複素数に対する算術幾何平均１

　ａ,ｂが負の数であったり,一般の複素数である場合のａ,ｂの算術幾何平均(arithmetic-geometric-mean):Ｍ'ａ,ｂ)をGaussに従って定義します。

　算術平均ａ:₁＝(ａ＋ｂ)/2 については,全く任意性なく一意的に定義できますが,幾何平均:ｂ₁＝(ａｂ)_1/2については,ａ,ｂが一般の複素数である場合,こう表わしただけではｂ₁を一意的に定めることはできません。

ａ＝－ｂのときは算術平均がａ₁＝0 となり,ｂ₁の如何に関わらず,

次の幾何平均はｂ₂＝(ａ₁ｂ₁)^1/2＝0 ですから,このときは,

算術幾何平均はＭ(ａ,ｂ)＝0 であるとしていいでしょう。

そして,またａかｂの少なくとも一方がゼロのときも明らかに

Ｍ(ａ,ｂ)＝0 としていいので,これらの場合は,これから与える

算術幾何平均の定義から除くことにして,

以下ではａ≠0,ｂ≠0 かつｂ/ａ≠－1であるとします。

そこで,ａ_n≠0,ｂ_n≠0,ｂ_n/ａ_n≠－1なるａ_n,ｂ_nが定まったとき,

(ａ_nｂ_n)^1/2の2つの値のうち,どちらをｂ_n+1と定めるべきか？が

問題になります。 

※(注):複素数ａ,ｂの2π未満の偏角をα,βとするとａ＝|ａ|exp(iα),

ｂ＝|ｂ|exp(iα)なのでその算術平均は,

ａ₁＝(ａ＋ｂ)/2＝{|ａ|exp(iα)＋|ｂ|exp(iβ)}/2です。

そして,|ａ₁|²＝ａ₁ａ₁^*

＝{|ａ|exp(iα)＋|ｂ|exp(iβ)}{|ａ|exp(－iα)＋|ｂ|exp(－iβ)}/4

＝(|ａ|²＋|ｂ|²}＋|ａ||ｂ|[exp{i(α－β)}＋exp{－i(α－β])/4

ですから,　

ａ₁の絶対値は|ａ₁|＝[|ａ|²＋|ｂ|²}＋2|ａ||ｂ|cos(α－β)]^1/2/2

であり,偏角はこの絶対値に対してexp(iγ)＝ａ₁/|ａ₁|を満たす角

γで与えられます。

いずれにしても算術平均:ａ₁の方は明確に一意に決まります。

しかし,ａｂ＝|ａ||ｂ|exp{i(α＋β＋2ｋπ)}なので,

幾何平均:ｂ₁＝(ａｂ)^1/2としては,(|ａ||ｂ|)^1/2exp{i(α＋β)}と

(|ａ||ｂ|)^1/2exp{i(α＋β＋π)}＝－(|ａ||ｂ|)^1/2exp{i(α＋β)}

の２つの取り方があります。(下に図示)(注終わり※)

　

ａ_n+1＝(ａ_n＋ｂ_n)/2ですが(ａ_nｂ_n)1/²の２つの値は複素平面上の位置ベクトルとして"絶対値＝長さ"が同じで複素平面上原点を通る直線上で互いに原点に関して点対称な位置にあります。

このうち,|ａ_n+1－ｂ_n+1|≦|ａ_n+1＋ｂ_n+1|を満たすｂ_n+1をａ_n,ｂ_nの幾何平均

として採用します,

つまり,複素平面上の位置ベクトルとして算術平均のａ_n+1は,ａ_n,ｂ_nの

中点ですが,これとｂ_n+1のつくる三角形の第３辺の長さ|ａ_n+1－ｂ_n+1|

がａ_n+1とｂ_n+1のつくる平行四辺形の対角線の長さ|ａ_n+1＋ｂ_n+1|より

短かくなるようなａ_nｂ_nの平方根の方をｂ_n+1として採用すること

にします。

ただし,|ａ_n+1－ｂ_n+1|＝| ａ_n+1＋ｂ_n+1|の場合は,この定義でもまだｂ_n+1は

決まらないので,Im(ｂ_n+1/ａ_n+1)＞0 となる方をｂ_n+1とします。

こうして作成した数列{ａ_n},{ｂ_n}においてｂ_nが有限個を除いて上記の正しい選択で定められているとき,"{ａ_n},{ｂ_n}はよい数列である"ということにします。

