光電効果と光の量子論(2)

　まず前記事の続きです。

　光電効果(photoelectric effect)に関係する量に関して具体的計算を

しました。

　まず,原子内の電子と光の相互作用Hamiltonianを与えます。

　電子の質量をｍ,電荷を－ｅ(ｅ＞0)とすると,相互作用の効果はｊ番目の電子の運動量をｐ_j→ｐ_j＋ｅＡ_j,エネルギーをＨ→Ｈ－Ｖ(ｒ)と置き換えることで得られるはずです。

　ここでＶ(ｒ)は静電相互作用のエネルギーを総称しています。

　すなわち,Coulombゲージ:∇Ａ＝0 では,

Ｈ＝[Σ_j{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j)}²]/(2ｍ)＋(1/2)∫ρ(ｒ)φ(ｒ)ｄｒ

＋(1/2)∫{ε₀Ｅ_Ｔ²＋Ｂ²/μ₀}ｄｒ です。

　ここでφ(ｒ)は静電ポテンシャルでρ(ｒ)は原子核や電子を含めた原子内部の電荷分布を連続体近似の電荷密度として表わしたものです。

　Ｅ_ＴはCoulombゲージで顕在する電磁波の電場Ｅの横波成分です。

　電場Ｅの縦波成分の方は静電Coulombポテンシャルの中に埋没して

　います。

　一方,磁場Ｂには元々横波成分しかありません。

　このうち,原子と輻射場の相互作用には静電エネルギーの部分:

　(1/2)∫ρ(ｒ)φ(ｒ)ｄｒは無関係ですから,

　摂動Hamiltonian:Ｈ'はＨの表現の右辺第１項の,

　Ｈ₁'≡(ｅ/ｍ)Σ_jＡ(ｒ_j)ｐ_j＋{ｅ²/(2ｍ)}Σ_jＡ(ｒ_j)²

の中に含まれています。

　以下,詳細は省略して,Ｈ₁'の中から相互作用の低次の近似で,最も

　効いてくる電気双極子相互作用Ｈ_EDのみを取り出すと,

　Ｈ_ED≡ｅΣ_jｒ_jＥ_Ｔ(Ｒ)＝ｅＤＥ_Ｔ(Ｒ)　です。

　ここで,Ｒは原子核の位置ベクトルを表わし,ｒ_jは原子核を原点

　とした電子ｊの位置ベクトルです。

　また,ＤはΣ_jｒ_jを示しています。

　原子の全電気双極子モーメントは－ｅＤとなります。

　一般に,通常の１粒子の量子力学では,エネルギー固有値がＥ_nの定常

　状態波動関数はψ_n(ｒ,ｔ)＝exp(－iＥ_nｔ/ｈ_c)φ_n(ｒ)なる形をして

　います。

　ただし,ｈをPlanck定数として,ｈ_c≡ｈ/(2π)です。

光の吸収,放出に伴って遷移により電子のエネルギー準位がＥ₁と

Ｅ₂(Ｅ₂＞Ｅ₁)の束縛状態|1＞と|2＞を行き来する過程を考えると,

これは時間に依存する摂動論によって記述することができます。

ここで,ｈ_cω₀≡Ｅ₂－Ｅ₁で定義されるω₀を遷移周波数と呼びます。

電場や磁場との相互作用が全くないときの非摂動Hamiltonianを

Ｈ₀≡Ｈ_Eとし,摂動とされる輻射場との相互作用Hamiltonianを

Ｈ'≡Ｈ_Iとすれば,全Hamiltonianは,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'＝Ｈ_E＋Ｈ_Iです。

