ブラウン運動と伊藤積分(５)

続きです。 

次項でのマルチンゲール(martingale)の説明への準備として停止時刻とσ加法族の増大系の関係についての種々の性質を紹介しましょう。

まずτを停止時刻とします。このとき,Ｆ_τ≡{Ａ∈Ｆ：Ａ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t ∀ｔ}と置けばＦ_τはσ加法族となることを証明します。

(証明)φ∈Ｆ_τは明らかです。Ａ∈Ｆ_τのとき,Ａ∈ＦよりＡ^c∈Ｆです。そして,τは停止時刻なので{τ≦ｔ}∈Ｆ_t,それ故,{τ＞ｔ}∈Ｆ_tが成立します。

Ａ^c∩{τ≦ｔ}＝(Ａ∪{τ＞ｔ})^cですが,(Ａ∩{τ≦ｔ})∪{τ＞ｔ}∈Ｆ_tですから,Ａ∪{τ＞ｔ}∈Ｆ_tとなります。よって,Ａ^c∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tが得られ,結局Ａ^c∈Ｆ_τとなることがわかります。

次にＡ_n∈Ｆ_τ,ｎ＝1,2,..なら,Ａ_n∈Ｆより,∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆです。また,Ａ_n∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t∀ｔより,(∪_n=1^∞Ａ_n)∩{τ≦ｔ}＝∪_n=1^∞(Ａ_n∩{τ≦ｔ})∈Ｆ_t ∀ｔです。

それ故,∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆ_τも成立します。以上から,Ｆ_τが１つのσ加法族であることが示されました。(証明終わり)

次に主な６つの性質を列記して証明します。

(補題4.7):σ,τ,σ_n,ｎ＝1,2,..を停止時刻とする。(ただし,場合によっては,文字σをσ_nの極限値として用います。そのときはσ_nは停止時刻ですが,極限値σは停止時刻とは仮定されていません。)　

このとき,

(ⅰ)σ∨τ,σ∧τは共に停止時刻である。

(ⅱ)σ_n↑(ｎについて単調増加)のとき,σ≡lim _n→∞σ_nは停止時刻である。また,Ｆ_tが右連続のとき,σ_n↓(ｎについて単調減少)なら,σ≡lim_n→∞σ_nは停止時刻である。

(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω)∀ωなら,Ｆ_σ⊂Ｆ_τである。

(ⅳ)Ｆ_tが右連続のとき,σ_n(ω)↓σ(ω)∀ωなら,∩_n=1^∞Ｆ_σn＝Ｆ_σである。

(ⅴ)Ｆ_σ∧τ＝Ｆ_σ∩Ｆ_τである。

(ⅵ){τ＜σ},{τ≦σ},{τ＝σ}∈Ｆ_σ∩Ｆ_τである。

(証明)(ⅰ){(σ∨τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ},{(σ∧τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∪{τ≦ｔ}が成立します。

そこでσ,τが停止時刻であること:{σ≦ｔ}∈Ｆ_t {τ≦ｔ}∈Ｆ_t,およびＦ_tがσ加法族であることから,{(σ∨τ)≦ｔ}∈Ｆ_tとなります。それ故,{(σ∧τ)も停止時刻であることは自明です。

(ⅱ)σ_n↑のとき,{σ≦ｔ}＝{σ＞ｔ}^c＝(∪_n=1^∞{σ_n＞ｔ})^cです。よってσ_nが停止時刻なら{σ_n＞ｔ}＝{σ_n≦ｔ}^c∈Ｆ_t ∀ｎです。

そこで,σ≡lim _n→∞σ_nが停止時刻であることは自明です。

σ_n↓のとき,{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞{σ_n＜ｔ}で{σ_n＜ｔ}∈Ｆ_t ∀ｎです。したがって{σ＜ｔ}∈Ｆ_t ですが,Ｆ_t が右連続なのでσ≡lim _n→∞σ_nは,やはり停止時刻です。

(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω) ∀ωなら,{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。故に,Ａ∩{τ≦ｔ}＝Ａ∩{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。そこで,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tなら,{τ≦ｔ}∈Ｆ_tよりＡ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tとなります。

