ₂γ₁∈Γ₀であると定義します。

これによって,,Homotopy類における乗法(or 積):(γ₂γ₁)~≡γ₂~γ₁~を定義します。

このhomotopy類の全体から成る集合は,乗法に関して群をなすので,これをＣ^－の基本群と呼びπ₁(Ｃ^－,ｘ₀)という記号で表わします。

次に,γ~∈π₁(Ｃ^－,ｘ₀)とするときｙ₁,ｙ₂を基底として得られる,

γ~に対応するMonodromy行列:Ｍ(γ~)を,(ｙ₁(γ~ｘ₀),ｙ₂(γ~ｘ₀))

≡(ｙ₁(ｘ₀),ｙ₂(ｘ₀))Ｍ(γ~)によって定義します。

ｙ_j(γ~ｘ₀)はｙ_j(ｘ₀)をｘ₀から出発してγ~に属するγに沿って解析接続し,１周して元のｘ₀まで戻ったときに得られた関数です。

ここで,特別なｘ₀∈Ｃ^－ではなく任意のｘ∈Ｃ^－を考え,複素ｘ平面から[－∞,0]∪[1,∞]を除いた範囲内で,ｘとｘ₀を結ぶ任意の経路をＣ_xとします。

ｘからＣ_xに沿ってｘ₀まで行き,そこからγ~に属するγに沿って1周してｘ₀まで戻り,最後にＣ_xを逆向きにたどってｘに戻る経路も１つの有向閉曲線です。これをＣ_x^-1γＣ_xと書くことにします。

ｙ_j(ｘ) (ｊ＝1,2)の１つの分枝を取り,それをこの経路Ｃ_x^-1γＣ_xに沿って解析接続してｘに戻ったときに得られる分枝をｙ_j(Ｃ_x^-1γＣ_xｘ)と書けば,

(ｙ₁(Ｃ_x^-1γＣ_xｘ),ｙ₂(Ｃ_x^-1γＣ_xｘ))＝(ｙ₁(ｘ),ｙ₂(ｘ))Ｍ(γ~)

となるのは明らかです。

これは,Ｃ_xが[－∞,0]∪[1,∞]を横切らなければ,経路Ｃ_xには依存しません。

　それ故,改めてＣ_x^-1γＣ_x(for γ∈γ~)の全体をγ~とし,上の関係を(ｙ₁(γ~ｘ),ｙ₂(γ~ｘ))＝(ｙ₁(ｘ),ｙ₂(ｘ))Ｍ(γ~)と書くことに決めます。

こうして,π₁(Ｃ^－,ｘ₀)は,実は特別な点ｘ₀∈Ｃ^－には依らないということが示されました。

ここで,２×２行列Ｍ(γ~)の成分をＭ(γ~)≡(ｍ_ij(γ~))_i,j=1,2とすれば,ｙ₁(γ~ｘ)＝ｍ₁₁(γ~)ｙ₁(ｘ)＋ｍ₂₁(γ~)ｙ₂(ｘ),ｙ₂(γ~ｘ)＝ｍ₁₂(γ~)ｙ₁(ｘ)＋ｍ₂₂(γ~)ｙ₂(ｘ)です。

ｚ(γ~ｘ)＝ｙ₁(γ~ｘ)/ｙ₂(γ~ｘ)により,

ｚ(γ~ｘ)＝[ｍ₁₁(γ~)ｚ(ｘ)＋ｍ₂₁(γ~)]/[ｍ₁₂(γ~)ｚ(ｘ)

＋ｍ₂₂(γ~)]と書けます。

したがって,γ~によって定まる１次分数変換:Ｔ(γ~)を,

Ｔ(γ~)ｚ≡[ｍ₁₁(γ~)ｚ＋ｍ₂₁(γ~)]/[ｍ₁₂(γ~)ｚ＋ｍ₂₂(γ~)]

