ブラウン運動と伊藤積分(５)
続きです。
次項でのマルチンゲール(martingale)の説明への準備として停止時刻とσ加法族の増大系の関係についての種々の性質を紹介しましょう。
まずτを停止時刻とします。このとき,Ｆτ≡{Ａ∈Ｆ：Ａ∩{τ≦ｔ}∈Ｆt ∀ｔ}と置けばＦτはσ加法族となることを証明します。
(証明)φ∈Ｆτは明らかです。Ａ∈Ｆτのとき,Ａ∈ＦよりＡc∈Ｆです。そして,τは停止時刻なので{τ≦ｔ}∈Ｆt,それ故,{τ＞ｔ}∈Ｆtが成立します。
Ａc∩{τ≦ｔ}＝(Ａ∪{τ＞ｔ})cですが,(Ａ∩{τ≦ｔ})∪{τ＞ｔ}∈Ｆtですから,Ａ∪{τ＞ｔ}∈Ｆtとなります。よって,Ａc∩{τ≦ｔ}∈Ｆtが得られ,結局Ａc∈Ｆτとなることがわかります。
次にＡn∈Ｆτ,ｎ＝1,2,..なら,Ａn∈Ｆより,∪n=1∞Ａn∈Ｆです。また,Ａn∩{τ≦ｔ}∈Ｆt∀ｔより,(∪n=1∞Ａn)∩{τ≦ｔ}＝∪n=1∞(Ａn∩{τ≦ｔ})∈Ｆt ∀ｔです。
それ故,∪n=1∞Ａn∈Ｆτも成立します。以上から,Ｆτが１つのσ加法族であることが示されました。(証明終わり)
次に主な６つの性質を列記して証明します。
(補題4.7):σ,τ,σn,ｎ＝1,2,..を停止時刻とする。(ただし,場合によっては,文字σをσnの極限値として用います。そのときはσnは停止時刻ですが,極限値σは停止時刻とは仮定されていません。)
このとき,
(ⅰ)σ∨τ,σ∧τは共に停止時刻である。
(ⅱ)σn↑(ｎについて単調増加)のとき,σ≡lim n→∞σnは停止時刻である。また,Ｆtが右連続のとき,σn↓(ｎについて単調減少)なら,σ≡limn→∞σnは停止時刻である。
(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω)∀ωなら,Ｆσ⊂Ｆτである。
(ⅳ)Ｆtが右連続のとき,σn(ω)↓σ(ω)∀ωなら,∩n=1∞Ｆσn＝Ｆσである。
(ⅴ)Ｆσ∧τ＝Ｆσ∩Ｆτである。
(ⅵ){τ＜σ},{τ≦σ},{τ＝σ}∈Ｆσ∩Ｆτである。
(証明)(ⅰ){(σ∨τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ},{(σ∧τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∪{τ≦ｔ}が成立します。
そこでσ,τが停止時刻であること:{σ≦ｔ}∈Ｆt {τ≦ｔ}∈Ｆt,およびＦtがσ加法族であることから,{(σ∨τ)≦ｔ}∈Ｆtとなります。それ故,{(σ∧τ)も停止時刻であることは自明です。
(ⅱ)σn↑のとき,{σ≦ｔ}＝{σ＞ｔ}c＝(∪n=1∞{σn＞ｔ})cです。よってσnが停止時刻なら{σn＞ｔ}＝{σn≦ｔ}c∈Ｆt ∀ｎです。
そこで,σ≡lim n→∞σnが停止時刻であることは自明です。
σn↓のとき,{σ＜ｔ}＝∪n=1∞{σn＜ｔ}で{σn＜ｔ}∈Ｆt ∀ｎです。したがって{σ＜ｔ}∈Ｆt ですが,Ｆt が右連続なのでσ≡lim n→∞σnは,やはり停止時刻です。
(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω) ∀ωなら,{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。故に,Ａ∩{τ≦ｔ}＝Ａ∩{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。そこで,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆtなら,{τ≦ｔ}∈ＦtよりＡ∩{τ≦ｔ}∈Ｆtとなります。
すなわち,Ａ∈ＦσならＡ∈Ｆτです。つまりＦσ⊂Ｆτです。
(ⅳ)Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆtなら,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆtです。また,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆtなら∩n=1∞{σ＜ｔ＋1/ｎ}∩Ａ∈∩n=1∞Ｆt+1/nよりＡ∩{σ≦ｔ}∈Ｆt＋です。