すなわち,Ａ∈Ｆ_σならＡ∈Ｆ_τです。つまりＦ_σ⊂Ｆ_τです。

(ⅳ)Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tなら,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tです。また,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tなら∩_n=1^∞{σ＜ｔ＋1/ｎ}∩Ａ∈∩_n=1^∞Ｆ_t+1/nよりＡ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_t＋です。

したがって,Ｆ_tが右連続:Ｆ_t＋＝Ｆ_tなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tとＡ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tは同値です。

σ_n(ω)↓σ(ω) ∀ωなら,{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞{σ_n＜ｔ}ですから,Ａ∩{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞(Ａ∩{σ_n＜ｔ})です。

そして,σ≦σ_n∀ｎより,Ｆ_σ⊂Ｆ_σn ∀ｎです。それ故,Ｆ_σ⊂∩_n=1^∞Ｆ_σnです。

一方,Ａ∩{σ_n＜ｔ}∈Ｆ_t∀ｎ,すなわちＡ∈∩_n=1^∞Ｆ_σnならσ＝lim_n→∞σ_nでＦ_tがσ加法族であることから,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tです。

それ故,Ａ∈Ｆ_σですから,∩_n=1^∞Ｆ_σn⊂Ｆ_σも成立します。以上からＦ_tが右連続なら,∩_n=1^∞Ｆ_σn＝Ｆ_σです。

(ⅴ)σ∧τ≦σ,σ∧τ≦τですから,(ⅲ)よりＦ_σ∧τ⊂Ｆ_σ∩Ｆ_τとなります。

一方,等式Ａ∩{σ∧τ≦ｔ}＝(Ａ∩{σ≦ｔ})∪(Ａ∩{τ≦ｔ})により,Ａ∈Ｆ_σ∩Ｆ_τなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_t,かつＡ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tなのでＡ∩{σ∧τ≦ｔ}∈Ｆ_tです。

したがって,Ｆ_σ∩Ｆ_τ⊂Ｆ_σ∧τも成立します。以上から,Ｆ_σ∧τ＝Ｆ_σ∩Ｆ_τを得ます。

(ⅵ) {σ≦τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}∩{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}です。そうして,σ∧ｔ,τ∧ｔはＦ_t-可測です。

(なぜなら,{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∪{ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}(if ｔ＞ａ), Ω(ifｔ≦ａ)です。

そこで,σは停止時刻ですからｔ＞ａならＦ_a⊂Ｆ_tより,{σ≦ａ}∈Ｆ_a⊂Ｆ_t:すなわち,ｔ＞ａなら{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∈Ｆ_tです。

一方,ｔ≦ａならＦ_tがσ加法族なので,{σ∧ｔ≦ａ}＝Ω∈Ｆ_tです。

したがって,いずれにしても,{σ∧ｔ≦ａ}∈Ｆ_tですから,σ∧ｔはＦ_t-可測です。同様にして,τ∧ｔがＦ_t-可測であることも示すことができます。)

よって,{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}∈Ｆ_tです。一方σ,τは停止時刻なので,{σ≦ｔ}∈Ｆ_t,{τ≦ｔ}∈Ｆ_tですから,結局{σ≦τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tです。それ故,{σ≦τ}∈Ｆ_τが成立します。そこで,{σ＞τ}＝{σ≦τ}^c∈Ｆ_τです。

また,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ∧ｔ＜τ∧ｔ}∩{τ≦ｔ}なので,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t:すなわち{σ＜τ}∈Ｆ_τです。

さらに,{σ＝τ}＝{σ≦τ}∩{σ≧τ}∈Ｆ_τです。σとτを入れ換えることにより,{τ＜σ},{σ＞τ},{τ≦σ},{σ≦τ},{τ＝σ}∈Ｆ_σ∩Ｆ_τ＝Ｆ_σ∧τが成立することがわかります。(証明終わり)

(定義4.8):確率過程{Ｂ_t}は次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たすときＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動であるという。

