有限な１次元空間に限定された運動量演算子

　表題の１次元空間での座標表示のSchroedinger表現の運動量演算子:

ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘ (ｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数)に関する問題については,私は以前個人的に考察したことがあります。

　これは,2001年頃に,岩波講座物理学[第2版]「量子力学Ⅱ」の第Ⅵ部の量子力学の構造において,物理量を表わす演算子の定義域とその自己共役性との関係に関わる問題として考察しました。

　その際に,ノートに記述した覚え書きを抜粋して書いてみます。

　まず,状態空間であるHilbert空間をＨとします。

　もしも状態ベクトルを波動関数で表わす空間という意味で用いる場合には,Ｈは２乗可積分な関数族の空間Ｌ²です。

　そして,Ｈのベクトルに作用する線形演算子Ａの定義域Ｄ(Ａ)はＨの部分空間であり,Ｈにおいて稠密であるとします。

　また,Ｄ(Ａ)に属する任意の状態ベクトル(or 波動関数)φ,ψに対して,＜φ|Ａ|ψ＞＝＜Ａφ|ψ＞となる場合にはＡをHermite演算子と呼びますが,その上さらにＡの定義域Ｄ(Ａ)がＨで稠密な場合にはＡは対称演算子である,といいます。

　ついでに,Ｄ(Ａ)に属する状態ベクトルの列{ψ_n}があって,"ノルム収束＝強収束"の意味での極限lim _n→∞ψ_n＝φ,lim _n→∞(Ａψ_n)＝χが共に存在するとき,必ずφ,χ∈Ｄ(Ａ)となって,Ａφ＝χが常に成立するとき,Ａは閉じているとか,Ａは閉演算子であるといいます。
　
　今,Ｄ(Ａ)はＨで稠密であるとします。

　このとき,Ｈに属する状態ベクトルφの中には,∀ψ∈Ｄ(Ａ)に対し,

＜φ|Ａ|ψ＞＝＜χ|ψ＞を満たすχ∈Ｈが存在することがあります。

　このようなφの全体をＤ(Ａ^*)と記し,χ≡Ａ^*φによって,Ｄ(Ａ^*)を定義域とするＡの共役と呼ばれる線形演算子Ａ^*を定義します。

　Ａが対称演算子のときには,∀φ∈Ｄ(Ａ)に対してχ≡Ａφとすることで,必ず＜φ|Ａ|ψ＞＝＜χ|ψ＞が成り立つので,Ｄ(Ａ^*)の方が集合としてＤ(Ａ)より大きくなります。Ｄ(Ａ)⊂Ｄ(Ａ^*)⊂Ｈです。

　特にＤ(Ａ^*)＝Ｄ(Ａ)の場合には,Ａ^*＝Ａと書いてこの場合の演算子Ａを自己共役演算子であるといいます。

　Ａが自己共役演算子であるときには,これは虚数固有値を持たないので観測量となる必要条件を満たしています。

　以下では,Ａが"物理的観測可能量＝observable"であるということと,Ａが自己共役演算子であるということを同一視します。

　すなわち,Ａが観測量であるための必要十分条件はＡが自己共役演算子であることとします。

　ところが,１次元剛体壁(ｘ＝0,ｘ＝ａ)の間の区間[0,ａ]を動く粒子についての運動量演算子ｐが定義できるとして,

　これが区間(－∞,∞)において定義される通常のSchroedinger表示の運動量演算子と同じく,ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘで与えられるとすると,これの[0,ａ]で定義された波動関数ψ(ｘ)に対する作用はｐψ＝－iｈ_c(ｄψ/ｄｘ)です。

　そして,ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの定義域Ｄは,Ｄ＝{ψ(ｘ):ψ(0)＝ψ(ａ)＝0,[0,ａ]で絶対連続で(ｄψ/ｄｘ)∈Ｌ²(0,ａ)}なる関数族で与えられます。

　ここで,ψ(ｘ)が[0,ａ]で絶対連続である,とは[0,ａ]でLebesgue積分可能な関数ｆ(ｘ)があって,∀ｘ∈[0,ａ]に対してψ(ｘ)＝ψ(0)＋∫₀^ｘｆ(ｘ)ｄｘと表現できることをいいます。

　とにかく,このように定義したＤはHilbert空間Ｈ＝Ｌ²(0,ａ)で稠密であることがわかります。

　そして証明はしませんが,ｐは対称演算子であり,かつ閉演算子でもあります。

　しかしｐは自己共役演算子ではありませんから,それは観測量であるための必要十分条件を満足しません。

　すなわち,例えばφ(ｘ)＝exp(iｋｘ)に対してχ(ｘ)＝ｈ_cｋexp(iｋｘ)とすれば,＜φ|ｐ|ψ＞＝＜χ|ψ＞が全てのψ∈Ｄ(ｐ)(演算子ｐの定義域)に対して成立するのに,φ(ｘ)＝exp(iｋｘ)はＤには属さない,(φ(0)＝φ(ａ)＝0 を満たさない)からです。

　つまり,Ｄ(ｐ)＝Ｄが成り立ちませんから,Ｄを定義域とする

ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘは,自己共役演算子の条件を満足しません。

　実際,物理的に見ても剛体壁のため粒子は往復運動を続けるしかないので,この系では決して運動量が確定することはありません。

　つまり,こうした状況では,そもそもｐは観測量であるという要件を満たしていません。

　ということで,そもそもこのＤに属する境界条件を満たす

ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有状態は存在が不可能です。

　したがって,通常,状態はＤに属する波動関数で表現されるにも関わらず,これを展開できるような同じ境界条件を満足する固有関数さえもない,という不都合な状況になっています。

