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2007年6月21日 (木)

ブラウン運動と伊藤積分(1)

 2006年5月21日の記事「ブラウン運動とフラクタル次元で書いた内容をより詳細に記述してみようと思います。

表題の項目は,金融工学における株価予測のモデルであるブラック・ショールズ方程式や量子力学を実在論的な確率過程として捉えて定式化することを試みるネルソン方程式などに利用されています。

 

以下において紹介する記事は,2000年7月下旬から2001年1月上旬までかけて途中まで読んで,中断している長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)を読解した内容を,当時まとめたノートに基づくものです。

 その頃,友人の医師たちと共に巨視的個数の人体細胞の状態の時系列を確率過程と捉えて確率空間として細胞の病理状態の集合で構成される"病態位相空間"を想定することにより,病理学の分野での病態の予測モデルを作ろうという計画が持ち上がりました。

 

 私は,その数学理論による基礎付け部分を担当するスタッフの1人だったのですが,色々と模索しているうちにこの分野を知ったのですが,結局,病態の予測モデルの計画そのものは,私にとっては挫折しました。

 ではまず,言葉の定義から厳密に与えていきましょう。 

初等確率論では確率変数はその値をN次元ユークリッド空間N,あるいはその部分集合に取りますが,ここではその取る値が距離空間の点であるとします。 

 Ωを標本空間,すなわち,"試行=根源事象ω"の全体とし,はΩの部分集合で"σ加法族=完全加法族,あるいは可算加法族",そしてPをその確率とする確率空間を(Ω,,P)とします。

 

 つまり,は"(ⅰ)∀A∈に対してA (AはAの閉包),(ⅱ)A1,A2,..∈ ⇒ ∪n=1n ,(ⅲ)Ω∈ "なる条件を満たしています。

  

 そして,集合関数Pは"(ⅰ)∀A∈に対してP(A)≧0,(ⅱ)P(Ω)=1,(ⅲ)i≠jのとき,Ai∩Aj=φなる事象列{An}に対してP(∪n=1n)=Σn=1(An)"なる条件を満足しています。

 また,Ξを距離空間とし,(Ξ)をその部分集合から成る位相的ボレル集合体(ボレル加法族)とします。

 

 ボレル集合体(Borel field)とは,"定義空間=Ξ"内の開集合全体を含む最小のσ加法族のことです。

 

(開集合の余集合は閉集合ですから,ボレル集合体は閉集合全体を含む最小のσ加法族でもあります。)

(定義1.1):B∈(Ξ)に対してμX(B)≡P(X-1(B))=P(ω:X(ω)∈B)によってμXを定義すると,μX(Ξ,(Ξ))の上の1つの確率測度であるが,これをXの分布という。

 

(空間Ωにおける集合関数としての確率測度とは,μ(Ω)=1を満たす測度μのことである。)

 

(定義1.2):(ⅰ)m∈R12∈R1が与えられたとき,確率変数Xの特性関数φ(ξ)≡E[exp(iξX)]が,φ(ξ)=exp(iξm-σ2ξ2/2)で与えられるなら,Xを1次元ガウス型確率変数という。

 

(実際,分布が連続型で1次元確率密度で表現可能なとき,それがガウス分布=正規分布f(x;m,σ2)≡[1/{(2π)1/2σ}]exp{-(x-m)2/(2σ2)}で与えられる場合,特性関数の定義であるexp(iξX)の期待値E[exp(iξX)]は,確かにE[exp(iξX)]=∫-∞(x;m,σ2)exp(iξx)dx=exp(iξm-σ2ξ2/2)となります。)

(ⅱ)Nとし,Vを非負定値対称行列とするとき,確率変数t(X1,X2,..,XN)の特性関数φ(ξ)がφ(ξ)≡E[exp(itξX)]=exp(itξMtξξ/2) ;ξN で与えられるなら,XをN次元ガウス型確率変数という。(tAは行列Aの転置行列です。)

 

(定義1.3):(確率過程の定義):Ξを距離空間とするとき,Ξに値をとる確率変数の族{t}t∈Tを確率過程という。

 

ただし,はパラメータ空間で,例えば[0,∞)とか,=[0,T]とか,=Z+と定義する。

 

{t}は,しばしば{(t)}と書かれたり,あるいは確率変数であることを明確にするため,{t(ω)}とか{(t,ω)}ω∈Ωと書かれる。

Ξ上の確率過程{(t)}t∈Tが与えられたとき,0<t1<t2<..<tn<∞ に対し,μt1,t2,..,tn(B1×B2×..×Bn)≡P[(t1)∈B1,(t2)∈B2,..,(tn)∈Bn]と置けば,μt1,t2,..,tnn)上の分布をただ1つ定める。

