ブラウン運動と伊藤積分(３)

さらに前記事の続きです。

すぐ前の記事において,確率空間(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)の上で定義され,ほぼブラウン運動の条件を満たす確率過程{Ｘ_t}の存在が確認されました。

その確率過程{Ｘ_t}の修正として,連続確率過程{Ｙ_t}が存在し,それによって実際にブラウン運動が実現されることを示すのが,今日の記事の目的です。

そして,その目的に到達するために,いきなり次の定理を述べることから始めます。

(定理3.2):確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された確率過程{Ｘ_t}_t∈[0,1]が次の条件を満たしているとする。

すなわち,"Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]≦ｃ|ｔ－ｓ|^1+β；0≦ｓ,ｔ≦1,∃α,β,ｃ＞ 0 "を満たしているとする。このとき,"{Ｘ_t}の修正である連続確率過程{Ｙ_t}が存在して,あるδ＞0 に対し,Ｐ(ω:∃η(ω)＞0 such that sup_{0≦s､t≦1,|t-s|<η(ω)}{|Ｙ_t－Ｙ_s|/|ｔ－ｓ|^λ}≦δ)＝1,for some λ：0＜λ≦β/α"なる命題が成り立つ。

これを証明するためには補題として,次の「ボレル・カンテリの補題(Borel-Cantelli lemma)」が必要です。

(ボレル・カンテリの補題):"{Ａ_n}_n=1,2,.を集合列とし,Ａをこれらの集合の無限個の共通に含まれる要素の集合とし,Ｐを確率測度とする。

このとき,「(ａ)ΣＰ(Ａ_n)＜∞ならＰ(Ａ)＝0 」,「(ｂ)ΣＰ(Ａ_n)＝∞で事象Ａ_nが独立ならＰ(Ａ)＝1」である。"

(上の補題の証明)(ａ) Ａ＝∩_r=1^∞∪_n=r^∞Ａ_nと書けます。よって∀ｒについてＡ⊂∪_n=r^∞Ａ_nです。

ΣＰ(Ａ_n)＜∞より,ΣＰ(Ａ_n)は収束するので,ε＞0 を任意に取れば十分大きいｒに対して,Ｐ(Ａ)≦Ｐ(∪_n=r^∞Ａ_n)≦Σ_n=r^∞Ｐ(Ａ_n)＜εと書けます。ε＞0 は任意なのでＰ(Ａ)＝0 です。

(ｂ) Ａ＝∩_r=1^∞∪_n=r^∞Ａ_nよりＡ^c＝∪_r=1^∞∩_n=r^∞Ａ_n^cです。1－Ｐ(Ａ)＝Ｐ(Ａ^c)＝Ｐ(∪_r=1^∞∩_n=r^∞Ａ_n^c)≦Σ_r=1^∞Ｐ(∩_n=r^∞Ａ_n^c)≦Σ_r=1^∞Π_n=r^∞[1－Ｐ(Ａ_n)]です。

ここで,ΣＰ(Ａ_n)＝∞なので,各ｒについて無限積はゼロに発散します。(つまりΣlog[1－Ｐ(Ａ_n)]≦－ΣＰ(Ａ_n)＝－∞より,Π_n=r^∞[1－Ｐ(Ａ_n)]＝exp(－∞)＝0 です。)

故に,Ｐ(Ａ)＝1です。(補題の証明終わり)

(定理3.2の証明)仮定によって,任意のε＞0 に対してＰ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)≦Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]/ε^α≦ｃε^-α|ｔ－ｓ|^1+βが成立します。

(なぜなら,Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]≧Ｐ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)・ε^α)

よって,ε≡2^-λn；0＜λ＜β/αとすると,Ｐ(sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)＝Ｐ(∪_k=1²ⁿ(|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn))≦Σ_k=1²ⁿＰ(|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)≦2ⁿｃ2^{-n(1+β-αλ)}＝ｃ2^-n(β-αλ)が成立します。

