再掲「算術幾何平均と楕円積分」

　確か,４月４日の午後だったと記憶していますが,心臓の外科手術のために帝京大病院から順天堂大病院に転院しました。

　それから４月10日に実際に手術を受けるまでは数日間あって,その間,既に帝京大病院で稲見武雄 著「常微分方程式」(岩波書店)を読み終えていたため,内容的にそれの続きとなるような専門書を是非読みたいと渇望していました。

　そこで,電話でＮ目(ヌノメ)ちゃんという友人を呼び出し,自宅の鍵を預けて必要な本を持ってきてくれるように頼みました。その１冊の本が「2006年10月12日の私のブログ記事「算術幾何平均と楕円積分」の種本であった斉藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)です。

　これが届いてから１日くらいは,昔読んでノートにまとめた内容を読み返すのに費やしたので,順番に従うなら,この2006年10月12日に既に記述した内容についても,改めて前置きとして記述しておく必要があると考えます。

　そこでちょっと手抜きではありますがその記事を再掲しておきます。

　以下は全文が2006年10/12の記事の再掲記事です。　

※今日はちょっとマニアックですが算術幾何平均と楕円積分との関係について述べてみたいと思います。 

　まず,算術幾何平均とは何か？という定義から始めるとａ＞0,ｂ＞0 の場合には次のように定義されます。

すなわち,ａ₀＝ａ,ｂ₀＝ｂ,ａ_n+1＝(ａ_n＋ｂ_n)/2,ｂ_n+1＝(ａ_nｂ_n)^1/2によって算術平均と幾何平均の交互の数列{ａ_n},{ｂ_n}をつくります。

すると,仮にａ≧ｂならｂ_n≦ｂ_n+1≦ａ_n+1≦ａ_nであり,ｂ≧ａならａ_n≦ｂ_n+1≦ａ_n+1≦ｂ_nなので,２つの数列は共に上下に有界です。しかも単調増加,または単調減少なので共に収束します。

{ａ_n},{ｂ_n}のｎ→ ∞での極限値をそれぞれα,βとすると,α＝(α＋β)/2,β＝(αβ)^1/2より,α＝βとなります。この極限値α＝βをａとｂの算術幾何平均と定義し,これをＭ(ａ,ｂ)と書くことにします。

一方,第１種の楕円積分をＦ(φ,ｋ)≡∫₀^φｄφ/(1－ｋ²sin²φ)^1/2で定義します。

ここで,ｘ＝sinφとおくと,ｄｘ＝cosφｄφ,すなわち

ｄφ＝ｄｘ/(1－ｘ²)^1/2ですから,

Ｆ(φ,ｋ)＝∫₀^xｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2とも書けます。

　この積分をｕ(ｘ)とおくと,ｋsinφがφ＝2π＝(π/2)×4の周期を

持つことに対応して,ｕ(ｘ)の逆関数ｘ(ｕ)は,２つの定積分:

Ｋ＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2,

Ｋ'＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2

から決まる周期:4Ｋと2ｉＫ'を持つことを確かめることができます。

ただし,ｋ'²＝１－ｋ²です。

本記事での目的は,1/Ｍ(1,ｋ')＝2Ｋ/π,かつ 1/Ｍ(1,ｋ)＝2Ｋ'/π

を示すことです。

　結果としてｋ＝√2,ｋ'＝iを代入したとき,

ω≡Ｆ(π/2,i)＝∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2

＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2とおけば,ω＝(π/2)/Ｍ(1,√2)

が示されます。

つまり,lemniscare(レムニスケート)積分:∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2

＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2の値が１と√2の算術幾何平均に等しいことが

わかります。

もっとも,1/Ｍ(1,ｋ')＝2Ｋ/π,ｋ'＝i によって,(π/2)/Ｍ(1,ｉ)＝Ｆ(π/2,√2)＝∫₀^π/2ｄφ/(1－2sin²φ)^1/2＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－2ｘ²)}^1/2の方を示すのには,算術幾何平均を正の実数だけでなく複素数の範囲まで拡張する必要があるので,ここでは割愛します。