したがって,Ｆtが右連続:Ｆt＋＝Ｆtなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈ＦtとＡ∩{σ＜ｔ}∈Ｆtは同値です。
σn(ω)↓σ(ω) ∀ωなら,{σ＜ｔ}＝∪n=1∞{σn＜ｔ}ですから,Ａ∩{σ＜ｔ}＝∪n=1∞(Ａ∩{σn＜ｔ})です。
そして,σ≦σn∀ｎより,Ｆσ⊂Ｆσn ∀ｎです。それ故,Ｆσ⊂∩n=1∞Ｆσnです。
一方,Ａ∩{σn＜ｔ}∈Ｆt∀ｎ,すなわちＡ∈∩n=1∞Ｆσnならσ＝limn→∞σnでＦtがσ加法族であることから,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆtです。
それ故,Ａ∈Ｆσですから,∩n=1∞Ｆσn⊂Ｆσも成立します。以上からＦtが右連続なら,∩n=1∞Ｆσn＝Ｆσです。
(ⅴ)σ∧τ≦σ,σ∧τ≦τですから,(ⅲ)よりＦσ∧τ⊂Ｆσ∩Ｆτとなります。
一方,等式Ａ∩{σ∧τ≦ｔ}＝(Ａ∩{σ≦ｔ})∪(Ａ∩{τ≦ｔ})により,Ａ∈Ｆσ∩Ｆτなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆt,かつＡ∩{τ≦ｔ}∈ＦtなのでＡ∩{σ∧τ≦ｔ}∈Ｆtです。
したがって,Ｆσ∩Ｆτ⊂Ｆσ∧τも成立します。以上から,Ｆσ∧τ＝Ｆσ∩Ｆτを得ます。
(ⅵ) {σ≦τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}∩{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}です。そうして,σ∧ｔ,τ∧ｔはＦt-可測です。
(なぜなら,{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∪{ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}(if ｔ＞ａ), Ω(ifｔ≦ａ)です。
そこで,σは停止時刻ですからｔ＞ａならＦa⊂Ｆtより,{σ≦ａ}∈Ｆa⊂Ｆt:すなわち,ｔ＞ａなら{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∈Ｆtです。
一方,ｔ≦ａならＦtがσ加法族なので,{σ∧ｔ≦ａ}＝Ω∈Ｆtです。
したがって,いずれにしても,{σ∧ｔ≦ａ}∈Ｆtですから,σ∧ｔはＦt-可測です。同様にして,τ∧ｔがＦt-可測であることも示すことができます。)
よって,{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}∈Ｆtです。一方σ,τは停止時刻なので,{σ≦ｔ}∈Ｆt,{τ≦ｔ}∈Ｆtですから,結局{σ≦τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆtです。それ故,{σ≦τ}∈Ｆτが成立します。そこで,{σ＞τ}＝{σ≦τ}c∈Ｆτです。
また,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ∧ｔ＜τ∧ｔ}∩{τ≦ｔ}なので,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆt:すなわち{σ＜τ}∈Ｆτです。
さらに,{σ＝τ}＝{σ≦τ}∩{σ≧τ}∈Ｆτです。σとτを入れ換えることにより,{τ＜σ},{σ＞τ},{τ≦σ},{σ≦τ},{τ＝σ}∈Ｆσ∩Ｆτ＝Ｆσ∧τが成立することがわかります。(証明終わり)
(定義4.8):確率過程{Ｂt}は次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たすときＮ次元Ｆt-ブラウン運動であるという。
(ⅰ){Ｂt}はＦtに適合している。
(ⅱ)各ｔ＞ｓ≧0 に対して(Ｂt－Ｂs)はＦsと独立な:平均ベクトルがゼロ,共分散行列が(ｔ－ｓ)ＥのＮ次元ガウス変数である。
(ⅲ){Ｂt}は連続確率過程である。