そして,(β－λα)＞0 よりΣ_nｃ2^-n(β-αλ)＜∞ です。それ故,Σ_nＰ(sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)＜∞ を得ます。

故にボレル・カンテリの補題より,∀ｎに対して,sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn なる集合をＡ⊂Ωとすると,Ｐ(Ａ)＝0 です。

そこで,Ω₀≡Ａ^cとおけば,Ｐ(Ω₀)＝1でΩ₀∈Ｆです。

そして,"∀ω∈Ω₀に対して,∃ｎ₀(ω)∈Ｚ+:sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＜2^-λn if ｎ≧ｎ₀(ω)"が成立します。

(Ｚ+は正の整数全体の集合)

ここでＤ_n≡{ｋ/2ⁿ：ｋ＝0,1,2,..,2ⁿ},Ｄ≡∪_n=1^∞Ｄ_nとします。

ｓ,ｔ∈Ｄ_n,ｎ＞ｎ₀(ω)とし,さらに 0＜ｔ－ｓ＜2^-ｎ0(ω)とすると,ｎ₀(ω)＜ｍ＜ｎなるｍがあって,1/2^m+1≦ｔ－ｓ＜1/2^mとなります。

ｓ₁≡min{ｓ'∈Ｄ_n-1,ｓ≦ｓ'},ｔ₁≡max{ｔ'∈Ｄ_n-1,ｔ'≦ｔ}とおくと,|ｓ－ｓ₁|,|ｔ－ｔ₁|≦1/2ⁿ です。

ここで,"Ｐ(Ω₀)＝1なるΩ₀∈Ｆが存在して,∀ω∈Ω₀に対し∃ｎ₀(ω)∈Ｚ+:sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn if ｎ≧ｎ₀(ω)"となるので,そのΩ₀について,∀ω∈Ω₀に対し|Ｘ_t－Ｘ_t1|,|Ｘ_s－Ｘ_s1|≦2^-λnとなります。

したがって,|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2^1-λn＋|Ｘ_t1－Ｘ_s1|,ｓ₁,ｔ₁∈Ｄ_n-1,ｔ₁－ｓ₁＜1/2^m を得ます。

ｓ,ｔをｓ₁,ｔ₁に置き換えることによって,ｓ,ｔを基にした選択から新パラメータｓ₁,ｔ₁を獲得したようにｓ₁,ｔ₁を基にして同様にｓ₂,ｔ₂を獲得することができます。

これを繰り返して,ｓ₃,ｔ₃,..を逐次取っていくと,ｓ_n-(m+1),ｔ_n-(m+1)∈Ｄ_m+1;|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2Σ_j=0^n-(m+2)2^-λ(n-j)＋|Ｘ_tn-(m+1)－Ｘ_sn-(m+1)|とすることができます。

このとき,ｔ_n-(m+1)－ｓ_n-(m+1)＝1/2^m+1となるので,結局,|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2Σ_j=0^n-(m+1)2^-λ(n-j)≦{2/(1－2^-λ)}(2^-λ)^m+1≦δ|ｔ－ｓ|^λ (δ≡2/(1－2^-λ))となります。

これで,各ω∈Ω₀に対してＸ_t(ω)のヘルダー(Hölder)連続性:|Ｘ_t(ω)－Ｘ_s(ω)|≦δ|ｔ－ｓ|^λが成立することが示されました。

Ω₀に属さないωに対しては,Ｙ_t(ω)≡0と置きます。

ω∈Ω₀に対しては,ｔ∈[0,1]なる各ｔについてｔ_n∈Ｄ,lim_n→∞|ｔ_n－ｔ|＝0 となる２進数の数列{ｔ_n}を取って,Ｙ_t(ω)≡lim_n→∞Ｘ_tn(ω)と定義することができます。

Ｐ(Ω₀)＝1であり,0＜ｔ－ｓ＜2^-ｎ0(ω)なるｓ,ｔ∈[0,1]とω∈Ω₀に対して|Ｘ_t－Ｘ_s|≦δ|ｔ－ｓ|^λとなるので,このようにして構成した{Ｙ_t}はＰ(ω：∃η(ω)＞0 such that sup_{0≦s,t≦1,|t-s|＜η(ω)}{|Ｙ_t－Ｙ_s|/|ｔ－ｓ|^λ≦δ})＝1を確かに満足します。