　さて,(π/2)/Ｍ(1,√2)＝ω≡Ｆ(π/2,i)に対して,Gaussの２つの証明

を紹介しましょう。 

まず,１つ目の証明は,Ｍ(λａ,λｂ)＝λＭ(ａ,ｂ)=λＭ(ａ_n,ｂ_n)なる

性質から,等式:Ｍ[1＋2ｔ/(1＋ｔ²),1－2ｔ/(1＋ｔ²)]

＝Ｍ[(1＋ｔ)²,(1－ｔ)²]/(1＋ｔ²)＝Ｍ(1＋ｔ²,1－ｔ²)/(1＋ｔ²)

が得られることから出発します。

一方,Ｍ(ｂ,ａ)＝Ｍ(ａ,ｂ)より,Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)はｋの偶関数なので,1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝1＋ａ₁ｋ²＋ａ₂ｋ⁴＋...と展開可能とします。

ｋ＝2ｔ/(1＋ｔ²)とすると,Ｍ[1＋2ｔ/(1＋ｔ²),1－2ｔ/(1＋ｔ²)]

＝Ｍ(1＋ｔ²,1－ｔ²)/(1＋ｔ²)から,

1＋ａ₁[2ｔ/(1＋ｔ²)]²＋ａ₂[2ｔ/(1＋ｔ²)]⁴＋...

＝(1＋ｔ²)(1＋ａ₁ｔ⁴＋ａ₂ｔ⁸＋...)

です。

両辺を(1＋ｔ²)で割って2ｔを掛けると,

2ｔ/(1＋ｔ²)＋ａ₁[2ｔ/(1＋ｔ²)]³＋ａ₂[2ｔ/(1＋ｔ²)]⁵＋...

＝ 2ｔ(1＋ａ₁ｔ⁴＋ａ₂ｔ⁸＋．．)が得られます。

左辺をｔのベキ級数に展開するため,

1/(1＋ｔ²)＝1－ｔ²＋ｔ⁴－ｔ⁶＋...,そして(1＋ｔ²)^-3

＝∑_m=1^∞[(－１)(－3－1)．．(1－3－ｍ＋1)t^2m/ｍ!] etc.

を用います。

そして,上の恒等式の両辺のｔのベキの係数を比較すると,

0 ＝1－4ａ₁＝9ａ₁－16ａ₂＝25ａ₂－36ａ₃＝...

＝(2ｎ－１)²ａ_n-1－(2ｎ)²ａ_n が得られます。

よって,ａ_n＝[1・3・5・...(2ｎ－1)/{2・4・6・...(2ｎ)}]²

＝[1・3・5・...(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]² です。

この結果をまとめると,1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)

＝∑_n=1^∞[1・3・5・...(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]²ｋ²ⁿとなります。

一方,1/(1－ｋ²sin²φ)^1/2

＝1＋(1/2)ｋ²sin²φ＋(1/2)²(1・3)ｋ⁴sin⁴φ/2!

＋(1/2)³(1・3・5)ｋ⁶sin⁶φ/3!＋...と展開できます。

そして,∫₀^π/2sin²ⁿφｄφ＝[1・3・5・...(2ｎ－1)/ (2ⁿｎ!)](π/2)

ですから,結局(2/π)Ｋ＝∑_n=1^∞[[1・3・5・...(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]²ｋ²ⁿ

となることがわかります。 

以上から,1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝(2/π)Ｋですが,

Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝Ｍ[1,(1―ｋ²)^1/2]＝Ｍ(1,ｋ')ですから,

1/Ｍ(1,ｋ')＝(2/π)Ｋです。

ｋをｋ'＝(1―ｋ²)^1/2で置き換えれば,1/Ｍ(1,ｋ)＝(2/π)Ｋ'も得られ

,結局(π/2)/Ｍ(1,√2)＝ω≡Ｆ(π/2,i)＝∫ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2

＝∫ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2が示されたことになるように見えます。

しかし,実は上に求めた級数の収束半径は１なので,lemniscate積分には

適用できません。

そこで,Gaussの与えたもう一つの証明を見てみましょう。

　まず,次の積分Ｉ(ａ,ｂ)をＩ(ａ,ｂ)