(ⅰ){Ｂ_t}はＦ_tに適合している。

(ⅱ)各ｔ＞ｓ≧0 に対して(Ｂ_t－Ｂ_s)はＦ_sと独立な:平均ベクトルがゼロ,共分散行列が(ｔ－ｓ)ＥのＮ次元ガウス変数である。

(ⅲ){Ｂ_t}は連続確率過程である。

そして,上の(定義4.8)の(ⅱ)は,条件付期待値の特性関数に関する等式Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}が成立することと同値です。

(証明)Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}なら,∀Ａ∈Ｆ_sに対してω∈Ａであるという条件付期待値はＥ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)};Ａ]＝Ｅ[Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s];Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を意味しますから,(Ｂ_t－Ｂ_s)はＦ_sと独立です。

確かに,平均ベクトルはゼロ,共分散行列は(ｔ－ｓ)Ｅです。逆が成立することは自明です。(証明終わり)

例えば,Ｎ次元ブラウン運動:{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}に対して,Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ)と置くと,各Ｂ_tⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎは１次元Ｆ_t^Bi-ブラウン運動です。

また,{Ｂ_t}をＮ次元ブラウン運動とすると,(Ｂ_t+s－Ｂ_s)はＦ_s＋^Bと独立で,{Ｂ_t}はＮ次元Ｆ_t＋^B-ブラウン運動となります。

(証明)Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s＋^B]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}を示せばいいです。

ｔ＞ｓ＋1/ｎのとき,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)}|Ｆ_s+1/n^B]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}より,∀Ａ∈Ｆ_s＋^Bに対してＥ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}Ｐ(Ａ)です。

ｎ→ ∞の極限では,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を得ます。(証明終わり)

(補題4.9):Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対し(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎ (ⅱ) Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。

(証明)既に,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}であることを示しました。(ⅰ)ξⁱで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[i(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)|Ｆ_s]＝[－ξⁱexp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}]_ξ＝0 ＝0 です。

故に,Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎです。(ⅱ)ξⁱ,ξ^jで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)です。(証明終わり)

(補題4.10):{Ｂ_t}を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された,初期分布をνとするＮ次元ブラウン運動とする。

Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ),Ｆ^B≡∨_t≧0Ｆ_t^B,Ｎ≡{Ｆ⊂Ω:Ｆ⊂∃Ｇ^c∈Ｆ^B,Ｐ(Ｇ)＝0},Ｆ_t＝Ｆ_t^B∨Ｎとすると,Ｆ_t＋＝Ｆ_tである。

(ここで,２つの集合族Ｍ,Ｎに対して集合族Ｍ∨ＮをＭ∨Ｎ≡{Ｆ|∃Ｅ∈Ｍ:(Ｆ－Ｅ)∪(Ｅ－Ｆ)∈Ｎ}で定義します。)

(証明)以前に導入した密度関数:ｇ(ｔ,ｘ)＝(2πｔ)^-N/2exp{－|ｘ|²/(2ｔ)},ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0 を用いて,Ｔ_tｆ(ｘ)＝∫ｇ(ｔ,ｙ－ｘ)ｆ(ｙ)ｄｙと定義します。

このとき,ｆ(ｘ)が有界可測ならＴ_tｆ(ｘ)も有界可測です。また,先に示したことにより,(Ｂ_t+s－Ｂ_s)はＦ_s＋^Bと独立なＮ次元Ｆ_t＋^B-ブラウン運動です。

そこで,ｓ≦ｔ₁＜ｔ₂としｆ₁,ｆ₂を有界可測とすると,Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)|Ｆ_s＋^B]＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)Ｅ[ｆ₂(Ｂ_t2－Ｂ_t1＋Ｂ_t1)|Ｆ_t1＋^B]|Ｆ_s＋^B]＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)Ｔ_t2－t1ｆ₂(Ｂ_t1)|Ｆ_s＋^B]＝Ｔ_t1－sｆ₁{Ｔ_t2－t1ｆ₂ }(Ｂ_s)＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)|Ｆ_s^B](Ｐ-a.s)＝(確率的にほとんど確実に)となります。