"数列{ａ_n},{ｂ_n}はｂ_nの選択の仕方に依らず共通の極限に収束する。

ただし,平方根の選択がよい数列でないなら,この共通の極限は常にゼロ

であり,よい数列であるときには共通の極限は常にゼロとは異なる。"

という命題の成立することが証明できるらしいです。

これは,Gaussの遺稿から,こうした定義を読み取って論文にした D.A.Cox(コックス)という数学者の論文に示されているとのことですが,参考文献では省略されており,内容は見当がつかないので認めることにして,先に進もうと思います。

そして,このゼロと異なる{ａ_n},{ｂ_n}の共通の極限をＭ(ａ,ｂ)と書いて"ａ,ｂの算術幾何平均＝ag(Ｍ)"と定義します。

しかし,実はｂ_nが有限個を除いて正しい選択で定められているということもあり,よい数列の作り方は無数に存在しますから,Ｍ(ａ,ｂ)の値も一意的ではなく,Ｍ(ａ,ｂ)は一般にａ,ｂの多価関数です。

この多価性がどのようなものかを示すためにガウスが用いたのは驚くべき方法でした。

まず,τを複素上半平面のある数(Imτ＞0)とし,ｑ≡exp(ｉπτ)とおいて次の３つの関数を考察します。

すなわち,ｐ(τ)≡1＋2Σ₁^∞ｑⁿ²,ｑ(τ)≡1＋2Σ₁^∞(－1)ⁿｑⁿ²,ｒ(τ)≡2Σ₁^∞ｑ^(n-1/2)2の３つの関数です。

これらは現在Jacobi(ヤコービ)のテータ関数(Jacobian theta functions)として知られている次の関数:

θ₃(ｚ|τ)≡1＋2Σ₁^∞ｑⁿ²cos(2ｎｚ),

θ₄(ｚ|τ)≡1＋2Σ₁^∞(－1)ⁿｑⁿ²cos(2ｎｚ),

θ₂(ｚ|τ)≡2Σ₁^∞(－1)ⁿｑ^(n-1/2)2cos[(2ｎ－1)ｚ]

において,ｚ＝0 としたものと一致しています。

Imτ＞0 なので,|ｑ|＝|exp(ｉπτ)|＜1ですから,これらの級数は絶対収束します。そして,Gaussはまず次のことを証明します。

"ｋ'(τ)≡ｐ²(τ)/ｑ²(τ)とするとき,ｋ'(τ)＝ｂ/ａとなるτでImτ＞0 なるものが存在すれば,そのτに対するμ≡ａ/ｐ²(τ)はＭ(ａ,ｂ)の１つの値を与える。

そして,このμはよい数列:ａ_n＝μｐ²(2ⁿτ),ｂ_n＝μｑ²(2ⁿτ)の共通の極限になっている。"

ということです。

　証明するには,まずｐ(τ),ｑ(τ),ｒ(τ)を無限積表示します。

ｐ(τ)＝Π₁^∞(1－ｑ^2ｎ)(1＋ｑ^2ｎ-1)²,

ｑ(τ)＝Π₁^∞(1－ｑ^2ｎ)(1－ｑ^2ｎ-1)²,

ｒ(τ)＝2ｑ^1/4Π₁^∞(1－ｑ^2ｎ)(1＋ｑ^2ｎ)²

です。

これらは現在ではJacobiのテータ関数に対する公式として公式集にも

載っているので,あえて証明せず天下り的に認めることにします。

そして,無限級数表示の方から,ｐ(τ)＋ｑ(τ)­＝2(1＋2Σ₁^∞ｑ⁴ⁿ²)