≡∫₀^π/2[ｄφ/(ａ²cos²φ＋ｂ²sin²φ)^1/2で定義します。

この積分において,sinφ＝2ａsinφ'/{ａ＋ｂ＋(ａ－ｂ)sin²φ'}

によって変数変換をして置換積分をすると,

Ｉ(ａ,ｂ)≡∫₀^π/2ｄφ/(ａ²cos²φ＋ｂ²sin²φ)^1/2

＝∫₀^π/2ｄφ'/(ａ₁²cos²φ'＋ｂ₁²sin²φ')^1/2

＝Ｉ(ａ₁,ｂ₁)となります。

もちろん,ａ₁＝(ａ＋ｂ)/2,ｂ₁＝(ａｂ)^1/2です。

Ｉ(ａ,ｂ)＝Ｉ(ａ₁,ｂ₁)＝Ｉ(ａ₂,ｂ₂)＝...＝Ｉ(ａ_n,ｂ_n)

＝...ですから,ｎ → ∞ に対して,Ｉ(ａ_n,ｂ_n) → Ｉ(ａ,ｂ)

です。

ところが,ａ_n → Ｍ(ａ,ｂ),ｂ_n → Ｍ(ａ,ｂ)より,

Ｉ(ａ,ｂ)＝Ｉ(Ｍ(ａ,ｂ),Ｍ(ａ,ｂ))

＝1/Ｍ(ａ,ｂ)]∫₀^π/2ｄφ/(cos²φ＋sin²φ)^1/2

＝π/[2Ｍ(ａ,ｂ)]

が得られます。

この結果から,ａ＝1,ｂ＝ｋにより,やはり1/Ｍ(1.ｋ)＝(2/π)Ｋ'が

得られます。

上に証明された結論に基づき,

ω≡ Ｆ(π/2,i)＝∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2

を計算する代わりに,実際にエクセル(Excel)を使って算術幾何平均を

計算することによって(π/2)/Ｍ(1,√2)を求めました。

これは,10回程度の繰り返し計算でほぼ収束して,

ω＝1.311028777146なる値になることがわかりました。

　話は変わりますが,こうしたことに興味を抱いたのは斉藤利弥 著の「線形微分方程式とフックス関数(ポアンカレ)を読む)」(河合文化教育研究所)に興味を持ったためです。

ｚの１価解析関数Ｆ(ｚ)があるとき,これが変換群Ｇに属する任意の変換

:Ｔに対してＦ(Ｔｚ)＝Ｆ(ｚ)を満たすなら,この関数ＦをＧに対する

保型関数と呼びます。

そして,特に群Ｇがメビウス(Mödbiys)変換＝１次分数変換:

Ｔ＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)の集合u,これがある条件を満足するとき

に構成されるFuchs(フックス)群であるときにはＧに対する保型関数をFuchs関数と言います。

特に,２階線形常微分方程式ｄ²ｙ/ｄｘ² ＝Ｑ(ｘ)ｙの２つの独立な解ｆ(ｘ)とφ(ｘ)の比をｚ(ｘ)＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)とします。

　複素平面上の１点ｘからｘに戻る有向閉曲線で作られる

ホモトピークラスの作る群である基本群から派生する変換に対して

閉曲線１回転でｘに戻ったとき,^t(ｆ(ｘ),φ(ｘ))が変換される

１次変換の２行２列の行列をMonodromy行列といいます。

この行列の作るMonodromy群の行列で,ｚ(ｘ)＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)が

Mödbiys変換を受けても,ｘの方は１回転で単に元に戻ることから,

ｚ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)が１価ならMödbiys変換群の保型関数になる

ことがわかります。

こうしたFuchsの発想から,係数に確定特異点のある線形常微分方程式の解の多価性と関連してFuchs関数を分析することで,壮大なPoincare'の世界が広がります。

これの第１歩として,今日のトピックである算術幾何平均と楕円関数の話題があるわけです。私はまだ端緒に付いたにすぎません。

参考文献；斉藤利弥著「線形微分方程式とフックス関数(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所), J.J.グレイ著「線形微分方程式と群論」(シュプリンガーフェアラーク東京), 久賀道郎著「ガロアの夢」(日本評論社), 高木貞治著「近世数学史談」(共立出版)※

以上が2006年10月12日に既述した記事です。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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