 

ただし,Ξnは,もちろんΞのn個の直積空間である。これによって,nとt1,t2,..,tnを動かしたとき,それぞれ分布が定まりますが,それらを総称して有限次元分布という。

 

(定義1.4):Ξ上の確率過程{t}t∈T,および{t}t∈Tが与えられたとき,P(tt)=1 for∀t∈が成立するなら,{Yt}t∈T{t}t∈T({t}t∈T{t}t∈T)修正であるという。

(定義1.5):Ξ上の確率過程{t}t∈Tが与えられたとき,{s}s≦tを可測にする最小のσ加法族をσ(s;s≦t)と書くことにする。

(定義1.6):Ξ上の確率過程{t}t∈Tについて,P0)=1を満たすΩ0 があって,ω∈Ω0に対しt(ω)がtの(左,または右)連続関数であるとき,この確率過程を(左,または右)連続確率過程という。

次に,ブラウン運動(Brownian motion)について考察します。 

(定義2.1):(ブラウン運動の定義)

確率空間(Ω,,P)で定義されたN上の確率過程{t}t∈[0,∞)がN次元ブラウン運動であるとは,この確率過程が以下の条件を満足することをいう。 

(ⅰ) 0≦s≦tに対して(ts)は平均ベクトルがゼロ,共分散行列が(t-s)EのN次元ガウス型確率変数である。

 

すなわち,φ(ξ)≡E[exp{itξ(ts)}]=exp[-(t-s)|ξ|2/2]で,連続確率密度はp()=(2π)-N/2(det(t-s)E)-1/2exp[-txx/{2(t-s)}]={2π(t-s)}-N/2exp[-||2/{2(t-s)}]である。

 

(ⅱ) 0≦s≦tに対して,(ts)はσ(u;u≦s)と独立である。つまり,例えば{Bt}が1次元なら,P((Bt-Bs)≦x,Bu≦y)=P((Bt-Bs)≦x)P(Bu≦y)である。

 

(ⅲ){t}は連続確率過程である。つまり,∀t∈[0,∞)においてtはtの連続関数である。

 

N次元ブラウン運動の初期分布:ν()≡P(0),(N)を予め規定することも多いです。

 

特に,ν(dz)=δx(dz)のとき,すなわちP(0)=1のとき,から出発するブラウン運動と言います。

ここで,N上の確率過程{s}={(Bs1,Bs2,…BsN)}について,{s}がゼロから出発するN次元ブラウン運動であるとすると,これは各{Bsi}(i=1,2,..N)がゼロから出発する1次元ブラウン運動で,{Bs1},{Bs2},..,{BsN}が独立であることと同値です

 

つまり,全体の特性関数が各々の1次元特性関数の積になることと同値です。

なぜなら,{t}がゼロから出発するN次元ブラウン運動であるなら,∀t>s≧0 についてE[exp{itξ(ts)}]=exp[-(t-s)|ξ|2/2]=Πi=1Nexp[-(t-s)|ξi|2/2]=Πi=1N[exp{iξi(Bti-Bsi)}です。

 

それ故,{ti-Bsi}(i=1,2,..,N)は独立です。そして,{t}がゼロから出発するので,s=0 と選べば,P(si=0 )=1 なので結局∀t ≧0  に対して{ti}(i=1,2,..N)の独立性も成立します。

  

また,各iで{ti}がゼロから出発することも自明です。

そして,N次元ブラウン運動の定義から,0=t0<t1<..<tlなる∀t0,t1,..,tl対し,{tk+1tk}(k=0,1,..,l-1)は独立ですから,i=1,2,..,Nの各々のiについて,{tk+1i-Btki} (k=0,1,..,l-1)は独立です。

 

こうして,{ti}(i=1,2,..,N)は全て独立な1次元ブラウン運動であることがわかります。逆もまた自明です。

次に,ブラウン運動の幾つかの性質を証明を交えて列挙します。 

(ⅰ){t}をゼロから出発する1次元ブラウン運動とすると,

E[ts]=t∧s≡min(t,s),およびE[t4]=3t2が成立する。

  

(証明)φ(ξ)≡E[exp{iξ(Bt-Bs)}]=exp[-|t-s|ξ2/2]より,(-d2φ(ξ)/dξ2)|ξ=0[(Bt-Bs)2]|t-s|です。

 

したがって,[Bt2]=t,E[Bs2]=sです。

 