そして,放出あるいは吸収される光の周波数がω₀に近いときには,

波動関数はψ₁(ｒ,ｔ)＝exp(－iＥ_１ｔ/ｈ_c)φ_１(ｒ)と,

ψ₂(ｒ,ｔ)＝exp(－iＥ₂ｔ/ｈ_c)φ₂(ｒ)で表わされます。

ただし,Ｈ_Eφ₁(ｒ)＝Ｅ₁φ₁(ｒ),Ｈ_Eφ₂(ｒ)＝Ｅ₂φ₂(ｒ)です。

この過程では２つのエネルギー固有値Ｅ₁,Ｅ₂に属する固有状態:

|1＞,|2＞のみが問題となります。

Ｅ₁≠Ｅ₂なので∫ψ₁^*ψ₁ｄｒ＝∫ψ₂^*ψ₂ｄｒ＝1,

∫ψ₁^*ψ₂ｄｒ＝[∫ψ₂^*ψ₁ｄｒ]^*＝0 と規格化されています。

　この輻射過程に関与するのは,ほとんど全てにおいて選ばれた２つの

状態だけなので,この過程と関わる状態はこれらの状態|1＞,|2＞のみの

重ね合わせで近似できます。

　つまり,どんな時刻ｔでも波動関数は,ψ(ｒ,ｔ)

　＝Ｃ₁(ｔ)ψ₁(ｒ,ｔ)＋Ｃ₂(ｔ)ψ₂(ｒ,ｔ)のように表現される

　はずです。

　ここで,座標ｒには依存しない係数Ｃ₁(ｔ),Ｃ₂(ｔ)は規格化条件:

　|Ｃ₁(ｔ)|²＋|Ｃ₂(ｔ)|²＝1を満足しなければなりません。

この表式を時間に依存する波動方程式:Ｈψ＝iｈ_c(∂ψ/∂ｔ)に

代入すると,Ｈ_I(Ｃ₁ψ₁＋Ｃ₂ψ₂)＝iｈ_c{ψ₁(ｄＣ₁/ｄｔ)

＋ψ₂(ｄＣ₂/ｄｔ)} となります。

この式の両辺に,それぞれ,左から複素共役ψ₁^*とψ₂^*を掛けた後に

全空間で積分するとＣ₁,Ｃ₂についての連立方程式:

Ｃ₁Ｉ₁₁＋Ｃ₂ exp(－iω₀ｔ)Ｉ₁₂

＝i(ｄＣ₁/ｄｔ),Ｃ₁ exp(iω₀ｔ)Ｉ₂₁＋Ｃ₂Ｉ₂₂＝i(ｄＣ₂/ｄｔ)

を得ます。

ここで,Ｉ_mn  (ｍ,ｎ＝1,2)は,ｈ_cＩ_mn≡∫ψ_m^*Ｈ_Iψ_nｄｒによって

定義されます。

先に与えた輻射場との相互作用による電気双極子近似の

摂動Hamiltonian:Ｈ_ED＝ｅΣ_jｒ_jＥ_Ｔ(Ｒ)＝ｅＤＥ_Ｔ(Ｒ)は,今の

場合Ｅ_Ｔ(Ｒ)が周波数ωの単色光電磁波,Ｅ_Ｔ(Ｒ)～Ｅ₀cos(ωｔ)

であるとしていいので,

Ｈ_EDを全摂動Hamiltonianと考えて,

Ｈ'＝Ｈ_I≡Ｈ_ED＝ｅＤＥ₀cos(ωｔ)と書けます。

また,Ｄ＝Σ_jｒ_jは奇のパリティ(偶奇性;parity)を持っています。

すなわち,ｒ_j→－ｒ_jに対してＤ→－Ｄです。

そこで,Ｉ₁₁とＩ₂₂の被積分関数は奇関数になるので全空間で積分した

結果,Ｉ₁₁＝Ｉ₂₂＝0 です。

一方,一般にＩ₁₂とＩ₂₁はゼロではなく,Ｉ₂₁＝Ｉ₁₂^*が成立します。

　そして,Ｉ₁₂はＩ₁₂＝Ｖcos(ωｔ),Ｖ≡ｅＥ₀Ｘ₁₂/ｈ_c,

　Ｘ₁₂≡∫ψ₁^*Ｘψ₂ｄｒ;

　ＸはＤのＥ₀方向の成分と表現されます。

　これを,先のＣ₁,Ｃ₂についての連立方程式に代入すると,

　Ｖcos(ωｔ)exp(－iω₀ｔ)Ｃ₂

＝i(ｄＣ₁/ｄｔ),Ｖ^*cos(ωｔ)exp(iω₀ｔ)Ｃ₁＝i(ｄＣ₂/ｄｔ)