で定義すれば,

ｘ平面上の点が経路γ~を１周することで生じるｓ関数ｚ(ｘ)の解析接続は,ｚ(ｘ)→Ｔ(γ~)ｚ(ｘ)で与えられます。

Ｔ(γ₂~γ₁~))＝Ｔ(γ₂~)Ｔ(γ₁~)となるのは明らかですから,

対応:Ｍ(γ~)→Ｔ(γ~)によって,

Monodromy行列:Ｍ(γ~)全体の作る群であるMOnodromy群は,

Ｔ(γ~)全体の作る集合の上に準同型に写像されます。

そこで,Ｇが上記のＴ(γ~)全体の集合を表わすとすると,Ｇも１つの群となります。

ところで,ｚ(ｘ)→Ｔ(γ~)ｚ(ｘ)は,ｘがγ~を１周して元のｘに戻ったときにｚがＴ(γ~)ｚに移ることを示す式なので,逆に,ｘをｚの関数と考えればｘ(Ｔ(γ~)ｚ)＝ｘ(ｚ)の成立を意味します。

あるｓ関数の１分枝をｚ(ｘ)で表わせば,その他の分枝はＧに属する1次分数変換Ｔを用いて,Ｔｚ(ｘ)と表わされます。

ｚ(ｘ)によるｘ平面全体Πの像をｚ(Π)とすると,ｚ(ｘ)の他の分枝によるΠの像はＴｚ(Π) (Ｔ∈Ｇ)です。

　前の記事で述べたように,Ｔｚ(Π)もやはりｚ(Π)同様,ｚ平面上での１つの円弧四辺形で与えられます。

　そしてｘ(ｚ)はｚの１価関数であるとしているので,２つの異なるｘの値と１つのｚが対応することはありません。

そこで,仮にｚ(Π)∩Ｔｚ(Π)≠φであるとすれば,

ｚ₁∈ｚ(Π)∩Ｔｚ(Π)なるｚ₁が存在して適当なｘ₁,ｘ₂∈Πに対して

ｚ₁＝ｚ(ｘ₁)＝Ｔｚ(ｘ_２)が成立します。

ところが,Ｔが恒等変換でないならｚ(ｘ₁)≠Ｔｚ(ｘ₁)ですから,

ｚ(ｘ₁)＝Ｔｚ(ｘ_２)というのはｘ₁≠ｘ₂を意味します。

したがって,ｘ₁＝ｘ(ｚ₁),ｘ₂＝ｘ(Ｔ^-1ｚ₁)＝ｘ(ｚ₁),かつ

ｘ₁≠ｘ₂となり,これはｘ(ｚ)の１価性に反します。

それ故,Ｔ≠１ならｚ(Π)∩Ｔｚ(Π)＝φでなければなりません。

つまり,２つの円弧四辺形ｚ(Π)とＴｚ(Π)が重なることは,全く然ないわけです。

それ故,円弧四辺形の総和:∪_T∈GＴｚ(Π)はｚ平面のある領域を重複することなく覆うことになります。

この領域がｚ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)の定義域となります。

これまでの考察をまとめると,

"ｓ関数ｚ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)がｚの１価関数となる条件は,ｍ,ｎ,ｐを正整数としてλ＝1/ｍ,μ＝1/ｎ,ν＝1/ｐと書けることである。

このとき,ｚ(ｘ)の１分枝によるｚ平面Πの像:ｚ(Π)を∀Ｔ∈Ｇで移したものの全体は互いに重なり合わない円弧四辺形によって覆われる領域であって,

ｘ(ｚ)はこの上で定義された次の２つの性質を持つ関数である。"

と要約されます。

そして,ｘ(ｚ)が満たす２つの性質とは,

"(1) １つ１つの円弧四辺形の上ではｘ(ｚ)は 0,1 以外の全ての複素数をただ１回ずつ取る。

(2) ∀Ｔ∈Ｇに対してｘ(Ｔｚ)＝ｘ(ｚ),すなわちｘ(ｚ)は群Ｇに関する保型関数である。"

というものです。

今日はここまでにします。

ここまで書いたところで,その昔,完全には理解できないながらも読了した覚えのある久賀道郎 著「ガロアの夢(群論と微分方程式)」(日本評論社)という本についての記憶がよみがえりました。

"上述の話は,その本の内容の一部によく似ているな。"という感覚を覚えました。

もっとも,こっちの本の方はガロア群に関する話とか,より高度な内容を含んでいるようですが。。。。

最近,T_NAKAさんも,そのブログの「同値類別について」という記事の中でこの書物に触れられていましたが,私にとってもこの本は未だに興味深いテキストだと思います。

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャー

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