シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体

　我々の宇宙である時空多様体は,その計量(metric)が正定値ではなく,

不定計量であり,空間としてcompactではなく,謂わゆる擬Riemann多様体

(semi-Riemannian manifold)の一種です。

　この時空の計量を与える対称テンソルＧ≡(ｇ_μν)は,擬Riemann

計量です。

　そして,"適当な一般座標変換を行うことで任意の点の近傍では局所的にMinkowski計量を持つ空間にすることができる"という等価原理の１つの表現である局所平坦性が成立します。

　この意味で,時空の計量Ｇ≡(ｇ_μν)を一般座標変換により対角化したとき,"対角成分の符号は(0,1,2,3)成分についてMinkowski計量η_μνと同じく,(＋,－,－,－),または(－,＋,＋,＋)になります。

　そこで,どのような一般座標を取ろうと計量の行列式ｇ≡det(Ｇ)＝det(ｇ_μν)は負の数になることがわかります。

　こうした各点での接空間がMinkowski空間になっているという特別な計量構造を持つ擬Riemann多様体を,特にLorentz多様体(Lorentz manifold)と呼びますから時空多様体は一種のLorentz多様体であるといえます。

　ということは"計量テンソルＧを任意の正則行列Ｑによって,

Ｇ'＝^tＱＧＱと変換したとき,Ｇの固有値における(＋)符号の数と

(－)符号の数,およびゼロの数はＧ'の固有値におけるそれらの数

の組と全く同一である。"という性質が成立する必要があります。

　,

　実はこの規則は線形代数学によって確かに成立することが保証されて

おり,Sylvesterの慣性律(Slvester's law of inertia;シルヴェスター

の慣性律)として知られています。

　局所平坦性により,Ｘ＝(Ｘ^μ)を時空座標ｘ＝(ｘ^μ)に対応する

Minkowski計量の座標として,局所一般座標変換をｄＸ＝Ａ(ｘ)ｄｘ

or ｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｘ)ｄｘ^ν;Ａ(ｘ)≡(ａ^μ_ν(ｘ))で表わすことに

します。

　このとき,計量を表わす２次形式の不変式:ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν

＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νから,

　ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νｄｘ^μｄｘ^νなる等式が成立

　します。

すなわち,ｇ_μν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νとなるのですが,これは

行列表現では,Ｇ＝^tＡΗＡです。

ただし,^tＡはＡの転置行列でＧ(ｘ)≡(ｇ_μν(ｘ)),Η≡(η_μν)

です。

ここで,Ｐ≡Ａ^-1とおけばΗ＝^tＰＧＰとも書くことができます。

こうしたＰが存在することが,計量Ｇを持つ多様体がLorentz多様体

になるための必要十分条件です。

一般にＴを直交行列,すなわち^tＴ＝Ｔ^-1とすれば,det(^tＴＧＴ－λＥ)

＝det[Ｔ^-1(Ｇ－λＥ)Ｔ]＝det(Ｇ－λＥ)より,Ｇに対する固有値

方程式は^tＴＧＴ＝Ｔ^-1ＧＴに対するそれと全く一致することがわ

かり,したがって両者の固有値は完全に一致します。

そして,Ｇは実対称行列なので,帰納法を用いると適当な直交行列

Ｔを用いた直交変換:Ｇ→^tＴＧＴによって,Ｇを常に対角化する

ことが可能であることが証明できます。

そして,そのときの対角成分は,既に述べたことから全てＧの固有値

ですが,λを１つの固有値とすると"Ｇｘ＝λｘ,ｘ≠0 を満たす

ベクトルｘ:つまりＧの固有ベクトル"が存在します。

Ｇは実行列なので,Ｇｘ＝λｘの複素共役を取ればＧｘ^*＝λ^*ｘ^*と

なりますが,Ｇは対称行列:^tＧ＝Ｇでもあるので.^t(Ｇｘ)ｘ^*

＝^tｘＧｘ^*が成立します。

それ故,λ(^tｘｘ^*)＝λ^*(^tｘｘ^*)が得られますが,^tｘｘ^*＞0 なので,

λ＝λ^*です。つまり,λは実数であると結論されます。

よって,"対角行列:^tＴＧＴの対角成分:Ｇの固有値"は全て実数です。

したがって,Ｇを４次に限らずｎ次の実対称正方行列として,

そのｎ個の固有値をλ₁,λ₂,...,λ_nとすると,適当な直交行列:

Ｔによる変換:ｘ'＝Ｔｘにより,

実２次形式:^tｘ'Ｇｘ'は,^t(Ｔｘ)Ｇ(Ｔｘ)＝^tｘ(^tＴＧＴ)ｘ

＝Σ_jλ_j(ｘ^j)²という簡単な形になります。

そして,固有値λ₁,λ₂,..,λ_nのうちｐ個が正,ｑ個が負,残りがゼロの

場合は,簡単のために,λ₁,..,λ_p＞0 ,λ_p+1,..,λ_p+q＜0 ,λ_p+q+1,..,

λ_n＝0 と仮定します。

(※必要なら基底の並べ替えを行なえばいいだけです。)