　となります。

時刻ｔ＝0 には,原子がエネルギーレベル的に下の状態|1＞にあるとすると,Ｃ₁(0)＝1,Ｃ₂(0)＝0 です。

この初期条件の下で上のＣ₁,Ｃ₂に対する連立微分方程式の解をＶのベキ展開として求めると,Ｖの２次までで,

Ｃ₁(ｔ)＝1＋|Ｖ|²×(ｔの関数),

Ｃ₂(ｔ)＝(Ｖ^*/2)[{1－exp(i(ω₀＋ω)ｔ)}/(ω₀＋ω)

＋{1－exp(i(ω₀－ω)ｔ)}/(ω₀－ω)]

となります。

　|Ｃ₂(ｔ)|²は,ｔ＝0 に原子が確実に状態:|1＞にあったとき,

　時刻ｔに励起状態:|2＞に見出される確率を示します。

　そして原子がこの状態に見出される確率がｔと共に増大する速さ

＝単位時間当たりの遷移確率を量子力学的な遷移速度と言います。

　ところで,Ｃ₂(ｔ)＝(Ｖ^*/2)[{1－exp(i(ω₀＋ω)ｔ)}/(ω₀＋ω)

　＋{1－exp(i(ω₀－ω)ｔ)}/(ω₀－ω)]なる式に着目します。

　今は,ω ～ ω₀のωを考えています。

　ω→ ω₀の極限を考えると,

　Ｃ₂(ｔ)→ －{iＶ^*/(2ω₀)}{sin(ω₀ｔ)　＋ω₀ｔ}です。

　元の式の右辺第１項が sin(ω₀ｔ)に,第２項がω₀ｔに

対応しています。 

　原子遷移が起こる特有の時間間隔は,10^-7sec,またはそれより長いですが,一方,代表的な遷移周波数ω₀は10¹⁵Hz程度なので,ω₀ｔ＞＞１なることが極めてよく満たされています。

　そこで,ω₀ｔ＞＞sin(ω₀ｔ)なので,元の式:

　Ｃ₂(ｔ)＝(Ｖ^*/2)[{1－exp(i(ω₀＋ω)ｔ)}/(ω₀＋ω)

　＋{1－exp(i(ω₀－ω)ｔ)}/(ω₀－ω)]の右辺で第１項を

　無視するのが良い近似となります。

　Ｃ₂(ｔ)～ (Ｖ^*/2){1－exp(i(ω₀－ω)ｔ)}/(ω₀－ω)より,

　|Ｃ₂(ｔ)|²～ |Ｖ|²sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/(ω₀－ω)²となります。

　さらに,ｔを無限大にした極限で,Diracのデルタ関数を用いると,

　|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π|Ｖ|²ｔ/2)δ(ω₀－ω)と書けます。

　ところで空洞内のような光子の数が変化する状況のメカニズム

　は.Einsteinによる現象論で扱うことができます。

　Ｎ個の同じ原子から成る気体が空洞内にあって各原子はエネルギーが

　Ｅ₁とＥ₂の１対の束縛状態を持つとし,ｈ_cω＝Ｅ₂－Ｅ₁とします。

　そして,Ｅ₁,Ｅ₂のエネルギーを持つ原子数を,それぞれ,Ｎ₁,Ｎ₂で

　表わすことにします。

　周波数ωの輻射ビームに空洞を通過させて,これが通過するにつれて空洞内で失うビーム強度の比率を測定する状況を想定します。

　空洞内の各周波数ωのビームは振動するので,その強度は時間と共に変動するはずですから,時間的に一定な量として評価するため,空洞内の周波数ωの強度は,全エネルギー密度を周期ごとに平均したサイクル平均Ｗ(ω)として評価します。

　この全エネルギー密度Ｗ(ω)は,外部の電磁波の輻射源からの寄与Ｗ_E(ω)の分だけ,自然に存在する熱的な部分Ｗ_T(ω)より大きいはずです。すなわち,Ｗ(ω)＝Ｗ_E(ω)＋Ｗ_T(ω)です。

　さて,Einsteinによる現象論とは次のようなものです。

　まず状態２の原子が自発的に低い状態１に落ちてエネルギーｈ_cωの光子を１個放出するという現象を記述する単位時間当たりの確率をＡ₂₁で表わします。(自発放出)