そして,[(Bt-Bs)2][Bt2]-2E[ts]+[Bs2]と展開できますから,E[ts]=(t+s-|t-s|)/2=t∧sを得ます。

 

また,(d4φ(ξ)/dξ4)|ξ=0[(Bt-Bs)4]=3(t-s)4ですから,E[t4]=3t2も得られます。(証明終わり)

 

(ⅱ)回転不変性:{t}をN次元ブラウン運動としAをN次元直交行列とする。このとき,{At}もN次元ブラウン運動である。

  

(証明)φ(ξ)≡E[exp{itξ(At-As)}]=E[exp{itξ(A(ts))}]=exp[-(t-s) (tξtAAξ)/2]となります。

 

ここで,AはN次元直交行列なのでtAA=Eですから,結局φ(ξ)=exp[-(t-s)|ξ|2/2] を得ます。(証明終わり)

(ⅲ)スケール則:{t}をN次元ブラウン運動とする。このとき,各c>0 に対し{(c)-1/2t}もN次元ブラウン運動である。

  

(証明)φ(ξ)≡E[exp{itξ((c)-1/2t(c)-1/2s)}]=E[exp{itξ((c)-1/2(ts))}]=exp[-c(t-s)|ξ/c|2/2 ]=exp[-(t-s)|ξ|2/2]です。(証明終わり)

(ⅳ){t}をN次元ブラウン運動とすると{t+ss}t≧00 から出発するN次元ブラウン運動である。

  

(証明) {t}をN次元ブラウン運動とするとき{t+ss}t≧0もN次元ブラウン運動であることは自明です。

 

しかも,{t+ss}t=0{ss}より,P[(0+ss)=0]=1 が成立します。(証明終わり)

"ブラウン運動の経路はどんな時間tの幅を取ってもその経路は長さを持たない,つまり長さは無限大である",という性質を持ちます。

 

しかし,2次変分を取ると,それは有限になります。すなわち,長さの2乗和は有限です。このことを以下で示します。

 

また,後述するように2次変分が有限であるという性質はマルチンゲール(martingale)性に基づくものです。

 

そして,この性質は後に確率積分を定義する基礎になります。

(定理2.2):{t}t∈Tを1次元ブラウン運動とすると,P(tはt∈で微分可能な点を持たない)=1である。

(証明) P(00)=1としても,一般性を失うことはないのでそのように仮定します。そして≡[0,T]とします。

 

m,k≡{ω∈Ω;∃t∈[0,T]:|t(ω)-s(ω)|≦m|t-s| for ∀t∈[s-T/k,s+T/k]}⊂Ωと置きます。

 

{ω∈Ω;∃t∈[0,T]:∃limh→0[{t(ω)-s(ω)}/h]}⊂∪m=1k=1m,kですから,∀mに対してP(∪k=1m,k)=0 が成立することを示せばいいことになります。

  

n≡∪i=1n-2n,i;En,i≡∩l=ii+2{|lT/n(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦(5mT/n)}(i=1,2,..,n-2)とおくと,Dm,k⊂∩n=5knです。

 

実際,ω∈Dm,k,s∈[(i-1)T/n,(i+2)T/n]で,かつn≧5kであれば,|lT/n(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦|lT/n(ω)-s(ω)|+|s(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦(5mT/n)(l=i,i+1,i+2)となるからです。

これの理由を詳細に述べると,次のようになります。

  

s∈[(i-1)T/n,(i+2)T/n]ですが,n≧5kよりT/k≧5T/nですから,-T/k≦-5T/nです。それ故,s-T/k≦(i-3)/T,s+T/k≧(i+4)T/n,すなわち[(i-3)/T,(i+4)T/n]⊂[s-T/k,s+T/k]となります。

そこで,l=i,i+1,i+2 についてlT/n,(l-1)T/n∈[(i-3)/T,(i+4)T/n]⊂[s-T/k,s+T/k]ですから,ω∈Dm,kによって|lT/n(ω)-s(ω)|≦m|lT/n-s|,|s(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦m|s-(l-1)T/n|,s∈[(i-1)/T,(i+2)T/n]です。

 

(i+2)T/n-(i-1)/T=3T/nですから,max(i-1)T/n≦s≦(i+2)T/n{|lT/n-s|+|s-(l-1)T/n|}=5T/nとなります。

 

したがって,結局|lT/n(ω)-s(ω)|+|s(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦(5mT/n) (l=i,i+1,i+2)が得られたわけです。