そして,上の(定義4.8)の(ⅱ)は,条件付期待値の特性関数に関する等式Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)}|Ｆs]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}が成立することと同値です。
(証明)Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)}|Ｆs]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}なら,∀Ａ∈Ｆsに対してω∈Ａであるという条件付期待値はＥ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)};Ａ]＝Ｅ[Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)}|Ｆs];Ａ]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を意味しますから,(Ｂt－Ｂs)はＦsと独立です。
確かに,平均ベクトルはゼロ,共分散行列は(ｔ－ｓ)Ｅです。逆が成立することは自明です。(証明終わり)
例えば,Ｎ次元ブラウン運動:{Ｂt}＝{(Ｂt1,Ｂt2,..,ＢtN)}に対して,ＦtB≡σ(Ｂs;ｓ≦ｔ)と置くと,各Ｂti:ｉ＝1,2,..,Ｎは１次元ＦtBi-ブラウン運動です。
また,{Ｂt}をＮ次元ブラウン運動とすると,(Ｂt+s－Ｂs)はＦs＋Bと独立で,{Ｂt}はＮ次元Ｆt＋B-ブラウン運動となります。
(証明)Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)}|Ｆs＋B]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}を示せばいいです。
ｔ＞ｓ＋1/ｎのとき,Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs+1/n)}|Ｆs+1/nB]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}より,∀Ａ∈Ｆs＋Bに対してＥ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}Ｐ(Ａ)です。
ｎ→ ∞の極限では,Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を得ます。(証明終わり)
(補題4.9):Ｎ次元Ｆt-ブラウン運動{Ｂt}＝{(Ｂt1,Ｂt2,..,ＢtN)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対し(ⅰ)Ｅ[Ｂti|Ｆs]＝Ｂsi:ｉ＝1,2,..,Ｎ (ⅱ) Ｅ[(Ｂti－Ｂsi)(Ｂtj－Ｂsj)|Ｆs]＝δij(ｔ－ｓ)である。
(証明)既に,Ｅ[exp{itξ(Ｂt－Ｂs)}|Ｆs]＝exp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}であることを示しました。(ⅰ)ξiで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[i(Ｂti－Ｂsi)|Ｆs]＝[－ξiexp{－|ξ|2(ｔ－ｓ)/2}]ξ＝0 ＝0 です。
故に,Ｅ[Ｂti|Ｆs]＝Ｂsi:ｉ＝1,2,..,Ｎです。(ⅱ)ξi,ξjで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[(Ｂti－Ｂsi)(Ｂtj－Ｂsj)|Ｆs]＝δij(ｔ－ｓ)です。(証明終わり)
(補題4.10):{Ｂt}を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された,初期分布をνとするＮ次元ブラウン運動とする。
ＦtB≡σ(Ｂs;ｓ≦ｔ),ＦB≡∨t≧0ＦtB,Ｎ≡{Ｆ⊂Ω:Ｆ⊂∃Ｇc∈ＦB,Ｐ(Ｇ)＝0},Ｆt＝ＦtB∨Ｎとすると,Ｆt＋＝Ｆtである。
(ここで,２つの集合族Ｍ,Ｎに対して集合族Ｍ∨ＮをＭ∨Ｎ≡{Ｆ|∃Ｅ∈Ｍ:(Ｆ－Ｅ)∪(Ｅ－Ｆ)∈Ｎ}で定義します。)