　一方,状態１の原子は周波数ωの輻射が存在しないなら状態２に移る道はありません。

　しかし,エネルギー密度がＷ(ω)の輻射が存在すればｈ_cωの吸収によって遷移１→ 2 が起きます。この'遷移速度'はＷ(ω)に比例するとしてその係数をＢ₁₂とします。 

また,Ｗ(ω)の存在は２→１の遷移速度も増加させます。

そこでその比例定数をＢ₂₁とおき,これの遷移速度をＢ₂₁Ｗ(ω)と

書きます。(誘導放出)

これら,３つのEinstein係数:Ａ係数＝Ａ₂₁,およびＢ係数＝Ｂ₁₂,Ｂ₂₁

は,Ｗ(ω)に無関係であるように定義されていて,原子数Ｎ₁,Ｎ₂の

変化速度は,　

ｄＮ₁/ｄｔ＝－ｄＮ₂/ｄｔ＝Ｎ₂Ａ₂₁－Ｎ₁Ｂ₁₂Ｗ(ω)＋Ｎ₂Ｂ₂₁Ｗ(ω)

なる表式で与えられます。

これがEinsteinによる現象論の骨子です。

この３つのパラメータＡ₂₁,Ｂ₁₂,Ｂ₂₁の間の関係は,現象論的考察

だけで求まるのですが絶対的な値については現象論だけから見積

もることはできません。 

この現象論におけるパラメータを,先の半古典的量子論による計算

結果と比較すると,半古典論で扱った量子遷移の確率;

|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π|Ｖ|²ｔ/2)δ(ω₀－ω)を時間ｔで割った,

単位時間当たりの確率が遷移速度Ｂ₁₂Ｗ(ω)に相当しますから,

Ｂ₁₂Ｗ(ω)＝|Ｃ₂(ｔ)|²/ｔです。

しかし,実際の現象ではωはω₀という確定値を持つのは不可能で,

ある限界が存在してω₀の周りで,必ずある量Δωだけぼやけてい

ます。

この不確定さには根本的な理由:Heisenbergの不確定性原理

(ｔΔω＞ 1)があります。

　これは実験的な分解能の限界の存在とはまた違う現象です。

それ故,Ｖ＝ｅＥ₀Ｘ₁₂/ｈ_cとε₀Ｅ₀²/2＝∫Ｗ(ω)ｄωを用いて,

ωにΔωの幅があるとして,改めて計算を行えば,

|Ｃ₂(ｔ)|²＝[2ｅ²|Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)] ×

∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2Ｗ(ω)sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/(ω₀－ω)²ｄω

～ [2ｅ²|Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)]Ｗ(ω₀) ×

∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/(ω₀－ω)²ｄω

となります。 

先のδ関数での考察と同じく,

∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/(ω₀－ω)²ｄω

＝πｔ/2 が成立するので,

結局,Ｂ₁₂＝|Ｃ₂(ｔ)|²/[ｔＷ(ω₀)]＝πｅ²|Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)

が得られます。

ここで|Ｘ₁₂|²を方向平均<|Ｘ₁₂|²>～|Ｄ₁₂|²/3で置き換えれば,

Ｂ₁₂＝πｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_c²)となります。

　一方,量子化された輻射場を考えた計算をします。

　モード(波数)ｋにｎ_k個の光子があり,原子の束縛状態としては

　状態|1＞にあるという結合系の状態を|ｎ_k,1＞etc.で表わします。

　これを用いると,光子の吸収に関する行列要素は

＜ｎ_k－1,2|Ｈ_ED|ｎ_k,1＞＝iｈ_cｇ_kexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)ｎ_k^1/2,