そして,P[|lT/n(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦(5mT/n)]=P[|T/n(ω)|≦(5mT/n)]ですから,P(En,i)=P[∩l=ii+2|lT/n(ω)-(l-1)T/n(ω)|≦(5mT/n)]=P[|T/n(ω)|≦(5mT/n)]3が成立します。

 

そこで,P(En)≦∑i=1n-2P(En,i)=(n-2)P[|T/n(ω)|≦(5mT/n)]3と書くことができます。

 

ここでスケール則を用いると,P(En)≦(n-2)P[(T/n)1/2|B1|≦(5mT/n)]3≦23(n-2)(2π)-3/2(5m(T/n)1/2]3 となります。

 

最後の不等式は,P[(T/n)1/2|B1|≦(5mT/n)]=P[|B1|≦(5m(T/n)1/2]=(2π)-1/2-5m(T/n)1/25m(T/n)1/2[exp(-u2)]du≦2(2π)-1/2(5m(T/n)1/2 によって得られます。

そこで,P(∪k=1m,k)=P(∪k=1n=5kEn)≦liminfP(En)=0 が成立します。すなわち,P(tはtで微分可能な点を持たない)=1 が示されました。(証明終わり)

(定理2.3):{t}t∈TをN次元ブラウン運動とする。

 

t>0,t∈に対し,分割Δ:0=t0<t1<..<tn<t<tn+1を任意に取って,|Δ|≡maxi|ti+1-ti|→ 0 とすると,∀t∈に対してE[(∑i=0n-1|ti+1ti|2+1tn|2-Nt)2]→ 0 となる。

 

(証明)N=1で示せば十分なので,N=1で考察します。

 t(B;Δ)≡∑i=0n-11ti+1ti|2+1tn|2と置くと,E[Qt(B;Δ)]=∑i=0n-1(ti+1-ti)+(t-tn)=tとなります。

 

なぜなら,E[|ts|2]=-∑i(∂2φ/∂ξi2)=N(t-s)であるからです。 

したがって,E[(Qt(B;Δ)-t)2]=E[{∑i=0n-1(|ti+1ti|2-(ti+1-ti))+|tn|2+(t-tn)}2]=∑i=0n-1E[{|ti+1ti|2-(ti+1-ti)}2]+E[{|ttn|2-(t-tn)}2]=∑i=0n-1{3(ti+1-ti)2-(ti+1-ti)2}+3(t-tn)2-(t-tn)2=∑i=0n-12(ti+1-ti)2+2(t-tn)2≦2t[maxi|ti+1-ti |]を得ます。

 

(ここで,確率変数の独立性によって,"(積の期待値)=(期待値の積)"になることを用いています。)

よって,|Δ|≡maxi|ti+1-ti |→ 0 のとき,E[(∑i=0n-1|ti+1ti|2+|ttn|2-t)2]=E[(Qt(B;Δ)-t)2]→ 0 が得られます。(証明終わり)

(定理2.3の系):N次元ブラウン運動{t}t∈Tの標本路の全変動をVt≡supΔ(∑i=0n-1|ti+1ti|+1ttn|)とすると,∀t>0 に対してP(Vt=∞)=1である。

  

(証明) Qt(;Δ)≡∑i=0n-1|ti+1ti|2+|ttn|2≦Vt supi{|ti+1ti|∨|ttn|} (ただしt∨s≡max(t,s))と書けます。

 

そして,iim|Δ|→0 supi{|ti+1ti|∨|ttn|}=0 ですから、もし仮に,P(Vt<∞)>0 であるとすると,P(iim|Δ|→0t(;Δ)=0)>0 となります。

  

これは,(定理2.3)の[{iim|Δ|→0t(;Δ)=Nt}]=1 に矛盾します。それ故,P(Vt<∞)=0 or P(Vt=∞)=1 です。(証明終わり)

すなわち,その存在確率がゼロである経路の集合を除いて,ほとんど全てのブラウン運動の標本経路の時刻 0 からtまでの長さは有限ではなく無限大であることが示されたわけです。

今日はここまでにします。 

参考文献:長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版) 

 

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110. 複雑系・確率過程・非線型・非平衡」カテゴリの記事

コメント

 どもhirotaさん、TOSHIです。

>(定義1.2):(ⅰ)m∈R^1,σ^2∈R^2
σ^2 の方も R^1 ですね。

その通りです。直しておきます。チェックありがとうございます。

             TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年9月16日 (日) 13時22分

>(定義1.2):(ⅰ)m∈R^1,σ^2∈R^2
σ^2 の方も R^1 ですね。

投稿: hirota | 2007年9月16日 (日) 02時33分

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