また,ｔ∈Ｄなるｔに対しては,ほとんどいたるところで,つまり確率１でＸ_t＝Ｙ_tです。

一方,ｔ∈Ｄ^c∩[0,1]なるｔに対しては,任意のε＞0 に対しＰ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)≦Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]/ε^α≦ｃε^-α|ｔ－ｓ|^1+βが成り立ちますから,lim_n→∞Ｐ(|Ｘ_tn－Ｘ_t|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 です。

これと,Ｐ(lim_n→∞(|Ｘ_tn－Ｙ_t|＝0)＝1から,Ｐ(|Ｘ_t－Ｙ_t|＝0)＝1 が得られます。つまり,Ｙ_tはＸ_tの修正である,ことが示されました。(証明終わり)

(注)ここでは,ｔ∈[0,1]としましたが一般性を失うことなく,ｔ∈[0,Ｔ]とすることができるのは明らかです。

それ故,定理は容易にパラメータ空間を[0,∞)にした確率過程に適用できるよう拡張できます。

ここで,(定理3.1)とｇ(ｔ,ｘ)≡(2πｔ)^-N/2exp{－|ｘ|²/(2ｔ)},ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0,ｔ₀＝0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n に対して,μ_t0,t1,..tn(Ｂ₀×Ｂ₁×..×Ｂ_n )≡∫_{Ｂ0×Ｂ1×..×Ｂn}ν(ｄｘ₀)Π_i=1^Nｇ(ｔ_i－ｔ_i-1,ｘ_i－ｘ_i-1)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nで作った(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)上の確率過程{Ｘ_t}の各成分{Ｘ_tⁱ}(ｉ＝1,2,..,Ｎ)について,φ(ξ)≡Ｅ[exp{iξ(Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ)}]＝exp{－(ｔ－ｓ)ξ²/2}＝Σ_k=0^∞[(－1/2)^k(ｔ－ｓ) ^kξ^2k/ｋ!]です。

したがって,φ⁽²ⁿ⁾(ξ)＝Σ_k=0^∞[(－1/2)^k(ｔ－ｓ)^k/ｋ!](2ｋ)(2ｋ－1)..(2ｋ－2ｎ＋1)ξ^2k-2nですから,φ⁽²ⁿ⁾(0)＝(－1/2)ⁿ(ｔ－ｓ)ⁿ(2ｎ)!/ｎ!です。

　それ故,Ｅ[|Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ|²ⁿ]＝|φ⁽²ⁿ⁾(0)|＝ｃ_n|ｔ－ｓ|ⁿ；ｃ_n≡(2ｎ)!/2ⁿｎ! For ∀ｎ;ｉ＝1,2,..,Ｎが成立します。

つまり,α＝2ｎ,β＝ｎ－1,ｃ≧ｃ_nとすれば,Ｅ[|Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ|^α]≦ｃ|ｔ－ｓ|^1+βが成り立ち,0＜λ＜β/αは 0＜λ＜1/2となります。

こうして,(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)上で定義された{Ｘ_t}の修正である連続確率過程{Ｙ_t}があって,その標本路は確率１で,λ次ヘルダー連続(0＜λ＜1/2)であることがわかりました。

以上のことから,Ｙ.(ω):Ω^N → Ｗ^Nを用いて,Ｐ^(ω)をＰ^(ω)≡Ｐ(Ｙ.(ω)^-1)で定義し,ｗ∈Ｗ^Nの座標関数をＢ_t(ｗ)≡ｗ(ｔ)と取れば,確率空間(Ｗ^N,Ｂ^N,Ｐ^)で定義された連続確率過程{Ｂ_t}は初期分布をνとするＮ次元ブラウン運動になります。

これで当面の目的を達成したので,今日はここまでとします。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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