　光子の放出に関する行列要素は＜ｎ_k＋1,1|Ｈ_ED|ｎ_k,2＞

　＝iｈ_cｇ_k exp(iω_kｔ－iｋＲ)(ｎ_k＋1)^1/2となります。

　ここで,ｇ_k＝ｅ{ω_k/(2ε₀ｈ_cＶ)}^1/2ε_kＤ₁₂です。

　ただし,Ｄ₁₂≡＜1|Ｄ|2＞でε_kはモードｋごとに展開した電場の偏極(polarization)ベクトルの成分です。

例えば,光子の吸収過程を見る場合には,

「時刻ｔ＝0 に原子が状態:|1＞にあって,そこへ波動ベクトルｋを

持つ光子ビームが入射して相互作用して,その後の時刻ｔにおいて

その原子が状態|2＞に励起されている確率を求めること」

を考えるわけです。

半古典論とは異なり,相互作用Hamiltonianに含まれる電磁場が古典場ではなく量子場であるという違いはありますが,量子論の摂動論としては全く同じに扱えます。

吸収過程の遷移確率が,状態ベクトル|2＞による展開係数の絶対値の平方として|Ｃ₂(ｔ)|²で与えられるというのは半古典論の場合と全く同じです。

先に,半古典論で求めた|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π|Ｖ|²ｔ/2)δ(ω₀－ω)においては,|1＞から|2＞への遷移行列要素はｈ_cＩ₁₂＝ｈ_cＶcos(ωｔ)で与えられましたが,因子cos(ωｔ)のうちでexp(ｉωｔ)を無視するとｈ_cＩ₁₂～(ｈ_cＶ/2)exp(－iωｔ)です。

これは,量子化された場の理論では,|1＞から|2＞への遷移行列要素＜ｎ_k－1,2|Ｈ_ED|ｎ_k,1＞と同じものと見なすことができます。

そして,＜ｎ_k－1,2|Ｈ_ED|ｎ_k,1＞＝iｈ_cexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)ｎ_k^1/2でにおいて,無関係な位相因子exp(iｋＲ)を除けば,結局

|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π|Ｖ|²ｔ/2)δ(ω₀－ω)で,(Ｖ/2)を(iｈ_cｇ_kｎ_k^1/2)

に,ωをω_kに置き換えるだけで,量子化された場を用いた場合の遷移

確率にすることができます。

この結果,|Ｃ₂(ｔ)|²＝2πｇ_k²ｎ _k ｔ δ(ω₀－ω_k)となります。

　そこで,ビームのエネルギーをＥ_k≡ｎ_kｈ_cω_kとすれば,遷移速度は

　|Ｃ₂(ｔ)|²/ｔ＝(2πｇ_k²Ｅ_kｈ_cω_k)δ(ω₀－ω_k)と書けます。

　これらの結果は光子の始状態が|ｎ_k＞,すなわち光子の個数が正確に指定されているビームに対して当てはまるものです。

　より一般的な状態,例えばコヒーレント(可干渉;coherent)状態では,

　個数ｎ_kを個数の重ね合わせ状態の平均個数:＜ｎ_k＞で置き換えれば

　いいことになります。

　いずれにしろ,通常は輻射が存在することによる摂動過程は自発的

　過程ではなく,誘導的過程なのでEinsteinのＢ係数のみが関わるも

　のですから,半古典的理論による計算でも完全に量子化された場の

　理論による計算でも同じ結果が得られます。 

そして,光電効果も誘導的過程ですから上に書いたことが,そのまま当てはまることになります。

つまり,光電効果の性質を記述するのにわざわざ光の

"第２量子化＝個数表示化"を持ち出す必要はないという

ことになります。 

以上のことから,

"半古典論は原子については量子論ですが,光については量子論では

ないので量子論ではない。"という立場を取るなら,

前記事,および昨年から一貫して述べてきたように,

"光電効果は,光を１個,２個と数えることを必要とせず,古典論だけで

説明できる。"

という主張が裏付けられたことになります。

霜田光一先生のご指摘も,こうした意味ではないかと推察されます。

　Einsteinの現象論で予測された事実のうち,半古典論では説明でき

　ず,完全に量子化された場の理論でのみ説明できる事実は,縮退の

　ない１対の状態に対してはＢ₁₂＝Ｂ₂₁であるという事実,

　そして輻射が全くない状態,つまりｎ_k＝0 の状態でさえ遷移が

　起こるＡ係数と関わる自発的過程の部分です。 

参考文献：Loudon著(小島忠宣・小島和子 共訳)「光の量子論第２版」(内田老鶴圃)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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