これを繰り返せば,0≦ｔ₁＜ｔ₂＜．．＜ｔ_k-1＜ｓ＜ｔ_k＜ｔ_k+1＜..＜ｔ_nと有界可測なｆ₁,ｆ₂,．．,ｆ_nに対して,Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s＋^B]＝ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_k-1(Ｂ_tk-1)Ｅ[ｆ_k(Ｂ_tk)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s＋^B]＝ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_k-1(Ｂ_tk-1)Ｅ[ｆ_k(Ｂ_tk)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s^B] (Ｐ-a.s)を得ます。

特に,有界可測な関数をｆ_i(ｘ)≡１_Γi(ｘ)(Γ_iはボレル集合,ｉ＝1,2,..,ｎ)に取れば,Ｐ(Ｂ_t1∈Γ₁,Ｂ_t2∈Γ₂,..,Ｂ_tn∈Γ_n|Ｆ_s＋^B)＝１_{{Bt1∈Γ1,Bt2∈Γ2,..Btk-1∈Γk-1}}Ｐ[Ｂ_tk∈Γ_k,．．,Ｂ_tn∈Γ_n|Ｆ_s^B] (Ｐ-a.s)となります。

したがって,ＤをＤ≡{Ｆ∈Ｆ^B:Ｐ(Ｆ|Ｆ_s＋^B)がＦ_s^B可測な修正を持つ}と定義するときＤはディンキン系(族)(Dynkin class)です。

※(ディンキン系の定義):Ωをある集合としΩの部分集合からなる集合族Ｄが次の条件を満たすとき,Ｄはディンキン系(ディンキン族)である,と言います。

(ⅰ)Ω∈Ｄ (ⅱ)Ａ,Ｂ∈Ｄ,Ａ⊂ＢならＢ－Ａ∈Ｄ (ⅲ)Ａ_n∈Ｄ,Ａ_n⊂Ａ_n+1,ｎ＝1,2,..なら∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｄ

※     (ディンキン系の定理)ディンキン系の有する性質の１つです。

ＣをΩの部分集合からなる族でＡ,Ｂ∈ＣならＡ∩Ｂ∈Ｃとなるものとする。Ｄ(Ｃ)をＣを含む最小のディンキン系とすると,Ｄ(Ｃ)はσ(Ｃ)である。

(つまり,Ｃを含む最小のσ加法族と一致する。)(証明は簡単なのでここでは証明しません。)

　よって,ディンキン系の定理を用いると,Ｄ＝Ｄ(Ｆ^B)＝σ(Ｆ^B)より,Ｆ^B⊂Ｄですから,∀Ｇ∈Ｆ^Bに対してＰ(Ｇ|Ｆ_s＋^B)はＦ_s^B可測な修正を持ちます。

　その修正を１~_Gと表わすことにします。つまりＧ∈Ｆ_s＋^Bを取ったとき,Ｇ~≡{１~_G＝１}はＧの修正ですから,明らかに(Ｇ－Ｇ~)∪(Ｇ~－Ｇ)＝[{１~_G≠１_G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]∈Ｎです。(Ｐ[{１~_G≠１_G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]＝0 です。)

それ故,Ｇ∈Ｆ_s＝Ｆ_s^B∨Ｎが成立します。

あらゆる閉集合:Ｆ∈Ｆ_s＋＝∩_n=1^∞Ｆ_s+1/nに対し,各ｎについてＧ_n∈Ｆ_s+1/n,(Ｆ－Ｇ_n)∪(Ｇ_n－Ｆ)∈ＮなるＧ_nが存在するので,Ｇ＝∩_n=1^∞Ｇ_nと取れば(Ｇ－Ｆ)∈Ｎ,かつ(Ｆ－Ｇ)∈Ｎです。

しかも,Ｇ∈Ｆ_s＋^B⊂Ｆ_sですからＦ∈Ｆ_s:すなわち,Ｆ_s＋⊂Ｆ_sが得られます。したがって,結局Ｆ_s＋＝Ｆ_sが得られました。(証明終わり)

切りがいいので,今日はここまでにします。

※なお,条件付期待値に関する演算の性質については,時を改めてやさしい解説記事を書くつもりです。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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