(証明)以前に導入した密度関数:ｇ(ｔ,ｘ)＝(2πｔ)-N/2exp{－|ｘ|2/(2ｔ)},ｘ∈ＲN,ｔ＞0 を用いて,Ｔtｆ(ｘ)＝∫ｇ(ｔ,ｙ－ｘ)ｆ(ｙ)ｄｙと定義します。
このとき,ｆ(ｘ)が有界可測ならＴtｆ(ｘ)も有界可測です。また,先に示したことにより,(Ｂt+s－Ｂs)はＦs＋Bと独立なＮ次元Ｆt＋B-ブラウン運動です。
そこで,ｓ≦ｔ1＜ｔ2としｆ1,ｆ2を有界可測とすると,Ｅ[ｆ1(Ｂt1)ｆ2(Ｂt2)|Ｆs＋B]＝Ｅ[ｆ1(Ｂt1)Ｅ[ｆ2(Ｂt2－Ｂt1＋Ｂt1)|Ｆt1＋B]|Ｆs＋B]＝Ｅ[ｆ1(Ｂt1)Ｔt2－t1ｆ2(Ｂt1)|Ｆs＋B]＝Ｔt1－sｆ1{Ｔt2－t1ｆ2 }(Ｂs)＝Ｅ[ｆ1(Ｂt1)ｆ2(Ｂt2)|ＦsB](Ｐ-a.s)＝(確率的にほとんど確実に)となります。
これを繰り返せば,0≦ｔ1＜ｔ2＜．．＜ｔk-1＜ｓ＜ｔk＜ｔk+1＜..＜ｔnと有界可測なｆ1,ｆ2,．．,ｆnに対して,Ｅ[ｆ1(Ｂt1)ｆ2(Ｂt2)..ｆn(Ｂtn)|Ｆs＋B]＝ｆ1(Ｂt1)ｆ2(Ｂt2)..ｆk-1(Ｂtk-1)Ｅ[ｆk(Ｂtk)..ｆn(Ｂtn)|Ｆs＋B]＝ｆ1(Ｂt1)ｆ2(Ｂt2)..ｆk-1(Ｂtk-1)Ｅ[ｆk(Ｂtk)..ｆn(Ｂtn)|ＦsB] (Ｐ-a.s)を得ます。
特に,有界可測な関数をｆi(ｘ)≡１Γi(ｘ)(Γiはボレル集合,ｉ＝1,2,..,ｎ)に取れば,Ｐ(Ｂt1∈Γ1,Ｂt2∈Γ2,..,Ｂtn∈Γn|Ｆs＋B)＝１{Bt1∈Γ1,Bt2∈Γ2,..Btk-1∈Γk-1}Ｐ[Ｂtk∈Γk,．．,Ｂtn∈Γn|ＦsB] (Ｐ-a.s)となります。
したがって,ＤをＤ≡{Ｆ∈ＦB:Ｐ(Ｆ|Ｆs＋B)がＦsB可測な修正を持つ}と定義するときＤはディンキン系(族)(Dynkin class)です。
※(ディンキン系の定義):Ωをある集合としΩの部分集合からなる集合族Ｄが次の条件を満たすとき,Ｄはディンキン系(ディンキン族)である,と言います。
(ⅰ)Ω∈Ｄ (ⅱ)Ａ,Ｂ∈Ｄ,Ａ⊂ＢならＢ－Ａ∈Ｄ (ⅲ)Ａn∈Ｄ,Ａn⊂Ａn+1,ｎ＝1,2,..なら∪n=1∞Ａn∈Ｄ
※ (ディンキン系の定理)ディンキン系の有する性質の１つです。
ＣをΩの部分集合からなる族でＡ,Ｂ∈ＣならＡ∩Ｂ∈Ｃとなるものとする。Ｄ(Ｃ)をＣを含む最小のディンキン系とすると,Ｄ(Ｃ)はσ(Ｃ)である。
(つまり,Ｃを含む最小のσ加法族と一致する。)(証明は簡単なのでここでは証明しません。)
よって,ディンキン系の定理を用いると,Ｄ＝Ｄ(ＦB)＝σ(ＦB)より,ＦB⊂Ｄですから,∀Ｇ∈ＦBに対してＰ(Ｇ|Ｆs＋B)はＦsB可測な修正を持ちます。
その修正を１~Gと表わすことにします。つまりＧ∈Ｆs＋Bを取ったとき,Ｇ~≡{１~G＝１}はＧの修正ですから,明らかに(Ｇ－Ｇ~)∪(Ｇ~－Ｇ)＝[{１~G≠１G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]∈Ｎです。(Ｐ[{１~G≠１G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]＝0 です。)
それ故,Ｇ∈Ｆs＝ＦsB∨Ｎが成立します。
あらゆる閉集合:Ｆ∈Ｆs＋＝∩n=1∞Ｆs+1/nに対し,各ｎについてＧn∈Ｆs+1/n,(Ｆ－Ｇn)∪(Ｇn－Ｆ)∈ＮなるＧnが存在するので,Ｇ＝∩n=1∞Ｇnと取れば(Ｇ－Ｆ)∈Ｎ,かつ(Ｆ－Ｇ)∈Ｎです。
しかも,Ｇ∈Ｆs＋B⊂ＦsですからＦ∈Ｆs:すなわち,Ｆs＋⊂Ｆsが得られます。したがって,結局Ｆs＋＝Ｆsが得られました。(証明終わり)
切りがいいので,今日はここまでにします。
※なお,条件付期待値に関する演算の性質については,時を改めてやさしい解説記事を書くつもりです。
参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)
http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。
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