＝2ｐ(4τ),ｐ(τ)－ｑ(τ)­＝4Σ₁^∞ｑ^4(n-1/2)2＝2ｒ(4τ)と書けます。

そこで,辺々掛け合わせると,ｐ²(τ)－ｑ²(τ)­＝4ｐ(4τ)ｒ(4τ)

となります。

また,無限積表示からｐ(4τ)ｒ(4τ)＝[Π₁^∞(1－ｑ^5ｎ)(1＋ｑ^8ｎ-4)²]

[2ｑΠ₁^∞(1－ｑ^8ｎ)(1＋ｑ^8ｎ)²]＝2ｑΠ₁^∞(1－ｑ^4ｎ)²(1＋ｑ^4ｎ)⁴

＝ｒ²(2τ)/2となることがわかります。

以上から,ｐ²(τ)－ｑ²(τ)＝2ｒ²(2τ)が得られました。

一方,同様にしてｐ(τ)ｑ(τ)を計算すると,ｐ(τ)ｑ(τ)

＝Π₁^∞(1－ｑ^4ｎ)²(1－ｑ^4ｎ-2)⁴＝ｑ²(2τ)です。

先に無限級数表示から求めたｐ(τ)＋ｑ(τ)­＝2ｐ(4τ),

ｐ(τ)－ｑ(τ)­＝2ｒ(4τ)からｐ(4τ)＋ｒ(4τ)＝ｐ(τ),

ｐ(4τ)－ｒ(4τ)＝ｑ(τ)も得られます。

結局ｐ²(4τ)－ｒ²(4τ)＝ｐ(τ)ｑ(τ)＝ｑ²(2τ),

つまり,ｐ²(2τ)－ｒ²(2τ)＝ｑ²(τ)です。

これとｐ²(τ)－ｑ²(τ)＝2ｒ²(2τ)からｐ²(τ)＋ｑ²(τ)＝2ｐ²(2τ)を

得ます。

まとめるとｐ²(τ)＋ｑ²(τ)＝2ｐ²(2τ),ｐ²(τ)－ｑ²(τ)＝2ｒ²(2τ),

ｐ(τ)ｑ(τ)＝ｑ²(2τ)です。

そこで,これらから得られるものとしてｐ²(τ),ｑ²(τ)の算術平均が

ｐ²(2τ),幾何平均がｑ²(2τ)である,ということができます。

ここで,μ＝ａ/ｐ²(τ).ｐ²(τ)/ｑ²(τ)＝ｂ/ａですから,

ａ＝μｐ²(τ),ｂ＝μｑ²(τ)です。

これから,Ｍ(ａ,ｂ)＝Ｍ(μｐ²(τ),μｑ²(τ))＝μＭ(ｐ²(τ),

ｑ²(τ))＝μＭ[ｐ²(2τ),ｑ²(2τ)]＝μＭ[ｐ²(2²τ),ｑ²(2²τ)]

＝...　が得られます。

こうして,最終的にＭ(ａ,ｂ)＝μlim_n→∞Ｍ[ｐ²(2ⁿτ),ｑ²(2ⁿτ)]

が得られましたが,Imτ＞0 なので無限級数表示ｐ(τ)≡1＋2Σ₁^∞ｑⁿ²,

ｑ(τ)≡1＋2Σ₁^∞(－1)ⁿｑⁿ²を見れば明らかなように,

lim_n→∞ｐ(2ⁿτ)＝1,lim_n→∞ｑ(2ⁿτ)＝1となることがわかります。

それ故,確かにＭ(ａ,ｂ)＝μです。そして,極限μがゼロではないこと

から{ａ_n},{ｂ_n}＝{μｐ²(2ⁿτ)},{μｑ²(2ⁿτ)}はよい数列であると

いえます。

今日はここまでにします。

この部分は1998年頃に読んだところで,それからかなりブランクが

ありますが,まだ今回の入院中に読んだ部分には入っていません。

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)