ここで,対角行列Ｓを,その対角成分が,(λ₁)^-1/2,..,(λ_p)^-1/2,

(－λ_p+1)^-1/2,..,(－λ_p+q)^-1/2,1,..,1であるように作れば,

Ｐ≡ＴＳと取ることによって,Ｐは正則となり,一般座標変換:

ｘ'＝Ｐｘに対し,^tｘ(^tＰＧＰ)ｘ＝(ｘ¹)² ＋..＋(ｘ^p)²－(ｘ^p+1)²

－..－(ｘ^p+q)² なる標準形の表現が得られるわけです。

そして,こうした表現で,"正整数の対(ｐ,ｑ)が一意的であること"　

を証明するには,まず,(^tＰ'ＧＰ')が標準形になるような変換:

ｘ"＝Ｐ'ｘが別に存在すると仮定して,

この変換で,(ｐ,ｑ)に相当するものを(ｐ',ｑ')とすると,

ｐ＋ｑ＝ｐ'＋ｑ'＝rankＧなる等式が成立することを示す

必要があります。

さらに,ｐ'＞ｐと仮定し,ベクトルｘとして特別なベクトルを仮定

すれば矛盾に導かれることから,ｐ'＝ｐ,ｑ'＝ｑとなるしかない

ことを示す必要があります。

しかし,証明は線型代数のテキストに譲ることにして,ここでは省略

してこれらは成立するとします。

結局,Ｇの固有値λ₁,λ₂,..,λ_nと,^tＰＧＰの固有値:

1,1,..,1,－1,－1,..,－1,0,0,..,0 は,一般に異なりますが,

その(＋)符号の数と(－)符号の数,およびゼロの数は同じで

あることがわかります。

そこで,値(ｐ,ｑ)の組は行列Ｇが与えられれば完全に決まり,

一意的です。

さらに,任意の正則行列Ｑに対する変換:Ｇ'＝^tＱＧＱにおいても,

Ｒ≡Ｑ^-1Ｐと置けば,^tＰＧＰ＝^tＲＧ'Ｒと書けますから,正則行列

ＲによってＧ'をＧと同じ標準形にすることができます。

それ故,変換Ｇ'＝^tＱＧＱに対して,ＧとＧ'の両者でその固有値は

一般に異なりますが,固有値における(＋)符号の数と(－)符号の数,

およびゼロの数は同一であることが示されたわけです。

われわれの時空は空間と時間を含めて４次元,つまりｎ＝４ですから,

４次元Lorentz多様体であり,ことさら一般のｎ次元Lorentz多様体を

意識する必要はりませんが,例えば弦理論ではｎ＝26,またはｎ＝10

となることが知られています。

いずれの場合もｎは偶数なので,例えばｎ＝26のとき,そのMinkowski

計量のｎ次元空間での時間１次元の符号を(－)に,残りの空間25次元

の符号を全て(＋)としても,その逆の符号に設定しても計量の行列式

の符号は共に負になるため,どちらでもいいと思われます。

しかし,次元が大きいときに扱いがより簡単なためでしょうか？

通常の弦理論では前者を採用することが多いようです。

これに対して,通常の点粒子の４次元相対論では(＋,－,－,－)

の方が多く採用されているようです。

いずれにしろ,Minkowski計量をどちらに取るか次第で,Sylvesterの

慣性律で決まる計量に固有の(＋)符号の数と(－)符号の数の組は異

なるわけですが,理論はどちらで定式化しても同じです。

(※電気理論の歴史においては,当時の人が勝手に決めた,

"電流＝電荷(キャリア)の流れ"の符号と,後にその主要なキャリア

であることがわかった電子の流れが逆符号であった,という歴史的

経緯がありました。

これを見てもわかるように,(＋)とか(－)とかいう符号自体は

人間が勝手に決めた概念です。

数学を含め自然科学を扱う際,例えば現状と逆に符号を定め,

今は(＋)とされているものを(－)に,(－)とされているものを

(＋)に,という符号選択をしても,理論全体の本質には全く影響

がない,という鏡のような相似対称性があります。※)

つまり,理論は,計量全体に(－1)を掛けても変わらないということ

です。

計量を指定したときの理論を構成する変換群を,位数が２の集合

{±1}で割った商群の方が本質的な意味を持ちます。

ただ,最近の統一超弦理論といわれているブレイン理論では,

ｎ＝11で,次元ｎが奇数らしいのですが,これについては,今の

ところ,私は齧ったことさえないので,よく知りません。

参考文献：佐竹一郎 著「線型代数学」(裳華房)

追伸：後で知ったのですが。。

本日の私の記事は,ちょうど5月16日零時頃にアップされたT_NAKA

さんのブログの,Weil(ワイル)著「空間・時間・物質」に関する

記事:

http://teenaka.at.webry.info/200705/article_16.html

と内容がかぶってしまったようです。

まあ,最近,Weylの書籍について書かれているのは知ってはいたの

ですが,内容がほぼ一致したのは全くの偶然です。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャー

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