　(もっとも自由空間(－∞,∞)での運動量:ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有関数も完全なので,束縛条件＝境界条件に関わらずFourier展開という意味で展開することはできますが,それにどんな意味があるかは疑問です。)

　そこで,ｐを拡大して,αを0≦α＜2πのある定数として.Ｌ²(0,ａ)の部分空間:Ｄ[α]をＤ[α]≡{ψ(ｘ):ψ(ａ)＝exp(iα)ψ(0),[0,ａ]で絶対連続で,(ｄψ/ｄｘ)∈Ｌ²(0,ａ)}と定義し,その作用は前と同じく,

ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘであるとします。

　すると,＜φ|ｐ|ψ＞＝＜χ|ψ＞は∫₀^ａφ^*(－iｈ_cｄψ/ｄｘ)ｄｘ

＝∫₀^ａ(χ^*ψ)ｄｘ(∀ψ∈Ｄ[α])と表現されます。

　これを満たすχ∈Ｈの存在を許すφの範囲Ｄ[α,ｐ*]が,正しくＤ[α]に一致し,その他,対称性,稠密性も示せるので,結局こう定義すればｐは自己共役演算子であるといえます。

　そこで,この定義では全ての状態ψ∈Ｈにおける運動量:ｐの観測量としての確率解釈(＜ψ|ｐ|ψ＞がｐの期待値を与えるという解釈)を行うことができます。

　つまり,この定義では,ｘ軸を正の向きに走っていた粒子がｘ＝ａに達した途端にψ(0)＝exp(－iα)ψ(ａ)によって,exp(－iα)の位相のずれを受ける程度で,反対の端ｘ＝0 に顔を出し,再び正の向きに走り続けることを表わしているからです。

　数学的には,これはαの無数の選択に伴って運動量の演算子:ｐの自己共役演算子への拡大の仕方が無数にあること(ｐには多義性あること)を意味しています。

　円のような周期運動ならα＝0 としたいわゆる周期的境界条件ψ(ａ)＝ψ(0)とするのが妥当ですが,そうでないケースにこれを取っても一般性を失わないと思います。

　つまり,ψ(x)＝Ｃsin(ｋ_nｘ) (ｋ_n＝ｎπ/ａ)というように剛体境界条件にこだわる限り,

　自由空間(－∞,∞)での自由粒子の状態ベクトルとしての固有状態の

波動関数:exp(ｉｋｘ)が状態空間Ｈ＝＝Ｌ²には属さない,という困難に

類似して,量子論でのｐの物理的意味付け自体が結構むずかしいのでは

ないかと思います。

　要約すると,１次元の剛体壁で囲まれた箱という物理系は,古典的描像では,粒子が往復運動をしているので,ある位置座標での運動量,または速度を観測するとき,

　量子論における不確定性原理のようなものは存在しないので,確定値としてその,時刻時刻の逆向きの運動量,または速度を観測できます。

　しかし,それを量子力学の対象と考える場合:

　特に時間に無関係な定常状態＝エネルギー一定のあるエネルギー固有状態だけの問題として捉える場合には,観測対象の物理量がその定常状態における保存量でないなら,私にはその物理量の確定値＝固有値を観測しようという行為が何らかの意味を持つとは思えません。

　この定常状態でも,人間の目視あるいは観測装置によって運動量,または速度を観測することは,もちろん可能ですが,それは定常状態での時間的平均値を観測するのではなく,その観測時刻における瞬時値の観測量であり定常状態の量ではありません。

　この場合に瞬時値として観測される運動量,または速度は,箱の中の粒子の定常状態の範囲内で定義された運動量ではなく,(－∞,∞)で与えられた一般的なそれであり,位置座標ｘを同時に確定することはできず,ｘについてはΔｘだけぼやけています。

　もしも,これを１次元の剛体壁(ｘ＝0,ｘ＝ａ)で囲まれた箱の中の定常状態での量と見るなら,

　それは無限回独立に繰り返し観測された(－∞,∞)で与えられた別の一般的定義による運動量,または速度の"期待値＝平均値"とみるべきであり,そして位置の不確定さ:ΔｘとしてはΔｘ＝ａと考えるべきです。

　一般に,物理学での,ある物理系で物理量＝観測量として定義され,名称を与えられているモノは,パラメータである位置座標や時刻を除けば,時間的に一定な保存量に対してのみである,と考えられます。

　１次元の剛体壁という境界条件の下では,非定常状態として考えると,

　壁にぶつかるまでの微小時間帯では,運動量,または速度は保存量ですが,この力学系を定常状態として,つまり時間というパラメータを度外視した時間を含まないSchroedinger方程式の解空間の範囲で考える限りは,これは保存量ではなく"物理量＝観測量"とは考えられません。

　そこで,そうした運動量の保存しない,"定常状態＝エネルギー固有状態"のみを考えるという問題設定なら,私であれば,そもそも運動量を観測するという必要性を感じません。

　ただ,１次元の箱の中の１粒子でも,量子論では無関係な全体にかかる位相を無視した定式化して,,粒子が往復運動をするという描像を忘れて運動量が保存量となり得るような境界条件を与えるなら,

　(－∞,∞)領域での一般的な運動量と同様,,１つの物理量として定義可能であるように,運動量ｐの定義を拡張することはできます。

　参考文献：岩波講座 現代物理学の基礎「第２版」４「量子力学Ⅱ」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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